Новые основы

Аксиоматическая теория множеств, разработанная У. В. О. Куайном

В математической логике Новые основания ( НФ ) — это не вполне обоснованная , конечно аксиоматизируемая теория множеств, задуманная Уиллардом Ван Орманом Куайном как упрощение теории типов Principia Mathematica .

Определение

Правильно построенные формулы NF являются стандартными формулами исчисления высказываний с двумя примитивными предикатами: равенство ( ) и членство ( ). NF может быть представлена ​​только двумя схемами аксиом: ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \in }$

• Экстенсиональность : два объекта с одинаковыми элементами являются одним и тем же объектом; формально, если для любого множества A и любого множества B , X является элементом A тогда и только тогда, когда X является элементом B , то A равно B.
• Ограниченная аксиоматическая схема понимания : существует для каждой стратифицированной формулы . ${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$ ${\displaystyle \phi }$

Формула называется стратифицированной, если существует функция f из частей синтаксиса в натуральные числа, такая, что для любой атомарной подформулы имеем f ( y ) = f ( x ) + 1, тогда как для любой атомарной подформулы имеем f ( x ) = f ( y ). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x\in y}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \phi }$

Конечная аксиоматизация

NF может быть конечно аксиоматизирована . ^[1] Одним из преимуществ такой конечной аксиоматизации является то, что она устраняет понятие стратификации . Аксиомы в конечной аксиоматизации соответствуют естественным базовым конструкциям, тогда как стратифицированное понимание является мощным, но не обязательно интуитивным. В своей вводной книге Холмс решил взять конечную аксиоматизацию в качестве базовой и доказать стратифицированное понимание как теорему. ^[2] Точный набор аксиом может варьироваться, но включает в себя большинство из следующих, а другие доказуемы как теоремы: ^{[3] [1]}

• Экстенсиональность: Если и являются множествами, и для каждого объекта , является элементом тогда и только тогда, когда является элементом , то . ^[4] Это также можно рассматривать как определение символа равенства. ^{[5] [6]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=B}$
• Синглтон: Для каждого объекта существует множество , называемое синглтоном . ^{[7] [8]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \iota (x)=\{x\}=\{y|y=x\}}$ ${\displaystyle x}$
• Декартово произведение: Для любых множеств , , множество , называемое декартовым произведением и , существует. ^[9] Это может быть ограничено существованием одного из перекрестных произведений или . ^{[10] [11]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B=\{(a,b)|a\in A{\text{ and }}b\in B\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times V}$ ${\displaystyle V\times B}$
• Обратное: Для каждого отношения существует множество ; заметьте, что именно тогда, когда . ^{[12] [13] [14]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{-1}=\{(x,y)|(y,x)\in R\}}$ ${\displaystyle xR^{-1}y}$ ${\displaystyle yRx}$
• Изображение синглтона: Для любого отношения существует множество , называемое изображением синглтона . ^{[15] [16] [17]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\iota =\{(\{x\},\{y\})|(x,y)\in R\}}$ ${\displaystyle R}$
• Домен: Если есть отношение, то множество , называемое доменом , существует. ^[12] Это можно определить с помощью операции понижения типа. ^[18] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{dom}}(R)=\{x|\exists y.(x,y)\in R\}}$ ${\displaystyle R}$
• Включение: Множество существует. ^[19] Эквивалентно, мы можем рассмотреть множество . ^{[20] [21]} ${\displaystyle [\subseteq ]=\{(x,y)|x\subseteq y\}}$ ${\displaystyle [\in ]=[\subseteq ]\cap (1\times V)=\{(\{x\},y)|x\in y\}}$

• Дополнение: Для каждого множества существует множество , называемое дополнением . ^[22] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{c}=\{x|x\notin A\}}$ ${\displaystyle A}$
• (Булевое) объединение: Если и являются множествами, то множество , называемое (Булевым) объединением и , существует. ^[23] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cup B=\{x|x\in A{\text{ or }}x\in B{\text{ or both}}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• Универсальный набор: существует. Очевидно, что для любого набора , . ^[22] ${\displaystyle V=\{x|x=x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cup x^{c}=V}$
• Упорядоченная пара: Для каждого , , упорядоченная пара и , , существует; точно, если и . Этот и более крупные кортежи могут быть определением, а не аксиомой, если используется конструкция упорядоченной пары. ^[24] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a,b)=(c,d)}$ ${\displaystyle a=c}$ ${\displaystyle b=d}$
• Проекции: существуют множества и (это отношения, которые упорядоченная пара имеет к своим первым и вторым членам, которые технически называются ее проекциями). ^[25] ${\displaystyle \pi _{1}=\{((x,y),x)|x,y\in V\}}$ ${\displaystyle \pi _{2}=\{((x,y),y)|x,y\in V\}}$
• Диагональ: множество существует, называется отношением равенства. ^[25] ${\displaystyle [=]=\{(x,x)|x\in V\}}$
• Объединение множеств: Если — множество, все элементы которого являются множествами, то существует множество , называемое объединением множеств . ^[26] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \bigcup [A]=\{x|{\text{for some }}B,x\in B{\text{ and }}B\in A\}}$ ${\displaystyle A}$
• Относительное произведение: Если , являются отношениями, то множество , называемое относительным произведением и , существует. ^[12] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (R|S)=\{(x,y)|{\text{for some }}z,xRz{\text{ and }}zSy\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$

• Антипересечение: существует. Это эквивалентно дополнению и объединению вместе, с и . ^[27] ${\displaystyle x|y=\{z:\neg (z\in x\land z\in y)\}}$ ${\displaystyle x^{c}=x|x}$ ${\displaystyle x\cup y=x^{c}|y^{c}}$
• Кардинальное число: существует множество всех одиночек . ^{[28] [29]} ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \{x|\exists y:(\forall w:w\in x\leftrightarrow w=y)\}}$
• Вставки кортежей: Для отношения существуют множества и . ^{[30] [31]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I_{2}(R)=\{(z,w,t):(z,t)\in R\}}$ ${\displaystyle I_{3}(R)=\{(z,w,t):(z,w)\in R\}}$
• Понижение типа: Для любого множества , множество существует. ^{[32] [33]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{TL}}(S)=\{z:\forall w:(w,\{z\})\in S\}}$

