Математическая структура

Дополнительный математический объект

В математике структура — это набор , снабженный некоторыми дополнительными функциями этого набора (например , операцией , отношением , метрикой или топологией ). Часто дополнительные функции прикрепляются к набору или связаны с ним, чтобы придать ему дополнительный смысл или значение.

Частичным списком возможных структур являются меры , алгебраические структуры ( группы , поля и т. д.), топологии , метрические структуры ( геометрии ), порядки , графы , события , отношения эквивалентности , дифференциальные структуры и категории .

Иногда набор наделен более чем одним признаком одновременно, что позволяет математикам более детально изучать взаимодействие между различными структурами. Например, упорядочение налагает на набор жесткую форму, форму или топологию, и если набор имеет как топологический признак, так и групповой признак, так что эти два признака связаны определенным образом, то структура становится топологической . группа . ^[1]

Отображения между множествами, которые сохраняют структуры (т. е. структуры в предметной области отображаются в эквивалентные структуры в кодомене ), представляют особый интерес во многих областях математики. Примерами являются гомоморфизмы , сохраняющие алгебраические структуры; гомеоморфизмы , сохраняющие топологические структуры; ^[2] и диффеоморфизмы , сохраняющие дифференциальные структуры.

История

В 1939 году французская группа под псевдонимом Николя Бурбаки рассматривала структуры как корень математики. Впервые они упомянули их в своем «Главе» по теории множеств и расширили его до главы IV издания 1957 года. ^[3] Они определили три материнские структуры : алгебраическую, топологическую и порядковую. ^{[3] [4]}

Пример: реальные цифры

Множество действительных чисел имеет несколько стандартных структур:

• Порядок: каждое число либо меньше, либо больше любого другого числа.
• Алгебраическая структура: существуют операции сложения и умножения, первая из которых образует группу, а пара вместе образует поле .
• Мера: интервалы вещественной линии имеют определенную длину , которую можно расширить до меры Лебега на многих ее подмножествах .
• Метрика: существует понятие расстояния между точками.
• Геометрия: оснащена метрикой и плоская .
• Топология: существует понятие открытых множеств .

Среди них есть интерфейсы:

• Его порядок и, независимо, его метрическая структура порождают его топологию.
• Его порядок и алгебраическая структура превращают его в упорядоченное поле .
• Ее алгебраическая структура и топология превращают ее в группу Ли , тип топологической группы .

Смотрите также

• Абстрактная структура
• изоморфизм
• Эквивалентные определения математических структур
• Интуиционистская теория типов
• Математический объект
• Космос (математика)

Рекомендации

1. Сондерс, Мак Лейн (1996). «Структура в математике» (PDF) . Философ1А Математика1Ка . 4 (3): 176.
2. Кристиансен, Джейкоб Стордал (2015). «Математические структуры» (PDF) . maths.lth.se . Проверено 9 декабря 2019 г.
3. Корри, Лео (сентябрь 1992 г.). «Николя Бурбаки и концепция математической структуры». Синтезируйте . 92 (3): 315–348. дои : 10.1007/bf00414286. JSTOR  20117057. S2CID  16981077.
4. Уэллс, Ричард Б. (2010). Обработка биологических сигналов и вычислительная нейронаука (PDF) . стр. 296–335 . Проверено 7 апреля 2016 г.

дальнейшее чтение

• Фолдс, Стефан (1994). Фундаментальные структуры алгебры и дискретной математики . Хобокен: Джон Уайли и сыновья. ISBN 9781118031438.
• Хегедус, Стивен Джон; Морено-Армелла, Луис (2011). «Появление математических структур». Образовательные исследования по математике . 77 (2): 369–388. дои : 10.1007/s10649-010-9297-7. S2CID  119981368.
• Колман, Бернард; Басби, Роберт С.; Росс, Шэрон Катлер (2000). Дискретные математические структуры (4-е изд.). Река Аппер-Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-083143-9.
• Малик, Д.С.; Сен, МК (2004). Дискретные математические структуры: теория и приложения . Австралия: Томсон/Курс Технологии. ISBN 978-0-619-21558-3.
• Пудлак, Павел (2013). «Математические структуры». Логические основы математики и сложность вычислений: нежное введение . Чам: Спрингер. стр. 2–24. ISBN 9783319001197.
• Сенешаль, М. (21 мая 1993 г.). «Математические структуры». Наука . 260 (5111): 1170–1173. дои : 10.1126/science.260.5111.1170. ПМИД  17806355.

Внешние ссылки

• "Состав". ПланетаМатематика . (дает теоретическое определение модели.)
• Математические структуры в информатике (журнал)