Поле Леви-Чивита

Система чисел с неконечными величинами

В математике поле Леви-Чивита , названное в честь Туллио Леви-Чивита , является неархимедовым упорядоченным полем ; т. е. система чисел, содержащая бесконечные и бесконечно малые величины. Каждый член может быть построен как формальный ряд вида ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{q\in \mathbb {Q} }a_{q}\varepsilon ^{q},}$

где – набор рациональных чисел , коэффициенты – действительные числа, и их следует интерпретировать как фиксированную положительную бесконечно малую величину. Мы требуем, чтобы для каждого рационального числа существовало только конечное число с ; это ограничение необходимо для того, чтобы сделать умножение и деление четко определенными и уникальными. Два таких ряда считаются равными только в том случае, если все их коэффициенты равны. Порядок определяется в соответствии со словарным упорядочением списка коэффициентов, что эквивалентно предположению о бесконечно малой величине. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a_{q}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a_{q}\neq 0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Действительные числа встраиваются в это поле как ряды, в которых все коэффициенты, кроме , равны нулю . ${\displaystyle a_{0}}$

Примеры

• ${\displaystyle 7\varepsilon }$— бесконечно малое, которое больше , но меньше любого положительного действительного числа. ${\displaystyle \varepsilon }$
• ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$меньше , а также меньше, чем для любого положительного действительного числа . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle r\varepsilon }$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle 1+\varepsilon }$бесконечно мало отличается от 1.
• ${\displaystyle \varepsilon ^{1/2}}$больше и даже больше, чем любое положительное действительное число , но все же меньше любого положительного действительного числа. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle r\varepsilon }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{1/2}}$
• ${\displaystyle 1/\varepsilon }$больше любого действительного числа.
• ${\displaystyle 1+\varepsilon +{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}+\cdots +{\frac {1}{n!}}\varepsilon ^{n}+\cdots }$интерпретируется как , бесконечно мало отличающаяся от 1. ${\displaystyle e^{\varepsilon }}$
• ${\displaystyle 1+\varepsilon +2\varepsilon ^{2}+\cdots +n!\varepsilon ^{n}+\cdots }$является допустимым членом поля, поскольку ряд следует истолковывать формально, без учета сходимости .

Определение полевых операций и положительного конуса

Если и — две серии Леви-Чивита, то ${\displaystyle a=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }a_{q}\varepsilon ^{q}}$ ${\displaystyle b=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }b_{q}\varepsilon ^{q}}$

• их сумма является поточечной суммой . ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a+b:=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }(a_{q}+b_{q})\varepsilon ^{q}}$
• их продукт является продуктом Коши . ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle ab:=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }\left(\sum \limits _{r+s=q}a_{r}b_{s}\right)\varepsilon ^{q}}$

(Можно проверить, что для каждого множество конечно, так что все произведения корректно определены и что полученный ряд определяет действительный ряд Леви-Чивита.) ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{(r,s)\in \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} :\ r+s=q,\ a_{r}\neq 0,\ b_{s}\neq 0\}}$

• соотношение выполняется, если (т.е. хотя бы один коэффициент отличен от нуля) и наименьший ненулевой коэффициент строго положителен. ${\displaystyle 0<a}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Поле Леви-Чивита, оснащенное этими операциями и порядком, действительно является расширением упорядоченного поля, в котором ряд является положительной бесконечно малой величиной. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Свойства и применение

Поле Леви-Чивита является вещественно-замкнутым , что означает, что оно может быть алгебраически замкнутым , присоединив мнимую единицу ( i ) или сделав коэффициенты комплексными . Он достаточно богат, чтобы позволить выполнить значительный объем анализа, но его элементы по-прежнему могут быть представлены на компьютере в том же смысле, в каком действительные числа могут быть представлены с использованием чисел с плавающей запятой . Это основа автоматического дифференцирования , способа выполнения дифференцирования в случаях, которые невозможно решить с помощью символического дифференцирования или методов конечных разностей. ^[1]

Поле Леви-Чивита также является полным по Коши , что означает, что при релятивизации определений последовательности Коши и сходящейся последовательности к последовательностям рядов Леви-Чивита каждая последовательность Коши в поле сходится. Эквивалентно, у него нет правильного расширения плотного упорядоченного поля. ${\displaystyle \forall \exists \forall }$

Как упорядоченное поле, оно имеет естественную оценку , определяемую рациональным показателем, соответствующим первому ненулевому коэффициенту ряда Леви-Чивита. Кольцо оценок представляет собой кольцо рядов, ограниченных действительными числами, поле вычетов равно , а группа значений равна . Результирующее значащее поле является гензелевым (действительно замкнутым с выпуклым кольцом нормирования), но не сферически полным . Действительно, поле рядов Хана с вещественными коэффициентами и группой значений является собственным непосредственным расширением, содержащим ряды, которых нет в поле Леви-Чивита. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ ${\displaystyle 1+\varepsilon ^{1/2}+\varepsilon ^{2/3}+\varepsilon ^{3/4}+\varepsilon ^{4/5}+\cdots }$

Отношения с другими упорядоченными полями

Поле Леви-Чивита является пополнением Коши поля рядов Пюизо над полем действительных чисел, т. е. является плотным расширением без собственного плотного расширения. Вот список некоторых из его примечательных правильных подполей и правильных упорядоченных расширений полей: ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Известные подполя

• Поле действительных чисел. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Поле частных действительных многочленов ( рациональных функций ) с бесконечно малой положительной неопределенностью . ${\displaystyle \mathbb {R} (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$
• Поле формального ряда Лорана над . ${\displaystyle \mathbb {R} ((\varepsilon ))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Поле серии Пюизо закончилось . ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Известные расширения

• Поле рядов Хана с действительными коэффициентами и рациональными показателями. ${\displaystyle \mathbb {R} [[\varepsilon ^{\mathbb {Q} }]]}$
• Поле логарифмически -экспоненциальных трансрядов . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{LE}}$
• Поле сюрреалистических чисел с датой рождения ниже первого числа . ${\displaystyle \mathbf {No} (\varepsilon _{0})}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$
• Поля гипердействительных чисел, построенные как ультрастепени по модулю свободного ультрафильтра (хотя вложения здесь не каноничны). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Рекомендации

1. Ходр Шамседдин, Мартин Берз «Анализ поля Леви-Чивита: краткий обзор», Contemporary Mathematics , 508 стр. 215–237 (2010)

Внешние ссылки

• Веб-калькулятор чисел Леви-Чивита.