Теория типизированных множеств

New Foundations тесно связана с теорией множеств Рассела неразветвленного типизированного типа ( TST ), упрощенной версией теории типов Principia Mathematica с линейной иерархией типов. В этой многосортной теории каждой переменной и множеству присваивается тип. Обычно индексы типов записываются как верхние индексы: обозначает переменную типа n . Тип 0 состоит из индивидов, которые иначе не описаны. Для каждого (мета-) натурального числа n объекты типа n +1 являются множествами объектов типа n ; объекты, связанные тождеством, имеют одинаковые типы, а множества типа n имеют элементы типа n -1. Аксиомами TST являются экстенсиональность на множествах одного и того же (положительного) типа и понимание, а именно, что если  является формулой, то множество существует. Другими словами, если задана любая формула , формула является аксиомой, где представляет множество и не является свободной в . Эта теория типов гораздо менее сложна, чем та, которая была впервые изложена в Principia Mathematica , где были включены типы для отношений , аргументы которых не обязательно были одного и того же типа. ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle \phi (x^{n})}$ ${\displaystyle \{x^{n}\mid \phi (x^{n})\}^{n+1}\!}$ ${\displaystyle \phi (x^{n})\!}$ ${\displaystyle \exists A^{n+1}\forall x^{n}[x^{n}\in A^{n+1}\leftrightarrow \phi (x^{n})]}$ ${\displaystyle A^{n+1}\!}$ ${\displaystyle \{x^{n}\mid \phi (x^{n})\}^{n+1}\!}$ ${\displaystyle \phi (x^{n})}$

Существует соответствие между New Foundations и TST в плане добавления или удаления аннотаций типов. В схеме понимания NF формула стратифицируется именно тогда, когда формуле можно назначить типы в соответствии с правилами TST. Это можно расширить, чтобы сопоставить каждую формулу NF с набором соответствующих формул TST с различными аннотациями индексов типов. Сопоставление является один-ко-многим, поскольку TST имеет много похожих формул. Например, повышение каждого индекса типа в формуле TST на 1 приводит к новой, действительной формуле TST.

Теория запутанных типов

Tangled Type Theory (TTT) — это расширение TST, где каждая переменная типизирована порядковым числом, а не натуральным. Правильно сформированные атомарные формулы — это и где . Аксиомы TTT — это аксиомы TST, где каждая переменная типа отображается в переменную , где — возрастающая функция. ${\displaystyle x^{n}=y^{n}}$ ${\displaystyle x^{m}\in y^{n}}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle s(i)}$ ${\displaystyle s}$

TTT считается «странной» теорией, потому что каждый тип связан с каждым более низким типом одинаковым образом. Например, множества типа 2 имеют как элементы типа 1, так и элементы типа 0, а аксиомы экстенсиональности утверждают, что множество типа 2 однозначно определяется либо его элементами типа 1, либо его элементами типа 0. В то время как TST имеет естественные модели, где каждый тип является набором мощности типа , в TTT каждый тип интерпретируется как набор мощности каждого более низкого типа одновременно. Независимо от этого, модель NF может быть легко преобразована в модель TTT, потому что в NF все типы уже являются одним и тем же. И наоборот, с более сложным аргументом также можно показать, что согласованность TTT подразумевает согласованность NF. ^[34] ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle i}$

НФУ и другие варианты

NF с urelements ( NFU ) является важным вариантом NF, созданным Дженсеном ^[35] и уточненным Холмсом. ^[3] Urelements — это объекты, которые не являются множествами и не содержат никаких элементов, но могут содержаться в множествах. Одна из простейших форм аксиоматизации NFU рассматривает urelements как множественные, неравные пустые множества, тем самым ослабляя аксиому экстенсиональности NF до:

• Слабая экстенсиональность: два непустых объекта с одинаковыми элементами являются одним и тем же объектом; формально,

$${\displaystyle \forall xyw.(w\in x)\to (x=y\leftrightarrow (\forall z.z\in x\leftrightarrow z\in y)))}$$

В этой аксиоматизации схема понимания остается неизменной, хотя множество не будет уникальным, если оно пусто (т.е. если является невыполнимым). ${\displaystyle \{x\mid \phi (x)\}}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

Однако для простоты использования удобнее иметь уникальный, «канонический» пустой набор. Это можно сделать, введя предикат sethood , чтобы отличить наборы от атомов. Аксиомы тогда таковы: ^[36] ${\displaystyle \mathrm {set} (x)}$

• Множества: только множества имеют элементы, т.е. ${\displaystyle \forall xy.x\in y\to \mathrm {set} (y).}$
• Экстенсиональность: Два множества с одинаковыми элементами представляют собой одно и то же множество, т.е. ${\displaystyle \forall yz.(\mathrm {set} (y)\wedge \mathrm {set} (z)\wedge (\forall x.x\in y\leftrightarrow x\in z))\to y=z.}$
• Понимание: множество существует для каждой стратифицированной формулы , т.е. ${\displaystyle \{x\mid \phi (x)\}}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \exists A.\mathrm {set} (A)\wedge (\forall x.x\in A\leftrightarrow \phi (x)).}$

NF ₃ — это фрагмент NF с полной экстенсиональностью (без урелементов) и те случаи понимания, которые можно стратифицировать, используя не более трех типов. NF ₄ — это та же теория, что и NF.

Математическая логика (ML) — это расширение NF, которое включает в себя как собственные классы, так и множества. ML была предложена Куайном и пересмотрена Хао Ваном, который доказал, что NF и пересмотренная ML равносогласованы.

Конструкции

В этом разделе обсуждаются некоторые проблемные конструкции в NF. Для дальнейшего развития математики в NFU, в сравнении с развитием того же самого в ZFC, см. Реализация математики в теории множеств .

