Настоящее закрытое поле

Неалгебраически замкнутое поле, расширение которого с помощью sqrt(–1) алгебраически замкнуто.

В математике вещественное замкнутое поле — это поле F , обладающее теми же свойствами первого порядка, что и поле действительных чисел . Некоторыми примерами являются поле действительных чисел, поле действительных алгебраических чисел и поле гипердействительных чисел .

Определение

Вещественное замкнутое поле — это поле F , в котором выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. F элементарно эквивалентно действительным числам. Другими словами, оно обладает теми же свойствами первого порядка, что и вещественные числа: любое предложение на языке полей первого порядка истинно в F тогда и только тогда, когда оно истинно в вещественных числах.
2. В F существует полный порядок, делающий его упорядоченным полем , так что в этом порядке каждый положительный элемент F имеет квадратный корень из F , а любой многочлен нечетной степени с коэффициентами из F имеет хотя бы один корень из F .
3. F — формально вещественное поле такое, что каждый многочлен нечетной степени с коэффициентами из F имеет хотя бы один корень из F , и для каждого элемента a из F существует элемент b в F такой, что a  =  b ² или a  = − b ² .
4. F не является алгебраически замкнутым , но его алгебраическое замыкание является конечным расширением .
5. F не является алгебраически замкнутым, но расширение поля алгебраически замкнуто. ${\displaystyle F({\sqrt {-1}}\,)}$
6. Существует порядок на F , который не продолжается до порядка на каком-либо собственном алгебраическом расширении F .
7. F — формально вещественное поле такое, что никакое собственное алгебраическое расширение F не является формально действительным. (Другими словами, поле максимально в алгебраическом замыкании относительно свойства формальной реальности.)
8. На F существует порядок, делающий его упорядоченным полем, такой, что в этом порядке теорема о промежуточном значении справедлива для всех многочленов над F со степенью ≥ 0.
9. F — слабо o-минимальное упорядоченное поле. ^[1]

Примеры реальных закрытых полей

• поле действительных алгебраических чисел
• поле вычислимых чисел
• поле определимых чисел
• поле действительных чисел
• поле ряда Пюизо с действительными коэффициентами
• месторождение Леви -Чивита
• поля гипердействительных чисел
• поля сверхдействительных чисел
• поле сюрреалистических чисел

Настоящее закрытие

Если F — упорядоченное поле, теорема Артина–Шрайера утверждает, что F имеет алгебраическое расширение, называемое вещественным замыканием K поля F , такое, что K — действительное замкнутое поле, порядок которого является расширением заданного порядка на F и единственный с точностью до единственного изоморфизма полей, тождественных на F ^[2] (обратите внимание, что каждый кольцевой гомоморфизм между действительными замкнутыми полями автоматически сохраняет порядок , поскольку x  ⩽  y тогда и только тогда, когда ∃ z  : y  =  x  +  z ² ). Например, вещественным замыканием упорядоченного поля рациональных чисел является поле действительных алгебраических чисел. Теорема названа в честь Эмиля Артина и Отто Шрайера , доказавших ее в 1926 году. ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$

Если ( F , P ) — упорядоченное поле, а E — расширение Галуа поля F , то по лемме Цорна существует максимальное расширение упорядоченного поля ( M , Q ) с M — подполем E , содержащим F , и порядок на M , расширяющий П . Это M вместе с его упорядочением Q называется относительным вещественным замыканием ( F , P ) в E. Мы называем ( F , P ) вещественно замкнутым относительно E , если M — это просто F. Когда E является алгебраическим замыканием F, относительное вещественное замыкание F в E на самом деле является вещественным замыканием F, описанным ранее. ^[3]

Если F является полем (не предполагается упорядочение, совместимое с операциями над полем, и не предполагается, что F упорядочиваемо), то F по-прежнему имеет реальное замыкание, которое может быть уже не полем, а просто реальным замкнутым кольцом . Например, реальным замыканием поля является кольцо (две копии соответствуют двум порядкам ). С другой стороны, если рассматривать его как упорядоченное подполе , его реальным замыканием снова будет поле . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\!\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }}$

Разрешимость и устранение кванторов

Язык реальных замкнутых полей включает в себя символы операций сложения и умножения, константы 0 и 1, отношения порядка ≤ (а также равенства, если это не считается логическим символом). На этом языке теория (первого порядка) действительных замкнутых полей состоит из всех предложений, которые следуют из следующих аксиом: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

