Архимедово свойство

В абстрактной алгебре и анализе архимедово свойство , названное в честь древнегреческого математика Архимеда Сиракузского , является свойством, которым обладают некоторые алгебраические структуры , такие как упорядоченные или нормированные группы и поля . Свойство, как правило, понимается так: для данных двух положительных чисел и существует целое число такое, что . Это также означает, что множество натуральных чисел не ограничено сверху. ^[1] Грубо говоря, это свойство отсутствия бесконечно больших и бесконечно малых элементов. Именно Отто Штольц дал аксиоме Архимеда свое название, потому что она появляется как аксиома V из работы Архимеда « О сфере и цилиндре » . ^[2] $х$ $y$ $п$ $nx>y$

Это понятие возникло из теории величин Древней Греции; она по-прежнему играет важную роль в современной математике, например, в аксиомах геометрии Дэвида Гильберта и теориях упорядоченных групп , упорядоченных полей и локальных полей .

Алгебраическая структура, в которой любые два ненулевых элемента сравнимы в том смысле, что ни один из них не является бесконечно малым по отношению к другому, называется архимедовой . Структура, имеющая пару ненулевых элементов, один из которых бесконечно мал по отношению к другому, называется неархимедовой . Например, линейно упорядоченная группа , являющаяся архимедовой, является архимедовой группой .

Это можно уточнить в различных контекстах, используя несколько разные формулировки. Например, в контексте упорядоченных полей есть аксиома Архимеда, которая формулирует это свойство, где поле действительных чисел является архимедовым, а поле рациональных функций с действительными коэффициентами - нет.

История и происхождение названия архимедовой собственности

Концепция была названа Отто Штольцем (в 1880-х годах) в честь древнегреческого геометра и физика Архимеда Сиракузского .

Свойство Архимеда появляется в книге V « Начал» Евклида как определение 4:

Говорят, что величины имеют отношение друг к другу, которое при умножении может превосходить друг друга.

Поскольку Архимед приписал ее Евдоксу Книдскому, она также известна как «Теорема Евдокса» или аксиома Евдокса . ^[3]

Архимед использовал бесконечно малые числа в эвристических аргументах, хотя и отрицал, что это были законченные математические доказательства .

Определение линейно упорядоченных групп

Пусть $x$ и $y$ — положительные элементы линейно упорядоченной группы G. Тогда бесконечно мало по отношению к (или, что то же самое, бесконечно по отношению к ), если для любого натурального числа кратное меньше , то есть выполняется следующее неравенство: $х$ $y$ $y$ $х$ $п$ $nx$ $y$

\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{terms}}}<y.\,

Это определение можно распространить на всю группу, приняв абсолютные значения.

Группа является архимедовой, если не существует такой пары, которая была бы бесконечно малой относительно . $G$ $(x,y)$ $х$ $y$

Кроме того, если — алгебраическая структура с единицей (1) — например, кольцо — аналогичное определение применимо к . Если является бесконечно малым по отношению к , то является бесконечно малым элементом . Аналогично, если бесконечно относительно , то является бесконечным элементом . Алгебраическая структура является архимедовой, если она не имеет ни бесконечных, ни бесконечно малых элементов. $K$ $K$ $х$ $1$ $х$ $y$ $1$ $y$ $K$

Упорядоченные поля

Упорядоченные поля имеют некоторые дополнительные свойства:

Рациональные числа вложены в любое упорядоченное поле. То есть любое упорядоченное поле имеет нулевую характеристику .
Если бесконечно мало, то бесконечно, и наоборот. Следовательно, чтобы убедиться в архимедовости поля, достаточно проверить только отсутствие бесконечно малых элементов или отсутствие бесконечных элементов. $х$ $1/x$
Если бесконечно мало и является рациональным числом, то оно также бесконечно мало. В результате, учитывая общий элемент , три числа , и либо все бесконечно малы, либо все не бесконечно малы. $х$ $г$ $rx$ $с$ $c/2$ $с$ $2c$

В этом случае упорядоченное поле $K$ является архимедовым именно тогда, когда выполняется следующее утверждение, называемое аксиомой Архимеда :

«Пусть любой элемент . Тогда существует такое натуральное число, что ».

х

K

п

n>x

Альтернативно можно использовать следующую характеристику:

\forall \,\varepsilon \in K {\big (}\varepsilon >0 \ подразумевает \exists \ n\in N:1/n <\varepsilon {\big)}.

