В логике темпоральная логика — это любая система правил и символики для представления и рассуждения о предложениях, определяемых с точки зрения времени (например, «Я всегда голоден», «Я в конечном итоге буду голоден» или «Я буду голоден»). пока я не съем что-нибудь»). Иногда его также используют для обозначения временной логики , системы темпоральной логики, основанной на модальной логике, представленной Артуром Прайором в конце 1950-х годов, с важным вкладом Ганса Кампа . В дальнейшем он был развит учёными-компьютерщиками , особенно Амиром Пнуэли , и логиками .
Темпоральная логика нашла важное применение в формальной верификации , где она используется для формулирования требований к аппаратным или программным системам. Например, можно сказать, что всякий раз, когда делается запрос, доступ к ресурсу в конечном итоге предоставляется, но он никогда не предоставляется двум запрашивающим сторонам одновременно. Такое утверждение удобно выразить во временной логике.
Рассмотрим утверждение «Я голоден». Хотя его значение является постоянным во времени, истинностное значение утверждения может меняться со временем. Иногда это правда, а иногда ложь, но никогда одновременно истина и ложь. Во временной логике утверждение может иметь истинностное значение, которое меняется во времени, в отличие от вневременной логики, которая применяется только к утверждениям, истинностные значения которых постоянны во времени. Такая трактовка истинностного значения во времени отличает темпоральную логику от вычислительной глагольной логики.
Темпоральная логика всегда способна рассуждать о временной шкале. Так называемая логика «линейного времени» ограничивается этим типом рассуждений. Однако логика времени ветвления может рассуждать о нескольких временных шкалах. Это позволяет, в частности, относиться к средам, которые могут действовать непредсказуемо. Продолжая пример, в логике времени ветвления мы можем заявить, что «есть вероятность, что я останусь голодным навсегда» и что «существует вероятность того, что в конечном итоге я перестану быть голодным». Если мы не знаем, будем ли меня когда-нибудь кормить, оба этих утверждения могут быть правдой.
Хотя логика Аристотеля почти полностью связана с теорией категорического силлогизма , в его работах есть отрывки, которые сейчас рассматриваются как предвосхищение темпоральной логики и могут подразумевать раннюю, частично развитую форму темпоральной модальной двухвалентной логики первого порядка. . Аристотель был особенно озабочен проблемой будущих контингентов , где он не мог признать, что принцип бивалентности применим к утверждениям о будущих событиях, т.е. что мы можем в настоящий момент решить, является ли утверждение о будущем событии истинным или ложным, например, «существует завтра будет морской бой». [1]
На протяжении тысячелетий развития не было, как отмечал в 19 веке Чарльз Сандерс Пирс : [2]
Логики обычно рассматривают время как так называемую «экстралогическую» материю. Я никогда не разделял этого мнения. Но я думал, что логика еще не достигла того состояния развития, на котором введение временных изменений ее форм не привело бы к большой путанице; и я пока придерживаюсь такого же образа мышления.
К удивлению Пирса , первая система темпоральной логики была построена, насколько нам известно, в первой половине 20 века. Хотя Артур Прайор широко известен как основатель темпоральной логики, первая формализация такой логики была предоставлена в 1947 году польским логиком Ежи Лось . [3] В своей работе « Основы методологического анализа методов Милля » он представил формализацию канонов Милля . В подходе Лось акцент был сделан на факторе времени. Таким образом, чтобы достичь своей цели, ему пришлось создать логику, которая могла бы предоставить средства формализации временных функций. Логику можно рассматривать как побочный продукт главной цели Лося , [4] хотя это была первая позиционная логика, которая в качестве основы позже использовалась для изобретений Лося в эпистемической логике . Сама логика имеет синтаксис, сильно отличающийся от временной логики Прайора, в которой используются модальные операторы. Язык логики Лось скорее использует оператор реализации, специфичный для позиционной логики, который связывает выражение с конкретным контекстом, в котором рассматривается его истинностное значение. В творчестве Лося этот рассматриваемый контекст был лишь временным, поэтому выражения были связаны с конкретными моментами или интервалами времени.
В последующие годы начались исследования темпоральной логики Артура Прайора . [4] Его интересовали философские последствия свободы воли и предопределения . По словам его жены, он впервые задумался о формализации темпоральной логики в 1953 году. Результаты его исследований были впервые представлены на конференции в Веллингтоне в 1954 году . он явно ссылается на работу Лося в последнем разделе Приложения 1 к «Формальной логике» Прайора . [4]
Прайор читал лекции по этой теме в Оксфордском университете в 1955–1956 годах, а в 1957 году опубликовал книгу « Время и модальность» , в которой он представил пропозициональную модальную логику с двумя временными связками ( модальными операторами ), F и P, соответствующими «когда-нибудь в будущем» и «когда-нибудь в прошлом». В этой ранней работе Прайор считал время линейным. Однако в 1958 году он получил письмо от Саула Крипке , который указывал, что это предположение, возможно, необоснованно. В развитии, которое предвещало подобное развитие в информатике, Прайор принял это во внимание и разработал две теории ветвления времени, которые он назвал «оккамистской» и «пирсианской». [2] [ необходимы разъяснения ] Между 1958 и 1965 годами Прайор также переписывался с Чарльзом Леонардом Хэмблином , и в этой переписке можно проследить ряд ранних событий в этой области, например, последствия Хэмблина. Прайор опубликовал свою самую зрелую работу по этой теме - книгу « Прошлое, настоящее и будущее» в 1967 году. Он умер два года спустя. [5]
Наряду с временной логикой Прайор построил несколько систем позиционной логики, унаследовавших свои основные идеи от Лося . [6] Работы в области позиционной темпоральной логики были продолжены Николасом Решером в 60-е и 70-е годы. В таких работах, как « Записки о хронологической логике» (1966), «О логике хронологических высказываний» (1968 ) , «Топологическая логика» (1968) и « Темпоральная логика » (1971), он исследовал связи между системами Лося и Приора . Более того, он доказал, что временные операторы Прайора могут быть определены с использованием оператора реализации в конкретной позиционной логике. [6] Решер в своей работе создал и более общие системы позиционной логики. Хотя первые из них были созданы исключительно для временных целей, он предложил термин « топологическая логика» для логик, которые должны были содержать оператор реализации, но не имели конкретных темпоральных аксиом, таких как аксиома часов.
