Аксиоматическая схема спецификации

Понятие в аксиоматической теории множеств

Во многих популярных версиях аксиоматической теории множеств схема аксиом спецификации ^[1], также известная как схема аксиом разделения ( Aussonderungsaxiom ), ^[2] аксиома подмножества ^[3] , аксиома построения классов [ ^4] или схема аксиом ограниченного понимания является схемой аксиом . По сути, она говорит, что любой определяемый подкласс множества является множеством.

Некоторые математики называют это аксиоматической схемой понимания , хотя другие используют этот термин для обозначения неограниченного понимания , которое обсуждается ниже.

Поскольку ограничение понимания позволило избежать парадокса Рассела , несколько математиков, включая Цермело , Френкеля и Гёделя , считали его важнейшей аксиомой теории множеств. ^[5]

Заявление

Один экземпляр схемы включен для каждой формулы в языке теории множеств с как свободная переменная. Поэтому не встречается свободно в . ^{[3] [2] [6]} На формальном языке теории множеств схема аксиом выглядит следующим образом: ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle \forall A\,\exists S\,\forall x\,{\big (}x\in S\iff (x\in A\wedge \varphi (x)){\big )}}$^{[3] [1] [6]}

или словами:

Пусть будет формулой. Для каждого множества существует множество , состоящее из всех элементов, такое, что выполняется. ^[3] ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$

Обратите внимание, что для каждого такого предиката существует одна аксиома ; таким образом, это схема аксиом . ^{[3] [1]} ${\displaystyle \varphi (x)}$

Чтобы понять эту схему аксиом, обратите внимание, что множество должно быть подмножеством A . Таким образом, схема аксиом на самом деле говорит, что, имея множество и предикат , мы можем найти подмножество A , элементы которого являются в точности элементами A , которые удовлетворяют . По аксиоме экстенсиональности это множество уникально. Мы обычно обозначаем это множество с помощью нотации set-builder как . Таким образом, суть аксиомы такова: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle S=\{x\in A|\varphi (x)\}}$

Каждый подкласс множества, определяемый предикатом, сам по себе является множеством.

Предшествующая форма разделения была введена в 1930 году Торальфом Сколемом как уточнение предыдущей, непервого порядка ^[7] формы Цермело. ^[8] Аксиоматическая схема спецификации характерна для систем аксиоматической теории множеств, связанных с обычной теорией множеств ZFC , но обычно не появляется в радикально различных системах альтернативной теории множеств . Например, Новые основания и позитивная теория множеств используют различные ограничения аксиомы понимания наивной теории множеств . Альтернативная теория множеств Вопенки делает особый акцент на разрешении собственных подклассов множеств, называемых полумножествами . Даже в системах, связанных с ZFC, эта схема иногда ограничивается формулами с ограниченными кванторами, как в теории множеств Крипке–Платека с праэлементами .

Отношение к аксиоматической схеме замены

Аксиоматическая схема спецификации подразумевается аксиоматической схемой замены вместе с аксиомой пустого множества . ^{[9] [a]}

Схема аксиом замены гласит, что если функция определяется формулой , то для любого множества существует множество : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall x\,\forall y\,\forall z\,\forall p_{1}\ldots \forall p_{n}[\varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})\wedge \varphi (x,z,p_{1},\ldots ,p_{n})\implies y=z]\implies \\&\forall A\,\exists B\,\forall y(y\in B\iff \exists x(x\in A\wedge \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})))\end{aligned}}}$. ^[9]

Чтобы вывести схему аксиом спецификации, пусть будет формулой и множеством, и определите функцию так, что если истинно, а если ложно, где такое, что истинно. Тогда множество, гарантированное схемой аксиом замены, — это в точности то множество, которое требуется в схеме аксиом спецификации. Если не существует, то в схеме аксиом спецификации есть пустое множество, существование которого (т. е. аксиома пустого множества) тогда необходимо. ^[9] ${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle f(x)=u}$ ${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle u\in z}$ ${\displaystyle \varphi (u,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(x)}$

