В математической логике теория (также называемая формальной теорией ) представляет собой набор предложений на формальном языке . В большинстве сценариев дедуктивная система сначала понимается из контекста, после чего элемент дедуктивно замкнутой теории называется теоремой теории. Во многих дедуктивных системах обычно имеется подмножество , называемое «набором аксиом » теории , и в этом случае дедуктивную систему также называют « аксиоматической системой ». По определению каждая аксиома автоматически является теоремой. Теория первого порядка — это набор предложений (теорем) первого порядка, рекурсивно полученных с помощью правил вывода системы, примененных к набору аксиом.
При определении теорий для фундаментальных целей необходимо проявлять дополнительную осторожность, поскольку обычный теоретико-множественный язык может оказаться непригодным.
Построение теории начинается с указания определенного непустого концептуального класса , элементы которого называются высказываниями . Эти исходные утверждения часто называют примитивными элементами или элементарными утверждениями теории, чтобы отличить их от других утверждений, которые могут быть на их основе выведены.
Теория — это концептуальный класс, состоящий из некоторых из этих элементарных утверждений. Элементарные утверждения, принадлежащие , называются элементарными теоремами и считаются истинными . Таким образом, теорию можно рассматривать как способ обозначения подмножества, которое содержит только истинные утверждения.
Этот общий способ обозначения теории предполагает, что истинность любого из ее элементарных утверждений неизвестна без ссылки на . Таким образом, одно и то же элементарное утверждение может быть истинным по отношению к одной теории, но ложным по отношению к другой. Это напоминает случай в обычном языке, когда такие утверждения, как «Он честный человек», не могут быть признаны истинными или ложными без интерпретации того, кем «он» является, и, в этом отношении, что такое «честный человек» согласно этой теории. . [1]
Теория является подтеорией теории , если она является подмножеством теории . Если является подмножеством то называется расширением или супертеорией
Теория называется дедуктивной теорией, если она относится к индуктивному классу , то есть ее содержание основано на некоторой формальной дедуктивной системе и что некоторые из ее элементарных утверждений принимаются как аксиомы . В дедуктивной теории любое предложение, которое является логическим следствием одной или нескольких аксиом, также является предложением этой теории. [1] Более формально, если является отношением следствия в стиле Тарского , то оно замкнуто относительно (и, таким образом, каждая из его теорем является логическим следствием его аксиом) тогда и только тогда, когда для всех предложений на языке теории , если , затем ; или, что то же самое, если - конечное подмножество (возможно, множество аксиом в случае конечно аксиоматизируемых теорий) и , то , и, следовательно , .
Синтаксически непротиворечивая теория — это теория, из которой не каждое предложение основного языка может быть доказано (относительно некоторой дедуктивной системы , которая обычно ясна из контекста). В дедуктивной системе (такой как логика первого порядка), которая удовлетворяет принципу взрыва , это эквивалентно требованию, чтобы не существовало предложения φ такого, что и φ, и его отрицание могут быть доказаны с помощью теории.
Выполнимая теория — это теория, имеющая модель . Это означает, что существует структура M , которая удовлетворяет каждому предложению теории. Любая выполнимая теория синтаксически непротиворечива, потому что структура, удовлетворяющая теории, будет удовлетворять ровно одному из φ и отрицанию φ для каждого предложения φ.
Непротиворечивая теория иногда определяется как синтаксически непротиворечивая теория, а иногда определяется как выполнимая теория. Для логики первого порядка , наиболее важного случая, из теоремы о полноте следует , что оба значения совпадают. [2] В других логиках, таких как логика второго порядка , существуют синтаксически непротиворечивые теории, которые не являются выполнимыми, например, ω-несогласованные теории .
