В абстрактной алгебре внутренняя алгебра — это определенный тип алгебраической структуры , которая кодирует идею топологической внутренней части множества. Внутренние алгебры для топологии и модальной логики S4 являются тем же, чем булевы алгебры для теории множеств и обычной логики высказываний . Внутренние алгебры образуют разновидность модальных алгебр .
Внутренняя алгебра — это алгебраическая структура с сигнатурой
где
— булева алгебра , а постфикс I обозначает унарный оператор , внутренний оператор , удовлетворяющий тождествам:
xI называется внутренней частью x .
Двойственным к внутреннему оператору является оператор замыкания C, определяемый формулой x C = (( x ′) I )′. x C называется замыканием x . По принципу двойственности оператор замыкания удовлетворяет тождествам:
Если оператор замыкания считается примитивным, внутренний оператор можно определить как x I = (( x ′) C )′. Таким образом, теорию внутренних алгебр можно сформулировать с использованием оператора замыкания вместо внутреннего оператора, и в этом случае рассматриваются алгебры замыкания вида ⟨ S , ·, +, ′, 0, 1, C ⟩, где ⟨ S , · , +, ′, 0, 1⟩ снова является булевой алгеброй, а C удовлетворяет указанным выше тождествам для оператора замыкания. Замыкающая и внутренняя алгебры образуют двойственные пары и являются парадигматическими экземплярами «булевых алгебр с операторами». В ранней литературе по этому вопросу (в основном польская топология) использовались операторы замыкания, но формулировка внутреннего оператора в конечном итоге стала нормой после работы Вима Блока .
Элементы внутренней алгебры, удовлетворяющие условию xI = x , называются открытыми . Дополнения к открытым элементам называются закрытыми и характеризуются условием x C = x . Внутренняя часть элемента всегда открыта, а закрытие элемента всегда закрыто. Внутренности закрытых элементов называются регулярно открытыми , а замыкания открытых элементов — регулярно закрытыми . Элементы, которые одновременно открыты и закрыты, называются clopen . 0 и 1 закрыты.
Внутренняя алгебра называется булевой, если все ее элементы открыты (и, следовательно, открытозамкнуты). Булевы внутренние алгебры можно отождествить с обычными булевыми алгебрами, поскольку их внутренние операторы и операторы замыкания не предоставляют значимой дополнительной структуры. Особым случаем является класс тривиальных внутренних алгебр, которые представляют собой одноэлементные внутренние алгебры, характеризующиеся тождеством 0 = 1.
Внутренние алгебры, будучи алгебраическими структурами , обладают гомоморфизмами . Для данных двух внутренних алгебр A и B отображение f : A → B является гомоморфизмом внутренней алгебры тогда и только тогда, когда f является гомоморфизмом между лежащими в основе булевыми алгебрами A и B , который также сохраняет внутренности и замыкания. Следовательно:
Топоморфизмы — еще один важный и более общий класс морфизмов внутренних алгебр. Отображение f : A → B является топоморфизмом тогда и только тогда, когда f является гомоморфизмом между булевыми алгебрами, лежащими в основе A и B , который также сохраняет открытые и замкнутые элементы A . Следовательно:
(Такие морфизмы также называются стабильными гомоморфизмами и полугомоморфизмами алгебры замыканий .) Каждый гомоморфизм внутренней алгебры является топоморфизмом, но не каждый топоморфизм является гомоморфизмом внутренней алгебры.
Ранние исследования часто рассматривали отображения между внутренними алгебрами, которые были гомоморфизмами лежащих в их основе булевых алгебр, но не обязательно сохраняли внутренний оператор или оператор замыкания. Такие отображения были названы булевыми гомоморфизмами . (Термины гомоморфизм замыкания или топологический гомоморфизм использовались в том случае, если они были сохранены, но эта терминология теперь излишня, поскольку стандартное определение гомоморфизма в универсальной алгебре требует, чтобы он сохранял все операции.) Приложения, связанные со счетно полными внутренними алгебрами (в которые всегда существуют счетные встречи и соединения , также называемые σ-полными ), обычно используют счетно полные булевы гомоморфизмы, также называемые булевыми σ-гомоморфизмами — они сохраняют счетные встречи и соединения.