Упорядоченные пары

Отношения и функции определяются в TST (и в NF и NFU) как наборы упорядоченных пар обычным способом. Для целей стратификации желательно, чтобы отношение или функция были всего на один тип выше, чем тип членов ее поля. Это требует определения упорядоченной пары так, чтобы ее тип был таким же, как и у ее аргументов (что приводит к упорядоченной паре на уровне типа ). Обычное определение упорядоченной пары, а именно , приводит к типу на два выше, чем тип ее аргументов a и b . Следовательно, для целей определения стратификации функция имеет три типа выше, чем члены ее поля. NF и связанные теории обычно используют теоретико-множественное определение упорядоченной пары Куайна , которое дает упорядоченную пару на уровне типа. Однако определение Куайна опирается на операции над множествами для каждого из элементов a и b , и поэтому напрямую не работает в NFU. ${\displaystyle (a,\ b)_{K}\;:=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}}$

В качестве альтернативного подхода Холмс ^[3] берет упорядоченную пару (a, b) как примитивное понятие , а также ее левую и правую проекции и , т. е. функции такие, что и (в аксиоматизации Холмса NFU схема понимания, которая утверждает существование для любой стратифицированной формулы, считается теоремой и доказывается только позже, поэтому выражения типа не считаются надлежащими определениями). К счастью, является ли упорядоченная пара уровнем типа по определению или по предположению (т. е. принимается как примитивная) обычно не имеет значения. ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}((a,b))=a}$ ${\displaystyle \pi _{2}((a,b))=b}$ ${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \pi _{1}=\{((a,b),a)\mid a,b\in V\}}$

Натуральные числа и аксиома бесконечности

Обычная форма аксиомы бесконечности основана на конструкции фон Неймана натуральных чисел , которая не подходит для НФ, поскольку описание операции следования (и многих других аспектов цифр фон Неймана) обязательно нестратифицировано. Обычная форма натуральных чисел, используемая в НФ, следует определению Фреге , то есть натуральное число n представлено множеством всех множеств с n элементами. Согласно этому определению, 0 легко определяется как , а операция следования может быть определена стратифицированным образом: Согласно этому определению, можно записать утверждение, аналогичное обычной форме аксиомы бесконечности. Однако это утверждение было бы тривиально верным, поскольку универсальное множество было бы индуктивным множеством . ${\displaystyle \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle S(A)=\{a\cup \{x\}\mid a\in A\wedge x\notin a\}.}$ ${\displaystyle V}$

Поскольку индуктивные множества всегда существуют, множество натуральных чисел можно определить как пересечение всех индуктивных множеств. Это определение допускает математическую индукцию для стратифицированных утверждений , поскольку множество может быть построено, и когда удовлетворяет условиям математической индукции, это множество является индуктивным множеством. ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle P(n)}$ ${\displaystyle \{n\in \mathbf {N} \mid P(n)\}}$ ${\displaystyle P(n)}$

Конечные множества могут быть определены как множества, принадлежащие натуральному числу. Однако нетривиально доказать, что не является «конечным множеством», т. е. что размер вселенной не является натуральным числом. Предположим, что . Тогда (можно показать индуктивно, что конечное множество не равночисленно ни с одним из своих собственных подмножеств), , и каждое последующее натуральное число также будет равночисленным, что приведет к нарушению арифметики. Чтобы предотвратить это, можно ввести аксиому бесконечности для NF: ^[37] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |V|}$ ${\displaystyle |V|=n\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle n=\{V\}}$ ${\displaystyle n+1=S(n)=\varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing \notin \mathbf {N} .}$

Интуитивно может показаться, что можно доказать бесконечность в NF(U), построив любую «внешне» бесконечную последовательность множеств, например . Однако такую ​​последовательность можно построить только с помощью нестратифицированных построений (о чем свидетельствует тот факт, что сама TST имеет конечные модели), поэтому такое доказательство невозможно провести в NF(U). Фактически, бесконечность логически независима от NFU: существуют модели NFU, где — нестандартное натуральное число . В таких моделях математическая индукция может доказывать утверждения о , делая невозможным «отличие» от стандартных натуральных чисел. ${\displaystyle \varnothing ,\{\varnothing \},\{\{{\varnothing }\}\},\ldots }$ ${\displaystyle |V|}$ ${\displaystyle |V|}$ ${\displaystyle |V|}$

Однако существуют некоторые случаи, когда бесконечность может быть доказана (в этих случаях ее можно назвать теоремой о бесконечности ):

• В NF (без urelements ) Шпеккер ^[38] показал, что аксиома выбора ложна. Поскольку можно доказать по индукции, что каждое конечное множество имеет функцию выбора (стратифицированное условие), то отсюда следует, что бесконечно. ${\displaystyle V}$
• В NFU с аксиомами, утверждающими существование упорядоченной на уровне типа пары, равночисленно своему собственному подмножеству , что подразумевает Бесконечность . ^[37] И наоборот, NFU + Бесконечность + Выбор доказывает существование упорядоченной на уровне типа пары. ^{[ необходима цитата ]} NFU + Бесконечность интерпретирует NFU + как «существует упорядоченная на уровне типа пара» (это не совсем одна и та же теория, но различия несущественны). ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\times \{0\}}$

Существуют более сильные аксиомы бесконечности, например, что множество натуральных чисел является строго канторовым множеством, или NFUM = NFU + Infinity + Large Ordinals + Small Ordinals , что эквивалентно теории множеств Морса–Келли плюс предикат на собственных классах, который является κ -полным неглавным ультрафильтром на собственном ординале класса κ . ^[39]

Большие наборы

NF (и NFU + Infinity + Choice , описанные ниже и известные своей непротиворечивостью) допускают построение двух видов множеств, которые ZFC и его собственные расширения не допускают, поскольку они «слишком велики» (некоторые теории множеств допускают эти сущности под заголовком собственных классов ):