По этой причине схема аксиом спецификации исключена из некоторых аксиоматизаций теории множеств ZF (Цермело-Френкеля) , ^[10] хотя некоторые авторы, несмотря на избыточность, включают обе. ^[11] Независимо от этого, схема аксиом спецификации примечательна, поскольку она была в оригинальном списке аксиом Цермело 1908 года, до того, как Френкель изобрел аксиому замены в 1922 году. ^[10] Кроме того, если взять теорию множеств ZFC (т. е. ZF с аксиомой выбора), удалить аксиому замены и аксиому набора , но сохранить схему аксиом спецификации, то получится более слабая система аксиом, называемая ZC (т. е. аксиомы Цермело плюс аксиома выбора). ^[12]

Неограниченное понимание

Схема аксиом неограниченного понимания гласит:

$${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))}$$

то есть:

Существует множество B , членами которого являются именно те объекты, которые удовлетворяют предикату φ .

Этот набор B снова уникален и обычно обозначается как { x  : φ ( x , w ₁ , ..., w _b )}.

В теории неотсортированных материальных множеств аксиома или правило полного или неограниченного понимания гласит, что для любого свойства P существует множество { x | P ( x )} всех объектов, удовлетворяющих P. ^[13]

Эта схема аксиом негласно использовалась в ранние дни наивной теории множеств , до того, как была принята строгая аксиоматизация. Однако позже было обнаружено, что она напрямую приводит к парадоксу Рассела , если принять φ ( x ) равным ¬( x  ∈  x ) (т. е. свойство, что множество x не является членом самого себя). Следовательно, никакая полезная аксиоматизация теории множеств не может использовать неограниченное понимание. Переход от классической логики к интуиционистской логике не помогает, поскольку доказательство парадокса Рассела интуиционистски обосновано.

Принятие только аксиоматической схемы спецификации стало началом аксиоматической теории множеств. Большинство других аксиом Цермело–Френкеля (но не аксиома экстенсиональности , аксиома регулярности или аксиома выбора ) затем стали необходимыми для восполнения части того, что было утрачено при изменении аксиоматической схемы понимания на аксиоматическю схему спецификации – каждая из этих аксиом утверждает, что существует определенное множество, и определяет это множество, давая предикат для его членов, которым они должны удовлетворять, т. е. это особый случай аксиоматической схемы понимания.

Также можно предотвратить несогласованность схемы, ограничив, к каким формулам она может применяться, например, только стратифицированные формулы в Новых основаниях (см. ниже) или только положительные формулы (формулы только с конъюнкцией, дизъюнкцией, квантификацией и атомарными формулами) в теории положительных множеств . Однако положительные формулы, как правило, не могут выразить некоторые вещи, которые могут выразить большинство теорий; например, в теории положительных множеств нет дополнения или относительного дополнения.

В теории классов NBG

В теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя проводится различие между множествами и классами . Класс C является множеством тогда и только тогда, когда он принадлежит некоторому классу E. В этой теории существует схема теоремы , которая гласит: $${\displaystyle \exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,}$$

то есть,

Существует класс D такой, что любой класс C является членом D тогда и только тогда, когда C является множеством, удовлетворяющим P.

при условии, что квантификаторы в предикате P ограничены множествами.

Эта схема теоремы сама по себе является ограниченной формой понимания, которая избегает парадокса Рассела из-за требования, чтобы C было множеством. Тогда спецификация для самих множеств может быть записана как одна аксиома $${\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,}$$

то есть,

Для любого класса D и любого множества A существует множество B , членами которого являются в точности те классы, которые являются членами как A , так и D.

или еще проще

Пересечение класса D и множества A само по себе является множеством B.

В этой аксиоме предикат P заменяется классом D , который может быть квантифицирован. Другая более простая аксиома, которая достигает того же эффекта, это $${\displaystyle \forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,}$$

то есть,

Подклассом множества является множество.