Самым ранним обобщением непрерывности на внутренние алгебры было обобщение Сикорского , основанное на отображении обратного образа непрерывного отображения . Это булев гомоморфизм, сохраняет объединения последовательностей и включает замыкание прообраза в прообраз замыкания. Таким образом, Сикорский определил непрерывный гомоморфизм как булев σ-гомоморфизм f между двумя σ-полными внутренними алгебрами такой, что f ( x ) C ⩽ f ( x C ). Это определение имело несколько трудностей: конструкция действует контрвариантно, создавая двойственное непрерывному отображению, а не обобщение. С одной стороны, σ-полнота слишком слаба для характеристики прообразов (требуется полнота), с другой стороны, она слишком ограничительна для обобщения. (Сикорский отметил использование не-σ-полных гомоморфизмов, но включил σ-полноту в свои аксиомы для алгебр замыкания .) Позже Дж. Шмид определил непрерывный гомоморфизм или непрерывный морфизм для внутренних алгебр как булев гомоморфизм f между двумя внутренними алгебрами, удовлетворяющими f ( Икс C ) ≤ ж ( Икс ) C . Это обобщает карту прямого изображения непрерывной карты — изображение замыкания содержится в замыкании изображения. Эта конструкция является ковариантной , но не подходит для приложений теории категорий , поскольку она позволяет строить непрерывные морфизмы только из непрерывных отображений в случае биекций. (К. Натурман вернулся к подходу Сикорского, отказавшись от σ-полноты для создания топоморфизмов, определенных выше. В этой терминологии оригинальные «непрерывные гомоморфизмы» Сикорского представляют собой σ-полные топоморфизмы между σ-полными внутренними алгебрами.)
Учитывая топологическое пространство X = ⟨ X , T ⟩, можно сформировать булеву алгебру множества степеней X :
и расширим ее до внутренней алгебры
где I — обычный топологический внутренний оператор. Для всех S ⊆ X оно определяется формулой
Для всех S ⊆ X соответствующий оператор замыкания имеет вид
S I — самое большое открытое подмножество S , а SC — наименьшее закрытое надмножество S в X. Открытые, замкнутые, регулярно открытые, регулярно замкнутые и открытозамкнутые элементы внутренней алгебры A ( X ) — это просто открытые, замкнутые, регулярно открытые, регулярно замкнутые и открытозамкнутые подмножества X соответственно в обычном топологическом смысле.
Всякая полная атомная внутренняя алгебра изоморфна внутренней алгебре вида A ( X ) для некоторого топологического пространства X. Более того, каждая внутренняя алгебра может быть вложена в такую внутреннюю алгебру, давая представление внутренней алгебры как топологическое поле множеств . Свойства структуры A ( X ) являются самой мотивацией определения внутренних алгебр. Из-за этой тесной связи с топологией внутренние алгебры также называют топобулевыми алгебрами или топологическими булевыми алгебрами .
Учитывая непрерывное отображение между двумя топологическими пространствами
мы можем определить полный топоморфизм
к
для всех подмножеств S из Y . Таким способом можно вывести любой полный топоморфизм между двумя полными атомными внутренними алгебрами. Если Top — категория топологических пространств и непрерывных отображений, а Cit — категория полных атомарных внутренних алгебр и полных топоморфизмов, то Top и Cit дуально изоморфны и A : Top → Cit — контравариантный функтор , который является двойственным изоморфизмом категорий. A ( f ) является гомоморфизмом тогда и только тогда, когда f — непрерывное открытое отображение .
При этом двойственном изоморфизме категорий многие естественные топологические свойства соответствуют алгебраическим свойствам, в частности свойства связности соответствуют свойствам неприводимости:
Современная формулировка топологических пространств в терминах топологий открытых подмножеств мотивирует альтернативную формулировку внутренних алгебр: обобщенное топологическое пространство представляет собой алгебраическую структуру вида
где ⟨ B , ·, +, ′, 0, 1⟩ — обычная булева алгебра, а T — унарное отношение на B (подмножество B ), такое что:
Говорят, что T — обобщенная топология в булевой алгебре.
Учитывая внутреннюю алгебру, ее открытые элементы образуют обобщенную топологию. Обратно, учитывая обобщенное топологическое пространство
мы можем определить внутренний оператор на B следующим образом: b I = Σ{ a ∈ T | a ≤ b } , тем самым создавая внутреннюю алгебру, открытыми элементами которой являются в точности T . Таким образом, обобщенные топологические пространства эквивалентны внутренним алгебрам.