• Универсальное множество V. Поскольку является стратифицированной формулой , универсальное множество V = { x | x=x } существует по Comprehension . Непосредственным следствием является то, что все множества имеют дополнения , и вся теоретико-множественная вселенная под NF имеет булеву структуру. ${\displaystyle x=x}$
• Кардинальные и порядковые числа . В NF (и TST) существует множество всех множеств, имеющих n элементов ( цикличность здесь только кажущаяся). Следовательно, определение Фреге кардинальных чисел работает в NF и NFU: кардинальное число — это класс эквивалентности множеств при отношении равночисленности: множества A и B равночисленны, еслимежду ними существует биекция , в этом случае мы пишем . Аналогично, порядковое число — это класс эквивалентности вполне упорядоченных множеств. ${\displaystyle A\sim B}$

Декартово замыкание

Категория, объектами которой являются множества NF, а стрелками — функции между этими множествами, не является декартово замкнутой ; ^[40] Поскольку в NF отсутствует декартово замыкание, не каждая функция каррируется , как можно было бы интуитивно ожидать, и NF не является топосом .

Разрешение теоретико-множественных парадоксов

Может показаться, что NF сталкивается с проблемами, похожими на проблемы наивной теории множеств , но это не так. Например, существование невозможного класса Рассела не является аксиомой NF, поскольку не может быть стратифицировано. NF избегает трех известных парадоксов теории множеств радикально иными способами, чем те, которыми эти парадоксы разрешаются в обоснованных теориях множеств, таких как ZFC. Многие полезные концепции, которые являются уникальными для NF и ее вариантов, могут быть разработаны из разрешения этих парадоксов. ${\displaystyle \{x\mid x\not \in x\}}$ ${\displaystyle x\not \in x}$

парадокс Рассела

Разрешение парадокса Рассела тривиально: не является стратифицированной формулой, поэтому существование не утверждается ни одним примером Понимания . Куайн сказал, что он построил NF, имея в виду этот парадокс в первую очередь. ^[41] ${\displaystyle x\not \in x}$ ${\displaystyle \{x\mid x\not \in x\}}$

Парадокс Кантора и канторовские множества

Парадокс Кантора сводится к вопросу о том, существует ли наибольшее кардинальное число , или, что эквивалентно, существует ли множество с наибольшей мощностью . В NF универсальное множество, очевидно, является множеством с наибольшей мощностью. Однако теорема Кантора утверждает (при условии ZFC), что множество мощности любого множества больше, чем (не может быть инъекции (отображения один к одному) из в ), что, по-видимому, подразумевает противоречие, когда . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=V}$

Конечно, есть инъекция из в , поскольку — универсальное множество, поэтому должно быть так, что теорема Кантора (в ее первоначальной форме) не выполняется в НФ. Действительно, доказательство теоремы Кантора использует аргумент диагонализации , рассматривая множество . В НФ и следует присвоить тот же тип, поэтому определение не стратифицировано. Действительно, если — тривиальная инъекция , то — то же (плохо определенное) множество в парадоксе Рассела. ${\displaystyle P(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:P(V)\to V}$ ${\displaystyle x\mapsto x}$ ${\displaystyle B}$

Эта неудача неудивительна, поскольку не имеет смысла в TST: тип на единицу выше, чем тип . В NF является синтаксическим предложением из-за объединения всех типов, но любое общее доказательство с использованием Comprehension вряд ли сработает. ${\displaystyle |A|<|P(A)|}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |A|<|P(A)|}$

Обычный способ исправить такую ​​проблему типа — заменить на , множество одноэлементных подмножеств . Действительно, правильно типизированная версия теоремы Кантора является теоремой в TST (благодаря аргументу диагонализации), а значит, также теоремой в NF. В частности, : существует меньше одноэлементных множеств, чем множеств (и, следовательно, меньше одноэлементных множеств, чем общих объектов, если мы находимся в NFU). «Очевидная» биекция из вселенной в одноэлементные множества не является множеством; это не множество, потому что его определение не стратифицировано. Обратите внимание, что во всех моделях NFU + Choice имеет место случай, когда ; Choice позволяет не только доказать, что существуют праэлементы, но и что существует много кардиналов между и . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{1}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |P_{1}(A)|<|P(A)|}$ ${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|}$ ${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$ ${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|\ll |V|}$ ${\displaystyle |P(V)|}$ ${\displaystyle |V|}$

Однако, в отличие от TST, является синтаксическим предложением в NF(U), и, как показано выше, можно говорить о его истинностном значении для определенных значений (например, когда оно ложно). Множество , которое удовлетворяет интуитивно привлекательному, называется канторовым : канторово множество удовлетворяет обычной форме теоремы Кантора . Множество , которое удовлетворяет дополнительному условию, что , ограничение отображения синглтона на A , является множеством, является не только канторовым множеством, но и строго канторовым . ^[42] ${\displaystyle |A|=|P_{1}(A)|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |A|=|P_{1}(A)|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x\mapsto \{x\})\lceil A}$

Парадокс Бурали-Форти и операция Т

Парадокс Бурали-Форти наибольшего порядкового числа разрешается противоположным образом: в НФ доступ к набору порядковых чисел не позволяет построить "наибольшее порядковое число". Можно построить порядковый номер , который соответствует естественному полному порядку всех порядковых чисел, но это не значит, что он больше всех этих порядковых чисел. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Чтобы формализовать парадокс Бурали-Форти в NF, необходимо сначала формализовать понятие порядковых чисел. В NF порядковые числа определяются (так же, как и в наивной теории множеств ) как классы эквивалентности вполне упорядоченных чисел при изоморфизме . Это стратифицированное определение, поэтому множество порядковых чисел может быть определено без проблем. Трансфинитная индукция работает на стратифицированных утверждениях, что позволяет доказать, что естественный порядок ординалов ( если и только если существуют вполне упорядоченные числа, такие что являются продолжением ) является вполне упорядоченным числом . По определению ординалов этот вполне упорядоченный ряд также принадлежит ординалу . В наивной теории множеств можно было бы продолжить доказательство с помощью трансфинитной индукции, что каждый ординал является типом порядка естественного порядка на ординалах, меньших , что подразумевало бы противоречие, поскольку по определению является типом порядка всех ординалов, а не любого их собственного начального сегмента. ${\displaystyle \mathrm {Ord} }$ ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ ${\displaystyle R\in \alpha ,S\in \beta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathrm {Ord} }$ ${\displaystyle \Omega \in \mathrm {Ord} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$