• аксиомы упорядоченных полей ;​
• аксиома, утверждающая, что каждое положительное число имеет квадратный корень;
• для каждого нечетного числа — аксиома, утверждающая, что все многочлены степени имеют хотя бы один корень. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Все эти аксиомы могут быть выражены в логике первого порядка (т.е. количественная оценка распространяется только на элементы поля). Обратите внимание, что это всего лишь набор всех предложений первого порядка, которые верны в отношении поля действительных чисел. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

Тарский показал, что это полное , а это означает, что любое -предложение может быть доказано либо истинным, либо ложным на основе приведенных выше аксиом. Кроме того, это разрешимо , что означает, что существует алгоритм для определения истинности или ложности любого такого предложения. Это было сделано путем демонстрации исключения кванторов : существует алгоритм, который по любой формуле , которая может содержать свободные переменные , создает эквивалентную формулу без кванторов в тех же свободных переменных, где эквивалентность означает, что две формулы верны в точности для одинаковые значения переменных. Доказательство Тарского использует обобщение теоремы Штурма . Поскольку истинность бескванторных формул без свободных переменных можно легко проверить, это дает желаемую процедуру решения. Эти результаты были получены c.  1930 г. и опубликовано в 1948 г. ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$

Теорема Тарского -Зейденберга расширяет этот результат до следующей теоремы о проекции . Если R — действительное замкнутое поле, формула с n свободными переменными определяет подмножество Rn , набор точек, удовлетворяющих формуле ^. Такое подмножество называется полуалгебраическим множеством . Учитывая подмножество k переменных, проекция из R ⁿ в R ^k - это функция , которая отображает каждый n -кортеж в k -кортеж компонентов, соответствующих подмножеству переменных. Теорема о проекции утверждает, что проекция полуалгебраического множества является полуалгебраическим множеством и что существует алгоритм, который по заданной бескванторной формуле, определяющей полуалгебраическое множество, выдает бескванторную формулу для его проекции.

Фактически, теорема о проекции эквивалентна исключению кванторов, поскольку проекция полуалгебраического множества, определенного формулой p ( x , y ), определяется формулой

${\displaystyle (\exists x)P(x,y),}$

где x и y представляют собой соответственно набор исключенных переменных и набор сохраненных переменных.

Разрешимость теории действительных чисел первого порядка существенно зависит от рассматриваемых примитивных операций и функций (в данном случае сложения и умножения). Добавление символов других функций, например синуса или показательной функции , может привести к появлению неразрешимых теорий; см. теорему Ричардсона и Разрешимость теорий действительных чисел первого порядка .

Более того, полнота и разрешимость теории действительных чисел первого порядка (с использованием сложения и умножения) резко контрастирует с результатами Гёделя и Тьюринга о неполноте и неразрешимости теории натуральных чисел первого порядка (с использованием сложение и умножение). Противоречия нет, поскольку утверждение « х — целое число» не может быть сформулировано как формула первого порядка в языке . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$

Сложность принятия решения 𝘛 rcf

Оригинальный алгоритм Тарского для исключения кванторов имеет неэлементарную вычислительную сложность , а это означает, что ни одна башня

${\displaystyle 2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n}}}}}}$

может ограничить время выполнения алгоритма, если n — размер входной формулы. Цилиндрическое алгебраическое разложение , введенное Джорджем Э. Коллинзом , обеспечивает гораздо более практичный алгоритм сложности.

${\displaystyle d^{2^{O(n)}}}$

где n — общее количество переменных (свободных и связанных), d — произведение степеней полиномов, входящих в формулу, а O ( n ) — обозначение большого O.

Давенпорт и Хайнц (1988) доказали, что эта сложность наихудшего случая почти оптимальна для устранения кванторов, создавая семейство Φ _n формул длины O ( n ) с n кванторами и включающее полиномы постоянной степени, такие, что любой квантор свободная формула, эквивалентная Φ _n, должна включать многочлены степени и длины где – большая нотация Омеги . Это показывает, что как временная, так и пространственная сложность устранения кванторов по своей сути являются двойной экспонентой . ${\displaystyle 2^{2^{\Omega (n)}}}$ ${\displaystyle 2^{2^{\Omega (n)}},}$ ${\displaystyle \Omega (n)}$

Что касается проблемы решения, Бен-Ор, Козен и Рейф (1986) утверждали, что доказали, что теория реальных замкнутых полей разрешима в экспоненциальном пространстве и, следовательно, в двойном экспоненциальном времени, но их аргумент (в случае более чем одна переменная) обычно считается ошибочной; см. обсуждение в Renegar (1992).