Учитывая, что внутренние алгебры являются обобщенными топологическими пространствами, топоморфизмы тогда являются стандартными гомоморфизмами булевых алгебр с добавленными отношениями, так что применяются стандартные результаты универсальной алгебры .
Топологическое понятие окрестностей можно обобщить на внутренние алгебры: элемент y внутренней алгебры называется окрестностью элемента x , если x ≤ y I . Множество окрестностей точки x обозначается N ( x ) и образует фильтр . Это приводит к другой формулировке внутренних алгебр:
Функция соседства в булевой алгебре — это отображение N лежащего в ее основе множества B в набор фильтров, такое, что:
Отображение N элементов внутренней алгебры в их фильтры окрестностей является функцией окрестности на базовой булевой алгебре внутренней алгебры. Более того, учитывая функцию окрестности N в булевой алгебре с базовым множеством B , мы можем определить внутренний оператор по формуле x I = max{y ∈ B | x ∈ N ( y )}, тем самым получая внутреннюю алгебру. Тогда будет x в этой внутренней алгебре. Таким образом, внутренние алгебры эквивалентны булевым алгебрам с заданными функциями окрестности.
С точки зрения функций окрестности, открытые элементы — это в точности те элементы x , что x ∈ N ( x ) . В терминах открытых элементов x ∈ N ( y ) тогда и только тогда, когда существует открытый элемент z такой, что y ≤ z ≤ x .
Функции соседства могут быть определены в более общем смысле на (встречающихся)-полурешетках, образующих структуры, известные как соседние (полу)решетки. Таким образом, внутренние алгебры можно рассматривать как именно булевы решетки окрестностей , т.е. те решетки окрестностей, основная полурешетка которых образует булеву алгебру.
Учитывая теорию (набор формальных предложений) M в модальной логике S4 , мы можем сформировать ее алгебру Линденбаума–Тарского :
где ~ — отношение эквивалентности предложений в M , заданное формулой p ~ q , тогда и только тогда, когда p и q логически эквивалентны в M , а M / ~ — множество классов эквивалентности по этому отношению. Тогда L ( M ) — внутренняя алгебра. Внутренний оператор в этом случае соответствует модальному оператору □ ( обязательно ), а оператор замыкания соответствует ◊ ( возможно ). Эта конструкция является частным случаем более общего результата для модальных алгебр и модальной логики.
Открытые элементы L ( M ) соответствуют предложениям, которые истинны только в том случае, если они обязательно истинны, тогда как закрытые элементы соответствуют предложениям, которые являются ложными только в том случае, если они обязательно ложны.
Из-за их связи с S4 внутренние алгебры иногда называют алгебрами S4 или алгебрами Льюиса , в честь логика К. И. Льюиса , который первым предложил модальные логики S4 и S5 .
Поскольку внутренние алгебры являются (нормальными) булевыми алгебрами с операторами , они могут быть представлены полями множеств на соответствующих реляционных структурах. В частности, поскольку они являются модальными алгебрами , их можно представить как поля множеств на множестве с одним бинарным отношением , называемым фреймом Крипке . Фреймы Крипке, соответствующие внутренним алгебрам, представляют собой в точности предупорядоченные множества . Предупорядоченные множества (также называемые S4-фреймами ) обеспечивают семантику Крипке модальной логики S4 , а связь между внутренними алгебрами и предпорядками глубоко связана с их связью с модальной логикой.
Учитывая предупорядоченный набор X = ⟨ X , «⟩, мы можем построить внутреннюю алгебру
из степенного множества булевой алгебры X , где внутренний оператор I задается формулой
Соответствующий оператор замыкания имеет вид
S I — множество всех миров , недоступных из миров вне S , а SC — множество всех миров , доступных из некоторого мира в S. Любая внутренняя алгебра может быть вложена во внутреннюю алгебру вида B ( X ) для некоторого предупорядоченного множества X, дающего упомянутое выше представление в виде поля множеств ( поле предпорядка ).
Эта теорема о построении и представлении является частным случаем более общего результата для модальных алгебр и фреймов Крипке. В этом отношении внутренние алгебры особенно интересны из-за их связи с топологией . Конструкция предоставляет предупорядоченному множеству X топологию , топологию Александрова , создавая топологическое пространство T ( X ), открытыми множествами которого являются:
Соответствующие закрытые множества:
Другими словами, открытые множества — это те, миры которых недоступны снаружи ( верхние множества ), а закрытые множества — те, для которых любой внешний мир недоступен изнутри ( нижние множества ). Более того, B ( X ) = A ( T ( X )).