Определение нормированных полей

Квалификатор «Архимед» также формулируется в теории однозначных полей и нормированных пространств над однозначными полями следующим образом. Позвольте быть полем, наделенным функцией абсолютного значения, т. е. функцией, которая связывает действительное число с элементом поля 0 и сопоставляет положительное действительное число с каждым ненулевым значением и удовлетворяет условиям и . Тогда называется архимедовым, если для любого ненулевого числа существует такое натуральное число , что $K$ $0$ $|x|$ $x\in K$ $|xy|=|x||y|$ $|x+y|\leq |x|+|y|$ $K$ $x\in K$ $п$

|\underbrace {x+\cdots +x} _{n{\text{terms}}}|>1.

Точно так же нормированное пространство является архимедовым, если сумма термов, каждый из которых равен ненулевому вектору , имеет норму больше единицы для достаточно больших . Поле с абсолютным значением или нормированное пространство либо является архимедовым, либо удовлетворяет более сильному условию, называемому ультраметрическим неравенством треугольника , $п$ $х$ $п$

|x+y|\leq \max(|x|,|y|),

неархимедовым

Понятие неархимедова нормированного линейного пространства было введено А. Ф. Монной. ^[4]

Примеры и не примеры

Архимедово свойство действительных чисел

Полю рациональных чисел может быть присвоена одна из ряда функций абсолютного значения, включая тривиальную функцию , когда более обычная , и -адические функции абсолютного значения . По теореме Островского каждое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел эквивалентно либо обычному абсолютному значению, либо некоторому -адическому абсолютному значению. Рациональное поле не является полным относительно нетривиальных абсолютных значений; относительно тривиального абсолютного значения рациональное поле представляет собой дискретное топологическое пространство, столь полное. Пополнением по обычному модулю (от порядка) является поле действительных чисел. Согласно этой конструкции поле действительных чисел является архимедовым и как упорядоченное, и как нормированное поле. ^[5] С другой стороны, пополнения относительно других нетривиальных абсолютных значений дают поля p-адических чисел , где – простое целое число (см. ниже); поскольку -адические абсолютные значения удовлетворяют ультраметрическому свойству, то поля -адических чисел не являются архимедовыми как нормированные поля (их нельзя превратить в упорядоченные поля). $|x|=1$ $х\neq 0$ ${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$

В аксиоматической теории действительных чисел отсутствие ненулевых бесконечно малых действительных чисел подразумевается из свойства наименьшей верхней границы следующим образом. Обозначим через множество, состоящее из всех положительных бесконечно малых. Это множество ограничено сверху . Теперь предположим, что противоречие непусто. Тогда он имеет наименьшую верхнюю границу , которая также положительна, поэтому . Поскольку $c$ является верхней границей и строго больше, чем , не является положительной бесконечно малой величиной. То есть существует некоторое натуральное число, для которого . С другой стороны, является положительной бесконечно малой величиной, поскольку по определению наименьшей верхней границы между и должна существовать бесконечно малая величина , а if then не является бесконечно малой. Но , so не является бесконечно малым, и это противоречие. Это означает, что оно все-таки пусто: не существует положительных, бесконечно малых действительных чисел. $Z$ $1$ $Z$ $с$ $c/2<c<2c$ $Z$ $2c$ $с$ $2c$ $п$ $1/n<2c$ $c/2$ $х$ $c/2$ $с$ $1/k<c/2\leq x$ $х$ $1/(4n)<c/2$ $c/2$ $Z$

Архимедово свойство действительных чисел сохраняется и в конструктивном анализе , даже несмотря на то, что свойство наименьшей верхней границы может не работать в этом контексте.

Неархимедово упорядоченное поле

В качестве примера упорядоченного поля , не являющегося архимедовым, возьмем поле рациональных функций с действительными коэффициентами. (Рациональная функция — это любая функция, которая может быть выражена как один многочлен , разделенный на другой многочлен; в дальнейшем мы будем предполагать, что это было сделано таким образом, что старший коэффициент знаменателя положителен.) Чтобы сделать это упорядоченным полю необходимо задать порядок, совместимый с операциями сложения и умножения. Теперь тогда и только тогда , когда , поэтому нам нужно только сказать, какие рациональные функции считаются положительными. Назовите функцию положительной, если старший коэффициент числителя положителен. (Необходимо проверить, что этот порядок четко определен и совместим со сложением и умножением.) По этому определению рациональная функция положительна, но меньше, чем рациональная функция . Фактически, если любое натуральное число, то оно положительное, но все равно меньше , независимо от его размера . Следовательно, является бесконечно малым в этом поле. $е>г$ $fg>0$ $1/x$ $1$ $п$ $n(1/x)=n/x$ $1$ $п$ $1/x$

