Предложение (математическая логика)

В математической логике предложение (или замкнутая формула ) ^[1] логики предикатов представляет собой логическую правильно сформированную формулу без свободных переменных . Предложение можно рассматривать как выражение суждения , которое должно быть истинным или ложным. Ограничение отсутствия свободных переменных необходимо, чтобы гарантировать, что предложения могут иметь конкретные, фиксированные значения истинности : поскольку свободные переменные (общей) формулы могут варьироваться в пределах нескольких значений, значение истинности такой формулы может варьироваться.

Предложения без каких-либо логических связок или кванторов в них известны как атомарные предложения ; по аналогии с атомной формулой . Затем предложения строятся из атомарных формул путем применения связок и кванторов.

Набор предложений называется теорией ; таким образом, отдельные предложения можно назвать теоремами . Чтобы правильно оценить истинность (или ложность) предложения, необходимо обратиться к интерпретации теории. Для теорий первого порядка интерпретации обычно называют структурами . Учитывая структуру или интерпретацию, предложение будет иметь фиксированное истинностное значение. Теория является выполнимой , когда можно представить интерпретацию, в которой все ее предложения истинны. Исследование алгоритмов автоматического обнаружения интерпретаций теорий, которые делают все предложения истинными, известно как проблема выполнимости теорий по модулю .

Пример

Для интерпретации формул рассмотрите следующие структуры: положительные действительные числа , действительные числа и комплексные числа . Следующий пример в логике первого порядка

${\displaystyle \forall y\ \exists x\ (y=x^{2})}$

это приговор. Это предложение означает, что для каждого y существует x такой, что Это предложение верно для положительных действительных чисел, ложно для действительных чисел и верно для комплексных чисел. ${\textstyle y=x^{2}.}$

Однако формула

${\displaystyle \exists x\ (y=x^{2})}$

не является предложением из-за наличия свободной переменной y . Для действительных чисел эта формула верна, если мы подставляем (произвольно), но ложна, если ${\textstyle y=2,}$ ${\textstyle y=-2.}$

Важно наличие свободной переменной, а не непостоянного значения истинности; например, даже для комплексных чисел, где формула всегда верна, она все равно не считается предложением. Вместо этого такую ​​формулу можно назвать предикатом .

Смотрите также

• Основное выражение
• Открытая формула
• Утверждение (логика)
• Предложение

Рекомендации

1. Эдгар Моршер, «Логическая истина и логическая форма», Grazer Philosophische Studien 82 (1), стр. 77–90.

• Хинман, П. (2005). Основы математической логики . АК Петерс. ISBN 1-56881-262-0.
• Раутенберг, Вольфганг (2010), Краткое введение в математическую логику (3-е изд.), Нью-Йорк : Springer Science+Business Media , doi : 10.1007/978-1-4419-1221-3, ISBN 978-1-4419-1220-6.