Однако утверждение « является типом порядка естественного порядка по ординалам, меньшим, чем » не стратифицировано, поэтому аргумент трансфинитной индукции не работает в НФ. Фактически, «тип порядка естественного порядка по ординалам, меньшим, чем » по крайней мере на два типа выше, чем : Отношение порядка на один тип выше, чем , предполагая, что является упорядоченной на уровне типа парой, а тип порядка (класс эквивалентности) на один тип выше, чем . Если является обычной упорядоченной по Куратовскому парой (на два типа выше, чем и ), то будет на четыре типа выше, чем . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle R_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R_{\alpha }=\{(x,y)\mid x\leq y<\alpha \}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \beta =\{S\mid S\sim R_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle R_{\alpha }}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

Чтобы исправить такую ​​проблему с типом, нужна операция T , , которая «повышает тип» ординала , точно так же, как «повышает тип» множества . Операция T определяется следующим образом: Если , то — тип порядка порядка . Теперь лемму о типах порядка можно переформулировать в стратифицированной форме: ${\displaystyle T(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P_{1}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W\in \alpha }$ ${\displaystyle T(\alpha )}$ ${\displaystyle W^{\iota }=\{(\{x\},\{y\})\mid xWy\}}$

Тип естественного порядка порядковых чисел — или , в зависимости от того, какая упорядоченная пара используется. ${\displaystyle <\alpha }$ ${\displaystyle T^{2}(\alpha )}$ ${\displaystyle T^{4}(\alpha )}$

Обе версии этого утверждения можно доказать с помощью трансфинитной индукции; далее мы предполагаем пару уровня типа. Это означает, что всегда меньше , типа порядка всех ординалов. В частности, . ${\displaystyle T^{2}(\alpha )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle T^{2}(\Omega )<\Omega }$

Другое (стратифицированное) утверждение, которое может быть доказано с помощью трансфинитной индукции, состоит в том, что T является строго монотонной (сохраняющей порядок) операцией над ординалами, т. е . тогда и только тогда, когда . Следовательно, операция T не является функцией: набор ординалов не может иметь наименьшего члена и, таким образом, не может быть множеством. Более конкретно, монотонность T подразумевает , «нисходящую последовательность» в ординалах, которая также не может быть множеством. ${\displaystyle T(\alpha )<T(\beta )}$ ${\displaystyle \alpha <\beta }$ ${\displaystyle \{\alpha \mid T(\alpha )<\alpha \}}$ ${\displaystyle \Omega >T^{2}(\Omega )>T^{4}(\Omega )\ldots }$

Можно утверждать, что этот результат показывает, что ни одна модель NF(U) не является « стандартной », поскольку ординалы в любой модели NFU внешне не вполне упорядочены. Это философский вопрос, а не вопрос того, что можно доказать в рамках формальной теории. Обратите внимание, что даже в рамках NFU можно доказать, что любая модель множеств NFU имеет не вполне упорядоченные «ординалы»; NFU не делает вывод, что вселенная является моделью NFU, несмотря на то, что является множеством, поскольку отношение принадлежности не является отношением множеств. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Последовательность

Некоторые математики подвергали сомнению согласованность NF, отчасти потому, что неясно, почему она избегает известных парадоксов. Ключевой проблемой было то, что Спекер доказал, что NF в сочетании с аксиомой выбора является противоречивым. Доказательство является сложным и включает в себя T-операции. Однако с 2010 года Холмс утверждал, что показал, что NF является согласованным относительно согласованности стандартной теории множеств (ZFC). В 2024 году Скай Уилшоу подтвердил доказательство Холмса с помощью помощника доказательства Lean . ^[43]

Хотя NFU разрешает парадоксы аналогично NF, у него гораздо более простое доказательство согласованности. Доказательство может быть формализовано в рамках арифметики Пеано (PA), теории, более слабой, чем ZF, которую большинство математиков принимают без вопросов. Это не противоречит второй теореме Гёделя о неполноте , поскольку NFU не включает аксиому бесконечности , и поэтому PA не может быть смоделирована в NFU, избегая противоречия. PA также доказывает, что NFU с бесконечностью и NFU как с бесконечностью, так и с выбором равносогласованы с TST с бесконечностью и TST как с бесконечностью, так и с выбором соответственно. Поэтому более сильная теория, такая как ZFC, которая доказывает согласованность TST, также докажет согласованность NFU с этими дополнениями. ^[35] Проще говоря, NFU обычно рассматривается как более слабый, чем NF, поскольку в NFU совокупность всех множеств (мощность множества вселенной) может быть меньше самой вселенной, особенно когда включены праэлементы, как того требует NFU с выбором.