Для чисто экзистенциальных формул, то есть для формул вида

∃ Икс ₁ , ..., ∃ Икс _k П ₁ ( Икс ₁ , ..., Икс _k ) ⋈ 0 ∧ ... ∧ P _s ( Икс ₁ , ..., Икс _k ) ⋈ 0,

где ⋈ означает <, > или  = , сложность ниже. Басу и Рой (1996) предоставили хорошо работающий алгоритм для определения истинности такой экзистенциальной формулы со сложностью арифметических операций s ^{k +1} d ^{O ( k )} и полиномиальным пространством .

Заказать недвижимость

Важнейшим свойством действительных чисел является то, что это архимедово поле , то есть оно обладает архимедовым свойством, заключающимся в том, что для любого действительного числа существует целое число , большее его по абсолютному значению . Обратите внимание, что это утверждение невозможно выразить на языке упорядоченных полей первого порядка, поскольку на этом языке невозможно количественно оценить целые числа.

Существуют вещественно-замкнутые поля, которые не являются архимедовыми ; например, любое поле гипердействительных чисел действительно замкнуто и неархимедово. Эти поля содержат бесконечно большие (больше любого целого числа) и бесконечно малые (положительные, но меньшие любого положительного рационального) элементы.

Архимедово свойство связано с понятием конфинальности . Множество X , содержащееся в упорядоченном множестве F, является конфинальным в F , если для каждого y в F существует такой x в X , что y < x . Другими словами, X — неограниченная последовательность в F. Конфинальность F — это мощность наименьшего конфинального множества, то есть размер наименьшей мощности, дающей неограниченную последовательность. Например, натуральные числа конфинальны в действительных числах, и поэтому конфинальность действительных чисел равна . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Таким образом, мы имеем следующие инварианты, определяющие природу вещественного замкнутого поля F :

• Мощность F .
• Конфинальность F .

К этому мы можем добавить

• Вес F , который является минимальным размером плотного подмножества F .

Эти три кардинальных числа многое говорят нам о свойствах порядка любого реального замкнутого поля, хотя может быть трудно выяснить, что они из себя представляют, особенно если мы не готовы ссылаться на гипотезу обобщенного континуума . Существуют также определенные свойства, которые могут выполняться, а могут и не выполняться:

• Поле F является полным , если не существует упорядоченного поля K, содержащего F , такого, что F плотно в K. Если конфинальность F равна κ , это эквивалентно тому, что последовательности Коши , индексированные κ , сходятся в F.
• Упорядоченное поле F обладает свойством эта-множества η _α для порядкового числа α , если для любых двух подмножеств L и U из F мощности меньше такой, что каждый элемент L меньше, чем каждый элемент U , существует элемент x в F, причем x больше, чем каждый элемент L , и меньше, чем каждый элемент U. Это тесно связано с теоретико-модельным свойством быть насыщенной моделью ; любые два вещественных замкнутых поля являются ηα _тогда и только тогда, когда они -насыщены, и, кроме того, два _ηα вещественных замкнутых поля обеих мощностей порядково изоморфны . ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

Обобщенная гипотеза континуума

Характеристики реальных закрытых полей станут намного проще, если мы захотим принять обобщенную гипотезу континуума . Если гипотеза континуума верна, все вещественные замкнутые поля мощности континуума , обладающие свойством η ₁ , порядково изоморфны. Это уникальное поле Ϝ можно определить с помощью ультрастепени , как , где M — максимальный идеал, не приводящий к полю, порядково изоморфному . Это наиболее часто используемое гипердействительное числовое поле в нестандартном анализе , и его уникальность эквивалентна гипотезе континуума. (Даже без гипотезы континуума мы имеем, что если мощность континуума равна, то у нас есть уникальное поле η β размера .) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \aleph _{\beta }}$ ${\displaystyle \aleph _{\beta }}$

Более того, нам не нужны ультрастепени для построения Ϝ , мы можем сделать гораздо более конструктивно, например, подполе рядов со счетным числом ненулевых членов поля формальных степенных рядов на полностью упорядоченной абелевой делимой группе G , которая является η 1 группа мощности (Alling 1962). ${\displaystyle \mathbb {R} [[G]]}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Однако Ϝ не является полным полем; если мы возьмем его пополнение, то получим поле К большей мощности. Ϝ имеет мощность континуума, который по условию равен , К имеет мощность Ϝ и содержит Ϝ как плотное подполе. Это не сверхдержава, но это гиперреальное поле и, следовательно, подходящее поле для использования в нестандартном анализе. Можно увидеть, что это многомерный аналог действительных чисел; с мощностью вместо , конфинальностью вместо и весом вместо , а также со свойством η ₁ вместо свойства η ₀ (что просто означает, что между любыми двумя действительными числами мы можем найти другое). ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Элементарная евклидова геометрия