Бинарные временные операторы « С тех пор » и «До» были введены Гансом Кампом в его докторской диссертации 1968 года. диссертация [7] , которая также содержит важный результат, связывающий темпоральную логику с логикой первого порядка — результат, известный теперь как теорема Кампа. [8] [2] [9]
Двумя ранними претендентами на формальные проверки были линейная временная логика , логика линейного времени Амира Пнуэли , и логика дерева вычислений (CTL), логика времени ветвления Мордехая Бен-Ари , Зохара Манны и Амира Пнуэли. Почти эквивалентный формализм CTL был предложен примерно в то же время Э.М. Кларком и Э.А. Эмерсоном . Тот факт, что вторая логика может быть решена более эффективно, чем первая, не отражается на логике ветвления и линейного времени в целом, как это иногда утверждается. Скорее, Эмерсон и Лей показывают, что любая логика линейного времени может быть расширена до логики времени ветвления, решение которой может быть выполнено с той же сложностью.
Логика Лося была опубликована в 1947 году как его магистерская диссертация Podstawy Analyzy Metodologicznej Kanonów Milla ( «Основы методологического анализа методов Милля »). [10] Его философские и формальные концепции можно рассматривать как продолжение идей Львовско-Варшавской школы логики , поскольку его руководителем был Ежи Слупецкий , ученик Яна Лукасевича . Статья не была переведена на английский язык до 1977 года, хотя Генрик Хиж представил в 1951 году краткий, но информативный обзор в «Журнале символической логики ». Этот обзор содержал основные концепции работы Лося и был достаточен для популяризации его результатов среди логического сообщества. Основной целью данной работы было представить каноны Милля в рамках формальной логики. Для достижения этой цели автор исследовал значение темпоральных функций в структуре концепции Милля. Имея это, он предложил свою аксиоматическую систему логики, которая могла бы послужить основой для канонов Милля вместе с их временными аспектами.
Язык логики, впервые опубликованный в Podstawy Analizy Metodologicznej Kanonów Milla ( «Основы методологического анализа методов Милля »), состоял из: [3]
Множество термов (обозначается S) строится следующим образом:
Набор формул (обозначается For) строится следующим образом: [10]
Логика временного предложения, представленная в книге «Время и модальность», имеет четыре (неистинно -функциональных ) модальных оператора (в дополнение ко всем обычным истинностно-функциональным операторам в логике высказываний первого порядка ). [11]
Их можно объединить, если мы позволим π быть бесконечным путем: [12]
Из P и F можно определить G и H , и наоборот:
Минимальный синтаксис для TL определяется следующей грамматикой BNF :
где a — некоторая атомарная формула . [13]
Модели Крипке используются для оценки истинности предложений в TL. Пара ( T , <) множества T и бинарного отношения < на T (называемого «приоритетом») называется фреймом . Модель задается тройкой ( T , <, V ) кадра и функцией V , называемой оценкой , которая присваивает каждой паре ( a , u ) атомарной формулы и временного значения некоторое значение истинности. Понятие « φ истинно в модели U =( T , <, V ) в момент времени u » сокращенно обозначается U ⊨ φ [ u ]. С этими обозначениями [14]
Учитывая класс F фреймов, предложение φ из TL является
Многие предложения действительны только для ограниченного класса фреймов. Обычно класс фреймов ограничивается рамками с отношением <, которое является транзитивным , антисимметричным , рефлексивным , трихотомическим , иррефлексивным , тотальным , плотным или некоторой их комбинацией.
Бёрджесс обрисовывает логику, которая не делает никаких предположений относительно отношения <, но допускает значимые выводы, основанную на следующей схеме аксиом: [15]
со следующими правилами вычета:
Можно вывести следующие правила:
Берджесс дает перевод Мередита из утверждений в TL в утверждения в логике первого порядка с одной свободной переменной x 0 (представляющей настоящий момент). Этот перевод M определяется рекурсивно следующим образом: [16]
где — предложение , в котором все индексы переменных увеличены на 1, и является одноместным предикатом, определяемым .
Темпоральная логика имеет два типа операторов: логические операторы и модальные операторы. [17] Логические операторы — это обычные операторы истинностного функционала ( ). Модальные операторы, используемые в линейной темпоральной логике и логике дерева вычислений, определяются следующим образом.
Альтернативные символы:
Унарные операторы являются корректными формулами, если B( φ ) корректно сформированы. Бинарные операторы являются корректными формулами, если B( φ ) и C( φ ) правильно сформированы.
В некоторых логиках некоторые операторы не могут быть выражены. Например, оператор N не может быть выражен во временной логике действий .
Временная логика включает в себя:
Разновидностью, тесно связанной с временной, хронологической или временной логикой, является модальная логика, основанная на «топологии», «месте» или «пространственном положении». [23] [24]
{{cite journal}}
: CS1 maint: numeric names: authors list (link)