Модели НФУ

Доказательство Йенсена дает довольно простой метод для производства моделей NFU в объеме. Используя известные методы теории моделей , можно построить нестандартную модель теории множеств Цермело (для базовой техники не требуется ничего столь же сильного, как полный ZFC), на которой есть внешний автоморфизм j (не множество модели), который перемещает ранг ^{[примечание 1]} кумулятивной иерархии множеств. Мы можем предположить без потери общности, что . ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle j(\alpha )<\alpha }$

Областью модели NFU будет нестандартный ранг . Основная идея заключается в том, что автоморфизм j кодирует "множество мощности" нашей "вселенной" в его внешне изоморфную копию внутри нашей "вселенной". Остальные объекты, не кодирующие подмножества вселенной, рассматриваются как urelements . Формально отношение принадлежности модели NFU будет ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{j(\alpha )+1}}$ ${\displaystyle x\in _{NFU}y\equiv _{def}j(x)\in y\wedge y\in V_{j(\alpha )+1}.}$

Теперь можно доказать, что это на самом деле модель NFU. Пусть будет стратифицированной формулой на языке NFU. Выберите назначение типов всем переменным в формуле, которое свидетельствует о том, что она стратифицирована. Выберите натуральное число N, большее, чем все типы, назначенные переменным этой стратификацией. Разверните формулу в формулу на языке нестандартной модели теории множеств Цермело с автоморфизмом j, используя определение принадлежности в модели NFU. Применение любой степени j к обеим сторонам уравнения или утверждения принадлежности сохраняет его истинностное значение , поскольку j является автоморфизмом. Сделайте такое применение к каждой атомарной формуле таким образом, чтобы каждая переменная x с назначенным типом i встречалась ровно с применениями j . Это возможно благодаря форме утверждений атомарной принадлежности, полученных из утверждений принадлежности NFU, и стратифицированной формуле. Каждое квантифицированное предложение можно преобразовать в форму (и аналогично для квантификаторов существования ). Выполните это преобразование везде и получите формулу, в которой j никогда не применяется к связанной переменной. Выберите любую свободную переменную y в назначенном типе i . Примените равномерно ко всей формуле, чтобы получить формулу , в которой y появляется без какого-либо применения j . Теперь существует (потому что j появляется примененным только к свободным переменным и константам), принадлежит и содержит ровно те y , которые удовлетворяют исходной формуле в модели NFU. имеет это расширение в модели NFU (применение j исправляет различное определение членства в модели NFU). Это устанавливает, что стратифицированное понимание выполняется в модели NFU. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle N-i}$ ${\displaystyle (\forall x\in V_{\alpha }.\psi (j^{N-i}(x)))}$ ${\displaystyle (\forall x\in j^{N-i}(V_{\alpha }).\psi (x))}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle j^{i-N}}$ ${\displaystyle \phi _{3}}$ ${\displaystyle \{y\in V_{\alpha }\mid \phi _{3}\}}$ ${\displaystyle V_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle j(\{y\in V_{\alpha }\mid \phi _{3}\})}$

Убедиться в справедливости слабого принципа экстенсиональности несложно: каждый непустой элемент наследует уникальное расширение из нестандартной модели, пустое множество также наследует свое обычное расширение, а все остальные объекты являются праэлементами. ${\displaystyle V_{j(\alpha )+1}}$

Если — натуральное число n , то получаем модель NFU, которая утверждает, что вселенная конечна (конечно, внешне она бесконечна). Если — бесконечна и Выбор выполняется в нестандартной модели ZFC, то получаем модель NFU + Бесконечность + Выбор . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Самодостаточность математических основ в НФУ

По философским причинам важно отметить, что для выполнения этого доказательства не обязательно работать в ZFC или любой другой связанной системе. Распространенный аргумент против использования NFU в качестве основы для математики заключается в том, что причины полагаться на него связаны с интуицией о том, что ZFC является правильным. Достаточно принять TST (фактически TSTU). В общих чертах: возьмите теорию типов TSTU (допускающую урелементы в каждом положительном типе) в качестве метатеории и рассмотрите теорию моделей множеств TSTU в TSTU (эти модели будут последовательностями множеств (все одного типа в метатеории) с вложениями каждого в кодирование вложений множества мощности в способом, учитывающим тип). Учитывая вложение в (идентифицирующее элементы базового «типа» с подмножествами базового типа), вложения могут быть определены из каждого «типа» в его преемника естественным образом. Это можно обобщить на трансфинитные последовательности с осторожностью. ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle P(T_{i})}$ ${\displaystyle P_{1}(T_{i+1})}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i+1}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{\alpha }}$

Обратите внимание, что построение таких последовательностей множеств ограничено размером типа, в котором они строятся; это не позволяет TSTU доказать собственную согласованность (TSTU + Infinity может доказать согласованность TSTU; чтобы доказать согласованность TSTU+ Infinity , нужен тип, содержащий множество мощности , существование которого в TSTU+ Infinity нельзя доказать без более сильных предположений). Теперь те же результаты теории моделей можно использовать для построения модели NFU и проверки того, что это модель NFU, во многом таким же образом, с использованием ' вместо в обычной конструкции. Последний шаг — заметить, что поскольку NFU согласован, мы можем отказаться от использования абсолютных типов в нашей метатеории, перенеся метатеорию из TSTU в NFU. ${\displaystyle \beth _{\omega }}$ ${\displaystyle T_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$

Факты об автоморфизмедж

Автоморфизм j модели такого рода тесно связан с некоторыми естественными операциями в NFU. Например, если W является хорошо упорядоченным в нестандартной модели (мы предполагаем здесь, что используем пары Куратовского , так что кодирование функций в двух теориях будет в некоторой степени согласовываться), которое также является хорошо упорядоченным в NFU (все хорошо упорядоченные NFU являются хорошо упорядоченными в нестандартной модели теории множеств Цермело, но не наоборот, из-за образования урэлементов при построении модели), и W имеет тип α в NFU, то j ( W ) будет хорошо упорядоченным типа T (α) в NFU.

