В теории множеств дерево Курепы — это дерево ( T , <) высоты ω 1 , каждый из уровней которого счётен и имеет по крайней мере ℵ 2 ветвей. Это понятие было введено Курепой (1935). Существование дерева Курепы (известное как гипотеза Курепы , хотя изначально Курепа предполагал, что это ложно) согласуется с аксиомами ZFC : Соловей показал в неопубликованной работе, что в конструктивной вселенной Гёделя есть деревья Курепы (Jech 1971). Точнее, существование деревьев Курепы следует из принципа алмаза плюс , который выполняется в конструктивной вселенной. С другой стороны, Сильвер (1971) показал, что если строго недостижимый кардинал коллапсирует до ω 2 , то в полученной модели нет деревьев Курепы. Существование недостижимого кардинала фактически равнозначно провалу гипотезы Курепы, поскольку если гипотеза Курепы ложна, то кардинал ω 2 недостижим в конструируемой вселенной.
Дерево Курепа с количеством ветвей менее 2ℵ1 известно как дерево Джех-Кунена .
В более общем случае, если κ — бесконечный кардинал, то дерево κ-Курепы — это дерево высоты κ с более чем κ ветвями, но не более чем |α| элементами каждого бесконечного уровня α<κ, и гипотеза Курепы для κ — это утверждение, что существует дерево κ-Курепы. Иногда дерево также предполагается бинарным. Существование бинарного дерева κ-Курепы эквивалентно существованию семейства Курепы : множества из более чем κ подмножеств κ, таких, что их пересечения с любым бесконечным ординалом α<κ образуют множество мощности не более α. Гипотеза Курепы ложна, если κ — невыразимый кардинал , и наоборот, Йенсен показал, что в конструктивной вселенной для любого несчетного регулярного кардинала κ существует дерево κ-Курепы, если κ не является невыразимым.
Дерево Курепы можно «убить», принудительно установив существование функции, значение которой на любом некорневом узле является порядковым числом, меньшим ранга узла, так что всякий раз, когда три узла, один из которых является нижней границей для двух других, отображаются в один и тот же порядковый номер, эти три узла сопоставимы. Это можно сделать без сворачивания ℵ 1 , и в результате получится дерево с ровно ℵ 1 ветвями.