Любую монадическую булеву алгебру можно рассматривать как внутреннюю алгебру, где внутренний оператор является квантором универсальности, а оператор замыкания — квантором существования. Тогда монадические булевы алгебры представляют собой в точности многообразие внутренних алгебр, удовлетворяющих тождеству x IC = x I . Другими словами, это в точности внутренние алгебры, в которых каждый открытый элемент замкнут или, что то же самое, в которых каждый закрытый элемент открыт. Более того, такие внутренние алгебры являются в точности полупростыми внутренними алгебрами. Они также являются внутренними алгебрами, соответствующими модальной логике S5 , и поэтому их также называют алгебрами S5 .
В отношениях между предупорядоченными множествами и внутренними алгебрами они соответствуют случаю, когда предупорядоченный набор является отношением эквивалентности , отражая тот факт, что такие предупорядоченные множества обеспечивают семантику Крипке для S5 . Это также отражает связь между монадической логикой квантификации (для которой монадические булевы алгебры обеспечивают алгебраическое описание ) и S5 , где модальные операторы □ ( обязательно ) и ◊ ( возможно ) могут быть интерпретированы в семантике Крипке с использованием монадической универсальной и экзистенциальной квантификации. , соответственно, без ссылки на отношение доступности.
Открытые элементы внутренней алгебры образуют алгебру Гейтинга , а закрытые элементы образуют двойственную алгебру Гейтинга. Регулярные открытые элементы и регулярные закрытые элементы соответствуют псевдодополняемым элементам и двойственным псевдодополняемым элементам этих алгебр соответственно и, таким образом, образуют булевы алгебры. Закрыто-открытые элементы соответствуют дополненным элементам и образуют общую подалгебру этих булевых алгебр, а также самой внутренней алгебры. Каждую гейтинговскую алгебру можно представить как открытые элементы внутренней алгебры, а последняя может быть выбрана в качестве внутренней алгебры, порожденной ее открытыми элементами - такие внутренние алгебры взаимно однозначно соответствуют гейтинговым алгебрам (с точностью до изоморфизма), являющимся бесплатные логические расширения последнего.
Алгебры Гейтинга играют ту же роль для интуиционистской логики , которую внутренние алгебры играют для модальной логики S4 , а булевы алгебры играют для логики высказываний . Связь между алгебрами Гейтинга и внутренними алгебрами отражает связь между интуиционистской логикой и S4 , в которой можно интерпретировать теории интуиционистской логики как теории S4 , замкнутые по необходимости . Взаимное соответствие между гейтинговыми алгебрами и внутренними алгебрами, порожденными их открытыми элементами, отражает соответствие между расширениями интуиционистской логики и нормальными расширениями модальной логики S4.Grz .
Для внутренней алгебры A оператор замыкания подчиняется аксиомам оператора производной D. Следовательно, мы можем сформировать производную алгебру D ( A ) с той же базовой булевой алгеброй, что и A , используя оператор замыкания в качестве оператора производной.
Таким образом, внутренние алгебры являются производными алгебрами . С этой точки зрения они представляют собой в точности многообразие производных алгебр, удовлетворяющих тождеству x D ≥ x . Производные алгебры обеспечивают подходящую алгебраическую семантику для модальной логики wK4 . Следовательно, производные алгебры соответствуют топологическим производным множествам , а wK4 как внутренние алгебры/замыкания соответствуют топологическим внутренностям/замыканиям и S4 .
Учитывая производную алгебру V с производным оператором D , мы можем сформировать внутреннюю алгебру I ( V ) с той же базовой булевой алгеброй, что и V , с внутренними операторами и операторами замыкания, определенными x I = x · x ′ D ′ и x C = x + x D соответственно. Таким образом, любую производную алгебру можно рассматривать как внутреннюю алгебру. Более того, для внутренней алгебры A имеем I ( D ( A )) = A . Однако D ( I ( V )) = V не обязательно выполняется для каждой производной алгебры V .