Фактически, j кодируется функцией в модели NFU. Функция в нестандартной модели, которая отправляет синглтон любого элемента из в его единственный элемент, становится в NFU функцией, которая отправляет каждый синглтон { x }, где x — любой объект во вселенной, в j ( x ). Назовем эту функцию Endo и пусть она имеет следующие свойства: Endo — это инъекция из множества синглтонов в множество множеств со свойством, что Endo ( { x } ) = { Endo ( { y } ) | y ∈ x } для каждого множества x . Эта функция может определять отношение «членства» уровня типа во вселенной, воспроизводящее отношение членства исходной нестандартной модели. ${\displaystyle V_{j(\alpha )}}$

История

В 1914 году Норберт Винер показал, как кодировать упорядоченную пару как набор множеств, что позволило исключить типы отношений Principia Mathematica в пользу линейной иерархии множеств в TST. Обычное определение упорядоченной пары было впервые предложено Куратовским в 1921 году . Уиллард Ван Орман Куайн впервые предложил NF как способ избежать «неприятных последствий» TST в статье 1937 года под названием « Новые основания математической логики» ; отсюда и название. Куайн расширил теорию в своей книге «Математическая логика », первое издание которой было опубликовано в 1940 году. В этой книге Куайн представил систему «Математическая логика» или «ML», расширение NF, включающее как собственные классы, так и множества . Теория множеств первого издания объединила NF с собственными классами теории множеств NBG и включила схему аксиом неограниченного понимания для собственных классов. Однако Дж. Баркли Россер доказал, что система подвержена парадоксу Бурали-Форти. ^[44] Хао Ван показал, как изменить аксиомы Куайна для ML, чтобы избежать этой проблемы. ^[45] Куайн включил полученную аксиоматизацию во второе и последнее издание, опубликованное в 1951 году.

В 1944 году Теодор Хайльперин показал, что Comprehension эквивалентен конечному соединению его экземпляров, ^[1] В 1953 году Эрнст Шпеккер показал, что аксиома выбора ложна в NF (без urelements ). ^[38] В 1969 году Йенсен показал, что добавление urelements к NF дает теорию (NFU), которая доказуемо непротиворечива. ^[35] В том же году Гришин доказал непротиворечивость NF _3. ^[46] Шпеккер дополнительно показал, что NF равносогласована с TST плюс аксиоматическая схема «типичной неоднозначности». ^{[ требуется цитирование ]} NF также равносогласована с TST, дополненной «автоморфизмом сдвига типа», операцией (внешней по отношению к теории), которая повышает тип на единицу, отображая каждый тип на следующий более высокий тип, и сохраняет отношения равенства и принадлежности. ^{[ требуется цитирование ]}

В 1983 году Марсель Краббе доказал непротиворечивость системы, которую он назвал NFI, аксиомами которой являются неограниченная экстенсиональность и те случаи понимания, в которых ни одной переменной не присвоен тип выше, чем у множества, существование которого утверждается. Это ограничение предикативности , хотя NFI не является предикативной теорией: она допускает достаточно непредикативности, чтобы определить множество натуральных чисел (определяемое как пересечение всех индуктивных множеств; обратите внимание, что индуктивные множества, квантифицированные по ним, имеют тот же тип, что и определяемое множество натуральных чисел). Краббе также обсудил подтеорию NFI, в которой только параметры ( свободные переменные ) могут иметь тип множества, существование которого утверждается случаем понимания. Он назвал результат «предикативной NF» (NFP); конечно, сомнительно, что какая-либо теория с самочленным универсумом является действительно предикативной. ^{[ согласно кому? ]} Холмс ^{[ дата отсутствует ]} показал, что НФП имеет ту же силу непротиворечивости, что и предикативная теория типов Principia Mathematica без аксиомы сводимости .

База данных Metamath реализовала конечную аксиоматизацию Хейлперина для New Foundations. ^[47] С 2015 года несколько кандидатов на доказательство согласованности NF относительно ZF от Рэндалла Холмса были доступны как на arXiv , так и на домашней странице логика. Его доказательства основывались на демонстрации равносогласованности «странного» варианта TST, «теории запутанных типов с λ-типами» (TTT _λ ), с NF, а затем на демонстрации того, что TTT _λ является согласованной относительно ZF с атомами, но без выбора (ZFA), путем построения модели классов ZFA, которая включает «запутанные сети кардиналов» в ZF с атомами и выбором (ZFA+C). Эти доказательства были «трудночитаемыми, безумно запутанными и включали своего рода сложную бухгалтерию, которая позволяет легко вносить ошибки». В 2024 году Скай Уилшоу формализовал версию доказательства Холмса с помощью помощника доказательства Lean , окончательно решив вопрос о согласованности NF. ^[48] Тимоти Чоу охарактеризовал работу Уилшоу как показывающую, что нежелание рецензентов заниматься сложным для понимания доказательством можно решить с помощью помощников доказательства. ^[49]

Смотрите также

• Альтернативная теория множеств
• Аксиоматическая теория множеств
• Реализация математики в теории множеств
• Теория положительных множеств
• Теоретико-множественное определение натуральных чисел

Примечания

1. Hailperin 1944.
2. Холмс 1998, гл. 8.
3. Холмс 1998.
4. Холмс 1998, стр. 16.
5. Хайльперин 1944, Определение 1.02 и Аксиома PId.
6. Например , У. В. О. Куайн в своей работе «Математическая логика» (1981) использует «три примитивных устройства записи: членство, совместное отрицание и квантификация», а затем определяет = следующим образом (стр. 134–136)
7. Холмс 1998, стр. 25.
8. Фентон 2015, ax-sn.
9. Холмс 1998, стр. 27.
10. Хайльперин 1944, стр. 10, Аксиома P5.
11. Фентон 2015, ax-xp.
12. Holmes 1998, стр. 31.
13. Хайльперин 1944, стр. 10, Аксиома P7.
14. Фентон 2015, ax-cnv.
15. Холмс 1998, стр. 32.
16. Хайльперин 1944, стр. 10, Аксиома P2.
17. Фентон 2015, ax-si.
18. Хайльперин 1944, стр. 10.
19. Холмс 1998, стр. 44.
20. Хайльперин 1944, стр. 10, Аксиома P9.
21. Фентон 2015, ax-sset.
22. Holmes 1998, стр. 19.
23. Холмс 1998, стр. 20.
24. Холмс 1998, стр. 26–27.
25. Holmes 1998, стр. 30.
26. Холмс 1998, стр. 24.
27. Фентон 2015, ax-nin.
28. Хайльперин 1944, с. 10, Аксиома P8.
29. Фентон 2015, ax-1c.
30. Хайльперин 1944, стр. 10, Аксиомы P3,P4.
31. Фентон 2015, ax-ins2,ax-ins3.
32. Хайльперин 1944, стр. 10, Аксиома P6.
33. Фентон 2015, топор-типлоуэр.
34. Холмс и Уилшоу 2024.
35. Йенсен 1969.
36. Холмс 2001.
37. Holmes 1998, раздел 12.1.
38. Specker 1953.
39. Холмс, М. Рэндалл (март 2001 г.). «Сильные аксиомы бесконечности в NFU» (PDF) . Журнал символической логики . 66 (1): 87–116. doi :10.2307/2694912. JSTOR  2694912.
40. Форстер 2007.
41. Куайн 1987.
42. Холмс 1998, раздел 17.5.
43. Смит, Питер (21 апреля 2024 г.). «NF действительно последователен». Logic Matters . Получено 21 апреля 2024 г.
44. Россер 1942.
45. Ван 1950.
46. Гришин 1969.
47. Фентон 2015.
48. Смит, Питер (21 апреля 2024 г.). «NF действительно последователен». Logic Matters . Получено 21 апреля 2024 г.
49. Чоу, Тимоти (3 мая 2024 г.). «Тимоти Чоу о доказательстве согласованности NF и Lean». Logic Matters . Получено 3 мая 2024 г.