В настройках более высокого порядка

В типизированном языке, где мы можем квантифицировать по предикатам, схема аксиом спецификации становится простой аксиомой. Это во многом тот же трюк, который использовался в аксиомах NBG предыдущего раздела, где предикат был заменен классом, который затем квантифицировался по.

В логике второго порядка и логике высшего порядка с семантикой высшего порядка аксиома спецификации является логической действительностью и не требует явного включения в теорию.

В «Новых основаниях» Куайна

В подходе New Foundations к теории множеств, впервые предложенном WVO Quine , аксиома понимания для данного предиката принимает неограниченную форму, но предикаты, которые могут использоваться в схеме, сами по себе ограничены. Предикат ( C is not in C ) запрещён, потому что один и тот же символ C появляется по обе стороны от символа принадлежности (и, следовательно, в разных «относительных типах»); таким образом, парадокс Рассела избегается. Однако, принимая P ( C ) равным ( C = C ) , что разрешено, мы можем сформировать множество всех множеств. Подробности см. в разделе стратификация .

Ссылки

1. "AxiomaticSetTheory". www.cs.yale.edu . Схема аксиом спецификации . Получено 2024-06-08 .
2. Suppes, Patrick (1972-01-01). Аксиоматическая теория множеств. Courier Corporation. стр. 6, 19, 21, 237. ISBN 978-0-486-61630-8.
3. Каннингем, Дэниел У. (2016). Теория множеств: первый курс . Кембриджские математические учебники. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press. С. 22, 24–25, 29. ISBN 978-1-107-12032-7.
4. Пинтер, Чарльз С. (2014-06-01). Книга теории множеств. Courier Corporation. стр. 27. ISBN 978-0-486-79549-2.
5. Хайнц-Дитер Эббингауз (2007). Эрнст Цермело: Подход к его жизни и работе . Springer Science & Business Media. стр. 88. ISBN 978-3-540-49553-6.
6. DeVidi, David; Hallett, Michael; Clark, Peter (2011-03-23). ​​Логика, математика, философия, винтажные энтузиазмы: эссе в честь Джона Л. Белла. Springer Science & Business Media. стр. 206. ISBN 978-94-007-0214-1.
7. FR Drake, Теория множеств: Введение в большие кардиналы (1974), стр. 12--13. ISBN 0 444 10535 2.
8. WVO Quine, Математическая логика (1981), стр. 164. Издательство Гарвардского университета, 0-674-55451-5
9. Toth, Gabor (2021-09-23). ​​Elements of Mathematics: A Problem-Centered Approach to History and Foundations. Springer Nature. стр. 32. ISBN 978-3-030-75051-0.
10. Байнок, Бела (27 октября 2020 г.). Приглашение к абстрактной математике. Спрингер Природа. п. 138. ИСБН 978-3-030-56174-1.
11. Vaught, Robert L. (2001-08-28). Теория множеств: Введение. Springer Science & Business Media. стр. 67. ISBN 978-0-8176-4256-3.
12. Кановей, Владимир; Рикен, Майкл (2013-03-09). Нестандартный анализ, аксиоматически. Springer Science & Business Media. стр. 21. ISBN 978-3-662-08998-9.
13. "аксиома полного понимания в nLab". ncatlab.org . Получено 2024-11-07 .

Дальнейшее чтение

• Crossley, J.bN.; Ash, CJ; Brickhill, CJ; Stillwell, JC; Williams, NH (1972). Что такое математическая логика? . Лондон-Оксфорд-Нью-Йорк: Oxford University Press . ISBN 0-19-888087-1. Збл  0251.02001.
• Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). 
• Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: Введение в доказательства независимости . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 

Примечания

1. Саппс ^[2] , цитируемый ранее, вывел его только из схемы аксиом замены (стр. 237), но это потому, что он начал свою формулировку теории множеств, включив пустое множество как часть определения множества: его Определение 1 на стр. 19 гласит, что . ${\displaystyle y{\text{ is a set}}\iff (\exists x)\ (x\in y\lor y=\emptyset )}$