Полная непротиворечивая теория (или просто полная теория ) — это непротиворечивая теория , такая, что для каждого предложения φ на ее языке либо φ доказуемо, либо {φ} несовместимо. Для теорий, замкнутых с точки зрения логического следствия, это означает, что для каждого предложения φ в теории содержится либо φ, либо его отрицание. [3] Неполная теория — это непротиворечивая теория, которая не является полной.
( более сильное понятие непротиворечивости см. также в ω-согласованной теории .)
Интерпретация теории — это связь между теорией и некоторым предметом изучения, когда существует соответствие «многие к одному» между определенными элементарными утверждениями теории и определенными утверждениями, относящимися к предмету. Если каждое элементарное утверждение теории имеет корреспондента, это называется полной интерпретацией , в противном случае — частичной интерпретацией . [4]
Каждая структура имеет несколько связанных теорий. Полная теория структуры A — это набор всех предложений первого порядка над сигнатурой A , которым удовлетворяет A. Он обозначается Th( A ). В более общем смысле, теория K , класс σ-структур, представляет собой набор всех σ-предложений первого порядка , которым удовлетворяют все структуры в K , и обозначается Th( K ). Очевидно, Th( A ) = Th({ A }). Эти понятия также могут быть определены относительно других логик.
Для каждой σ-структуры A существует несколько связанных теорий в большей сигнатуре σ', которая расширяет σ путем добавления одного нового постоянного символа для каждого элемента области определения A. (Если новые постоянные символы отождествляются с элементами A , которые они представляют, σ' можно принять за σ A.) Мощность σ', таким образом, является большей из мощности σ и мощности A . [ нужны дальнейшие объяснения ]
Диаграмма A состоит из всех атомарных или отрицательных атомарных σ'-предложений , которым удовлетворяет A , и обозначается Diag A. Позитивная диаграмма A — это множество всех атомарных σ'-предложений, которым A удовлетворяет . Он обозначается Diag + A. Элементарной диаграммой A является множество eldiag A всех σ'- предложений первого порядка , которым удовлетворяет A , или, что то же самое, полная (первого порядка) теория естественного расширения A до сигнатуры σ'.
Теория первого порядка — это набор предложений на формальном языке первого порядка .
Существует множество формальных систем вывода («доказательств») логики первого порядка. К ним относятся дедуктивные системы в стиле Гильберта , естественная дедукция , секвенциальное исчисление , табличный метод и резолюция .
Формула A является синтаксическим следствием теории первого порядка, если существует вывод A с использованием только формул в качестве нелогических аксиом. Такую формулу А еще называют теоремой . Обозначение " " указывает на то , что A является теоремой .
Интерпретация теории первого порядка обеспечивает семантику формул теории . Говорят, что интерпретация удовлетворяет формуле, если формула истинна в соответствии с интерпретацией. Модель теории первого порядка — это интерпретация, в которой удовлетворяется каждая формула теории первого порядка .
Теория первого порядка является теорией первого порядка с тождеством, если включает в себя символ тождественного отношения "=" и схемы аксиом рефлексивности и замены для этого символа.
Один из способов конкретизировать теорию — определить набор аксиом на определенном языке. Теория может включать в себя только те аксиомы или их логические или доказуемые следствия, по желанию. Теории, полученные таким способом, включают ZFC и арифметику Пеано .
Второй способ определить теорию — начать со структуры , и пусть теория представляет собой набор предложений, которым удовлетворяет структура. Это метод создания полных теорий с помощью семантического пути с примерами, включающими набор истинных предложений в структуре ( N , +, ×, 0, 1, =), где N — набор натуральных чисел, и набор истинных предложений по структуре ( R , +, ×, 0, 1, =), где R — множество действительных чисел. Первую из них, называемую теорией истинной арифметики , нельзя записать как совокупность логических следствий какого-либо перечислимого множества аксиом. Тарский показал, что теория ( R , +, ×, 0, 1, =) разрешима ; это теория вещественных замкнутых полей ( подробнее см. Разрешимость теорий действительных чисел первого порядка ).