Аксиомы Тарского — это система аксиом первого порядка («элементарной») части евклидовой геометрии . Используя эти аксиомы, можно показать, что точки на прямой образуют действительное замкнутое поле R, и можно ввести координаты так, чтобы евклидова плоскость отождествлялась с R ² . Используя разрешимость теории действительных замкнутых полей, Тарский затем доказал, что элементарная теория евклидовой геометрии полна и разрешима. ^[4]

Примечания

1. Д. Макферсон и др. (1998)
2. Раджваде (1993), стр. 222–223.
3. Эфрат (2006) с. 177
4. Макнотон, Роберт (1953). «Обзор: Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии А. Тарского» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 59 (1): 91–93. дои : 10.1090/s0002-9904-1953-09664-1 .

Рекомендации

• Аллинг, Норман Л. (1962), «О существовании вещественно-замкнутых полей, которые представляют собой η _α -множества степени ℵ _α .», Trans. амер. Математика. Соц. , 103 : 341–352, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X , MR  0146089
• Басу, Саугата, Ричард Поллак и Мари-Франсуаза Рой (2003) «Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии» в книге «Алгоритмы и вычисления в математике» . Спрингер. ISBN 3-540-33098-4 (онлайн-версия) 
• Майкл Бен-Ор, Декстер Козен и Джон Рейф, Сложность элементарной алгебры и геометрии , Журнал компьютерных и системных наук 32 (1986), вып. 2, стр. 251–264.
• Кэвинесс, Б.Ф., и Джереми Р. Джонсон, ред. (1998) Устранение кванторов и цилиндрическая алгебраическая декомпозиция . Спрингер. ISBN 3-211-82794-3 
• Чен Чунг Чанг и Говард Джером Кейслер (1989) Теория моделей . Северная Голландия.
• Дейлс, Х.Г. и В. Хью Вудин (1996) Сверхреальные поля . Оксфордский университет. Нажимать.
• Давенпорт, Джеймс Х .; Хайнц, Йоос (1988). «Реальное устранение кванторов является вдвойне экспоненциальным». Дж. Симб. Вычислить . 5 (1–2): 29–35. дои : 10.1016/s0747-7171(88)80004-x . Збл  0663.03015.
• Эфрат, Идо (2006). Оценки, упорядочения и К- теория Милнора . Математические обзоры и монографии. Том. 124. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-4041-Х. Збл  1103.12002.
• Макферсон Д., Маркер Д. и Стейнхорн К. Слабо o-минимальные структуры и вещественные замкнутые поля , Trans. американской математики. Соц., Том. 352, № 12, 1998 г.
• Мишра, Бхубанешвар (1997) «Вычислительная реальная алгебраическая геометрия» в Справочнике по дискретной и вычислительной геометрии . ЦРК Пресс. Издание 2004 г., с. 743. ISBN 1-58488-301-4 . 
• Раджваде, Арканзас (1993). Квадраты . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 171. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42668-5. Збл  0785.11022.
• Ренегар, Джеймс (1992). «О вычислительной сложности и геометрии теории действительных чисел первого порядка. Часть I: Введение. Предварительные сведения. Геометрия полуалгебраических множеств. Проблема решения экзистенциальной теории вещественных чисел». Журнал символических вычислений . 13 (3): 255–299. дои : 10.1016/S0747-7171(10)80003-3 .
• Пассмор, Грант (2011). Комбинированные процедуры принятия решений для нелинейной, вещественной и комплексной арифметики (PDF) (доктор философии). Эдинбургский университет .
• Альфред Тарский (1951) Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии . унив. из Калифорнии Пресс.
• Эрдеш, П.; Гиллман, Л.; Хенриксен, М. (1955), «Теорема об изоморфизме для вещественно-замкнутых полей», Ann. математики. , 2, 61 (3): 542–554, номер документа : 10.2307/1969812, JSTOR  1969812, MR  0069161.

Внешние ссылки

• Сервер препринтов реальной алгебраической и аналитической геометрии
• Сервер препринтов теории моделей