Этот пример распространяется на другие коэффициенты. Взяв рациональные функции с рациональными вместо вещественных коэффициентов, получим счетное неархимедово упорядоченное поле. Приняв за коэффициенты рациональные функции от другой переменной, скажем , получим пример с другим типом порядка . $y$

Поля с неархимедовыми значениями

Поле рациональных чисел, наделенное p-адической метрикой, и поля p-адических чисел , являющиеся пополнениями, не обладают архимедовым свойством как поля с абсолютными значениями. Все архимедовы значные поля изометрически изоморфны подполю комплексных чисел со степенью обычного абсолютного значения. ^[6]

Эквивалентные определения архимедова упорядоченного поля

Каждое линейно упорядоченное поле содержит (изоморфную копию) рациональных чисел как упорядоченное подполе, а именно подполе, порожденное мультипликативной единицей , которая, в свою очередь, содержит целые числа как упорядоченную подгруппу, которая содержит натуральные числа как упорядоченный моноид . Тогда вложение рациональных чисел дает возможность говорить о рациональных, целых и натуральных числах в . Ниже приведены эквивалентные характеристики архимедовых полей в терминах этих подструктур. ^[7] $K$ $1$ $K$ $K$

Натуральные числа являются конфинальными в . То есть каждый элемент меньше некоторого натурального числа. (Это не тот случай, когда существуют бесконечные элементы.) Таким образом, архимедово поле — это поле, натуральные числа которого растут без ограничений. $K$ $K$
Ноль — это нижняя граница множества . (Если бы оно содержало положительную бесконечно малую величину, это было бы нижней границей множества, поэтому ноль не был бы самой большой нижней границей.) $K$ $\{1/2,1/3,1/4,\dots \}$ $K$
Множество элементов между положительными и отрицательными рациональными числами неоткрыто. Это связано с тем, что набор состоит из всех бесконечно малых, что является набором только тогда, когда нет ненулевых бесконечно малых, а в противном случае оно открыто, так как не существует ни наименьшего, ни наибольшего ненулевого бесконечно малого. Заметим, что в обоих случаях множество бесконечно малых замкнуто. В последнем случае (i) каждое бесконечно малое меньше любого положительного рационального, (ii) не существует ни наибольшего бесконечно малого, ни наименьшего положительного рационального, и (iii) между ними нет ничего другого. Следовательно, любое неархимедово упорядоченное поле одновременно неполно и несвязно. $K$ $\{0\}$
Для любого целого числа, большего чем, имеет наименьший элемент. (Если бы это была отрицательная бесконечная величина, каждое целое число было бы больше ее.) $х$ $K$ $х$ $х$
Каждый непустой открытый интервал содержит рациональное число. (Если является положительной бесконечно малой величиной, открытый интервал содержит бесконечно много бесконечно малых чисел, но ни одного рационального.) $K$ $х$ $(x,2x)$
Рациональные числа плотны по отношению как к sup, так и к inf. (То есть каждый элемент является дополнением некоторого набора рациональных чисел и inf некоторого другого набора рациональных чисел.) Таким образом, архимедово поле — это любое плотное упорядоченное расширение рациональных чисел в смысле любого упорядоченного поля, которое плотно вкладывает его рациональные элементы. $K$ $K$

Смотрите также

0,999... – Альтернативное десятичное расширение 1
Архимедово упорядоченное векторное пространство - бинарное отношение в векторном пространстве.
Построение действительных чисел

Примечания

^ «Лекция по математике 2050C» (PDF) . cuhk.edu.hk. Проверено 3 сентября 2023 г.
^ Г. Фишер (1994) в П. Эрлихе (редактор), Действительные числа, обобщения действительных чисел и теории континуумов, 107–145, Kluwer Academic
^ Кнопп, Конрад (1951). Теория и применение бесконечных рядов (2-е изд. на английском языке). Лондон и Глазго: Blackie & Son, Ltd., с. 7. ISBN 0-486-66165-2.
^ Монна, AF (1943). «За een lineaire P -adische ruimte». Недерл. Акад. Ветенш. Верслаг Афд. Натуурк. (52): 74–84. МР 0015678.
^ Нил Коблиц , «p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции», Springer-Verlag, 1977.
^ Шелл, Ниль, Топологические поля и близкие оценки, Деккер, Нью-Йорк, 1990. ISBN 0-8247-8412-X
^ Шехтер 1997, §10.3