Двойственность Стоуна обеспечивает теоретико-категорную двойственность между булевыми алгебрами и классом топологических пространств, известных как булевы пространства . Опираясь на зарождающиеся идеи реляционной семантики (позже формализованные Крипке ) и результаты Р. С. Пирса, Йонссона , Тарского и Г. Хансула, расширили двойственность Стоуна на булевы алгебры с операторами, снабдив булевы пространства отношениями, которые соответствуют операторам через степенной набор строительство . В случае внутренних алгебр внутренний оператор (или замыкания) соответствует предварительному порядку в булевом пространстве. Гомоморфизмы между внутренними алгебрами соответствуют классу непрерывных отображений между булевыми пространствами, известным как псевдоэпиморфизмы или для краткости p-морфизмы . Это обобщение двойственности Стоуна на внутренние алгебры, основанное на представлении Йонссона-Тарского, было исследовано Лео Эсакиа и также известно как двойственность Эсакиа для S4-алгебр (внутренних алгебр) и тесно связано с двойственностью Эсакиа для алгебр Гейтинга.
В то время как обобщение Йонссона-Тарского двойственности Стоуна применимо к булевым алгебрам с операторами вообще, связь между внутренними алгебрами и топологией позволяет использовать другой метод обобщения двойственности Стоуна, уникальный для внутренних алгебр. Промежуточным шагом в развитии двойственности Стоуна является теорема Стоуна о представлении , которая представляет булеву алгебру как поле множеств . Топология Стоуна соответствующего булевого пространства затем генерируется с использованием поля множеств в качестве топологической основы . Опираясь на топологическую семантику, введенную Тан Цао-Ченом для модальной логики Льюиса, McKinsey и Тарский показали, что путем создания топологии, эквивалентной использованию в качестве базиса только комплексов, соответствующих открытым элементам, представление внутренней алгебры получается в виде топологическое поле множеств — поле множеств в топологическом пространстве, замкнутое относительно внутренностей или замыканий. Оснащая топологические поля множеств соответствующими морфизмами, известными как отображения полей , К. Натурман показал, что этот подход может быть формализован как теоретико-категорная двойственность Стоуна, в которой обычная двойственность Стоуна для булевых алгебр соответствует случаю внутренних алгебр, имеющих избыточный внутренний оператор. (Бульевы внутренние алгебры).
Предпорядок, полученный в подходе Йонссона–Тарского, соответствует отношению доступности в семантике Крипке для теории S4, а промежуточное поле множеств соответствует представлению алгебры Линденбаума–Тарского для теории с использованием множеств возможных миров. в семантике Крипке, в которой выполняются предложения теории. Переход от области множеств к булевому пространству несколько запутывает эту связь. Рассматривая поля множеств в предпорядках как самостоятельную категорию, эту глубокую связь можно сформулировать как теоретико-категорную двойственность, которая обобщает представление Стоуна без топологии. Р. Голдблатт показал, что с ограничениями на соответствующие гомоморфизмы такую двойственность можно сформулировать для произвольных модальных алгебр и фреймов Крипке. Натурман показал, что в случае внутренних алгебр эта двойственность применима к более общим топоморфизмам и может быть факторизована через теоретико-категорный функтор через двойственность с топологическими полями множеств. Последние представляют собой алгебру Линденбаума–Тарского с использованием наборов точек, удовлетворяющих предложениям теории S4 в топологической семантике. Предварительный порядок можно получить как предварительный порядок специализации топологии McKinsey – Тарского. Двойственность Эсакии можно восстановить с помощью функтора, который заменяет поле множеств генерируемым им булевым пространством. С помощью функтора, который вместо этого заменяет предварительный порядок соответствующей топологией Александрова, получается альтернативное представление внутренней алгебры как поле множеств, где топология представляет собой бикоотражение Александрова топологии МакКинси – Тарского. Подход к формулировке топологической двойственности для внутренних алгебр с использованием как топологии Стоуна подхода Йонссона–Тарского, так и топологии Александрова предпорядка для формирования битопологического пространства исследовался Г. Бежанишвили, Р. Майнесом и Пи Джей Моранди. Топология внутренней алгебры МакКинси – Тарского представляет собой пересечение двух первых топологий.
Гжегорчик доказал теорию первого порядка неразрешимых алгебр замыкания . [1] [2] Натурман продемонстрировал, что теория наследственно неразрешима (все ее подтеории неразрешимы) и продемонстрировал бесконечную цепочку элементарных классов внутренних алгебр с наследственно неразрешимыми теориями.