1. Мы говорим об автоморфизме, перемещающем ранг, а не порядковый номер, поскольку мы не хотим предполагать, что каждый порядковый номер в модели является индексом ранга. ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Ссылки

• Краббе, Марсель (1982). «О согласованности непредикативного фрагмента НФ Куайна». Журнал символической логики . 47 (1): 131–136. doi :10.2307/2273386. JSTOR  2273386. S2CID  42174966.
• Фентон, Скотт (2015). "Домашняя страница New Foundations Explorer". Metamath . Получено 25 апреля 2024 г. .
• Форстер, Томас (14 октября 2007 г.). «Почему множества NF не образуют декартово-замкнутую категорию» (PDF) . www.dpmms.cam.ac.uk .
• Форстер, TE (2008). «Итеративная концепция множества» (PDF) . Обзор символической логики . 1 : 97–110. doi :10.1017/S1755020308080064. S2CID  15231169.
• Форстер, TE (1992), Теория множеств с универсальным множеством. Исследование нетипизированной вселенной , Oxford Science Publications, Oxford Logic Guides, т. 20, Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN 0-19-853395-0, МР  1166801
• Форстер, TE (2018). «Новые основания Куайна». Стэнфордская энциклопедия философии .
• Гришин, В. Н. (1969). «Непротиворечивость фрагмента системы НФ Куайна». Докл. АН СССР . 189 (2): 41–243.
• Hailperin, T (1944). «Набор аксиом для логики». Журнал символической логики . 9 (1): 1–19. doi :10.2307/2267307. JSTOR  2267307. S2CID  39672836.
• Холмс, М. Рэндалл (1998), Элементарная теория множеств с универсальным набором (PDF) , Cahiers du Centre de Logique, vol. 10, Лувен-ла-Нев: Католический университет Лувена, Департамент философии, ISBN 2-87209-488-1, г-н  1759289
• Холмс, М. Рэндалл (2008). «Симметрия как критерий понимания мотивирует «новые основания» Куайна»". Studia Logica . 88 (2): 195–213. doi : 10.1007/s11225-008-9107-8. S2CID  207242273.
• Холмс, М. Рэндалл; Уилшоу, Скай (2024). «Новые основания последовательны» (PDF) .
• Йенсен, РБ (1969), «О согласованности незначительной(?) модификации НФ Куайна», Synthese , 19 (1/2): 250–63, doi :10.1007/bf00568059, JSTOR  20114640, S2CID  46960777С обсуждением Куайна.
• Куайн, У. В. (1937), «Новые основы математической логики», The American Mathematical Monthly , 44 (2), Математическая ассоциация Америки: 70–80, doi : 10.2307/2300564, JSTOR  2300564
• Куайн, Уиллард Ван Орман (1940), Математическая логика (первое издание), Нью-Йорк: WW Norton & Co., Inc., MR  0002508
• Куайн, Уиллард Ван Орман (1951), Математическая логика (пересмотренное издание), Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета, ISBN 0-674-55451-5, МР  0045661
• Куайн, У. В. , 1980, «Новые основания математической логики» в книге «С логической точки зрения» , 2-е изд., перераб. Harvard Univ. Press: 80–101. Окончательная версия того, с чего все началось, а именно статья Куайна 1937 года в American Mathematical Monthly .
• Куайн, Уиллард Ван Орман (1987). «Зарождение «новых оснований»". Избранные статьи по логике - Расширенное издание. Издательство Гарвардского университета. ISBN 9780674798373.
• Россер, Баркли (1942), «Парадокс Бурали-Форти», Журнал символической логики , 7 (1): 1–17, doi :10.2307/2267550, JSTOR  2267550, MR  0006327, S2CID  13389728
• Спекер, Эрнст П. (1953). «Аксиома выбора в новых основаниях математической логики Куайна». Труды Национальной академии наук . 39 (9). Национальная академия наук: 972–975. Bibcode :1953PNAS...39..972S. doi : 10.1073/pnas.39.9.972 . PMC  1063889 . PMID  16589362.
• Ван, Хао (1950), «Формальная система логики», Журнал символической логики , 15 (1): 25–32, doi :10.2307/2268438, JSTOR  2268438, MR  0034733, S2CID  42852449

Внешние ссылки

• «Обогащенные стратифицированные системы для основ теории категорий» Соломона Фефермана (2011)
• Стэнфордская энциклопедия философии :
  • Новые основания Куайна — Томас Форстер.
  • Альтернативные аксиоматические теории множеств — Рэндалл Холмс.
• Рэндалл Холмс: Домашняя страница New Foundations.
• Рэндалл Холмс: Библиография теории множеств с универсальным множеством.
• Рэндалл Холмс: новый проход в доказательстве последовательности НФ