Метод исчерпания ( лат . methodus exhaustionis ) — метод нахождения площади фигуры путём вписывания в неё последовательности многоугольников , площади которых сходятся к площади содержащей фигуры . Если последовательность построена правильно, то разница в площади между n-м многоугольником и содержащей фигурой станет сколь угодно малой по мере того, как n станет большим. По мере того, как эта разница станет сколь угодно малой, возможные значения площади фигуры систематически «исчерпываются» нижними границами площадей, последовательно устанавливаемыми членами последовательности.
Метод исчерпания обычно требовал формы доказательства от противного , известной как reductio ad absurdum . Это равносильно нахождению площади области путем ее предварительного сравнения с площадью второй области, которая может быть «исчерпана» так, что ее площадь станет произвольно близкой к истинной площади. Доказательство включает предположение, что истинная площадь больше второй площади, доказательство того, что это утверждение ложно, предположение, что она меньше второй площади, затем доказательство того, что это утверждение тоже ложно.
.jpg/1280px-Gr%C3%A9goire_de_Saint-Vincent_(1584-1667).jpg)
Идея возникла в конце V века до н. э. у Антифона , хотя не совсем ясно, насколько хорошо он ее понимал. [1] Теория была сделана строгой несколько десятилетий спустя Евдоксом Книдским , который использовал ее для вычисления площадей и объемов. Позднее она была заново изобретена в Китае Лю Хуэем в III веке н. э. для нахождения площади круга. [2] Первое использование термина было в 1647 году Григорием Сен-Винсентским в Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum .
Метод исчерпания рассматривается как предшественник методов исчисления . Развитие аналитической геометрии и строгого интегрального исчисления в XVII-XIX веках поглотило метод исчерпывания, так что он больше не используется явно для решения задач. Важным альтернативным подходом был принцип Кавальери , также называемый методом неделимых , который в конечном итоге развился в исчисление бесконечно малых Роберваля , Торричелли , Валлиса , Лейбница и других.
Евклид использовал метод исчерпывания для доказательства следующих шести положений в 12-й книге своих «Начал» .
Предложение 2 : Площадь кругов пропорциональна квадрату их диаметра. [3]
Предложение 5 : Объемы двух тетраэдров одинаковой высоты пропорциональны площадям их треугольных оснований. [4]
Предложение 10 : Объем конуса составляет треть объема соответствующего цилиндра, имеющего то же основание и высоту. [5]
Предложение 11 : Объем конуса (или цилиндра) той же высоты пропорционален площади основания. [6]
Предложение 12: Объем конуса (или цилиндра), подобного другому, пропорционален кубу отношения диаметров оснований. [7]
Предложение 18 : Объем сферы пропорционален кубу ее диаметра. [8]
Архимед использовал метод исчерпывания как способ вычисления площади внутри круга путем заполнения круга последовательностью многоугольников с увеличивающимся числом сторон и соответствующим увеличением площади. Частные, образованные площадью этих многоугольников, деленной на квадрат радиуса круга, можно сделать сколь угодно близкими к π, когда число сторон многоугольника становится большим, доказывая, что площадь внутри круга радиуса r равна πr 2 , где π определяется как отношение окружности к диаметру (C/d).
Он также предоставил границы 3 + 10 / 71 < π < 3 + 10 / 70 (что дает диапазон 1 / 497 ) путем сравнения периметров окружности с периметрами вписанных и описанных 96-сторонних правильных многоугольников.
Другие результаты, которые он получил с помощью метода исчерпания, включали [9]