Математизм — это «попытка использовать формальную структуру и строгий метод математики в качестве модели для проведения философии» [1] или эпистемологическое представление о том, что реальность в основе своей математична. [2] Термин применялся к ряду философов, включая Пифагора [3] и Рене Декарта [4], хотя сами они этот термин не использовали.
Роль математики в западной философии росла и расширялась со времен Пифагора. Очевидно, что числа имели особое значение для пифагорейской школы , хотя именно более поздние работы Платона привлекли ярлык «математизма» у современных философов. Более того, именно Рене Декарт создал первую математическую эпистемологию, которую он описывает как mathesis universalis и которую также называют «математизмом».
Хотя у нас нет трудов самого Пифагора, Платон приводит убедительные доказательства того, что он был пионером концепции математики, и резюмирует это в цитате, часто приписываемой ему, что «все есть математика». Аристотель говорит о пифагорейской школе:
Первыми, кто посвятил себя математике и продвинул ее вперед, были так называемые пифагорейцы. Они, преданные этому изучению, считали, что принципы математики являются также принципами всех вещей, которые существуют. Теперь, поскольку принципы математики являются числами, и они думали, что находят в числах больше, чем в огне, земле и воде, сходства с вещами, которые существуют и которые становятся (они рассудили, например, что справедливость была частным свойством чисел, душа и ум другим, возможность другим, и подобным образом, так сказать, все остальное), и поскольку, кроме того, они видели выраженными числами свойства и соотношения гармонии, поскольку, наконец, все в природе казалось им подобным числам, и числа казались первыми среди всего, что есть в природе, они думали, что элементы чисел были элементами всего, что есть, и что весь мир был гармонией и числом. И все свойства, которые они могли найти в числах и в музыкальных аккордах, соответствующие свойствам и частям неба, и в целом всему космическому порядку, они собрали и приспособили к нему. И если чего-то не хватало, они старались ввести это, чтобы их трактат был полным. Чтобы пояснить на примере: поскольку десять представляется совершенным числом и содержит в себе всю природу чисел, они говорили, что тела, движущиеся в небе, также являются десятью: и поскольку можно видеть только девять, они добавили в качестве десятого антиземлю.
— Метафизика А 5. 985 б 23
Дальнейшие доказательства взглядов Пифагора и его школы, хотя и фрагментарные и порой противоречивые, исходят от Александра Полигистора. Александр говорит нам, что центральными доктринами пифагорейцев были гармония чисел и идеал, что математический мир имеет первенство над физическим миром или может объяснить его существование. [5]
Согласно Аристотелю, пифагорейцы использовали математику исключительно в мистических целях, лишенных практического применения. [6] Они верили, что все вещи сделаны из чисел. [7] [8] Число один ( монада ) представляло собой начало всех вещей [9] и другие числа также имели символические представления. Тем не менее, современные ученые спорят о том, преподавалась ли эта нумерология самим Пифагором или же она была изначально придумана более поздним философом пифагорейской школы Филолаем Кротонским . [10]
Уолтер Беркерт в своем исследовании «Предания и наука в древнем пифагореизме» утверждает , что единственная математика, которой пифагорейцы когда-либо занимались, была простая, бездоказательная арифметика [11] , но что эти арифметические открытия внесли значительный вклад в становление математики. [12]
Пифагорейская школа оказала влияние на творчество Платона. Математический платонизм — это метафизическая точка зрения, согласно которой (а) существуют абстрактные математические объекты, существование которых не зависит от нас, и (б) существуют истинные математические предложения, которые дают истинные описания таких объектов. Независимость математических объектов такова, что они не являются физическими и не существуют в пространстве или времени. Их существование также не зависит от мысли или языка. По этой причине математические доказательства открываются, а не изобретаются. Доказательство существовало до его открытия и просто стало известно тому, кто его открыл. [13]
Таким образом, вкратце математический платонизм можно свести к трем положениям:
Опять же, неясно, в какой степени сам Платон придерживался этих взглядов, но они были связаны с платонической школой. Тем не менее, это было значительным прогрессом в идеях математики. [13]
Маркус Габриэль ссылается на Платона в его работе «Поля чувств: Новая реалистическая онтология» и таким образом дает определение математики. Он говорит:
В конечном счете, теоретико-множественная онтология является остатком платоновского математикизма. Пусть математикизм с этого момента будет точкой зрения, что все существующее может быть изучено математически либо напрямую, либо косвенно. Это пример редукции теории, то есть утверждения о том, что любой словарь может быть переведен в словарь математики таким образом, что эта редукция обосновывает весь производный словарь и помогает нам понимать его значительно лучше. [14]
Однако далее он показывает, что этот термин следует применять не только к теоретической онтологии множеств, с которой он не согласен, но и к другим математическим онтологиям.
Онтология теории множеств — это всего лишь один пример математики. В зависимости от предпочитаемого кандидата на самую фундаментальную теорию квантифицируемой структуры, можно прийти к графо-теоретическому математике, теоретико-множественной, теоретико-категориальной или какой-то другой (возможно, гибридной) форме математики. Однако математика — это метафизика, а метафизика не обязательно должна быть связана с онтологией. [14]
Хотя математические методы исследования использовались для установления смысла и анализа мира со времен Пифагора, именно Декарт был пионером предмета как эпистемологии , изложив Правила для направления разума . Он предположил, что метод, а не интуиция, должен направлять разум, говоря:
Столь слепо любопытство, которым одержимы смертные, что они часто направляют свои умы по нехоженым тропам в беспочвенной надежде случайно наткнуться на то, что ищут, подобно человеку, охваченному таким бессмысленным желанием обнаружить сокровище, что он постоянно бродит по улицам в поисках сокровища, которое мог бы обронить прохожий [...] Под «методом» я подразумеваю надежные правила, которые легко применять, и такие, что если точно следовать им, то никогда не примешь ложное за истинное и не будешь бесплодно тратить свои умственные усилия, но будешь постепенно и постоянно увеличивать свои знания, пока не достигнешь истинного понимания всего, что в пределах его возможностей.
При обсуждении правила четыре [16] Декарт описывает то, что он называет mathesis universalis :
- Правило четвертое
- Нам нужен метод, если мы хотим исследовать истинную суть вещей.
[...] Я начал свое исследование с выяснения того, что именно обычно подразумевается под термином «математика» и почему, помимо арифметики и геометрии, такие науки, как астрономия, музыка, оптика, механика и другие, называются ветвями математики. [...] Это заставило меня осознать, что должна быть общая наука, которая объясняет все вопросы, которые могут быть подняты относительно порядка и меры, независимо от предмета, и что эту науку следует называть mathesis universalis — почтенный термин с устоявшимся значением, — поскольку он охватывает все, что дает право этим другим наукам называться ветвями математики. [...]
Понятие mathesis universalis было для Декарта универсальной наукой, смоделированной по образцу математики. Именно этот mathesis universalis упоминается, когда авторы говорят о математике Декарта. [4] Следуя за Декартом, Лейбниц попытался вывести связи между математической логикой , алгеброй , исчислением бесконечно малых , комбинаторикой и универсальными характеристиками в незавершённом трактате под названием « Mathesis Universalis », опубликованном в 1695 году. [ требуется ссылка ] Вслед за Лейбницем Бенедикт де Спиноза , а затем различные философы 20-го века, включая Бертрана Рассела , Людвига Витгенштейна и Рудольфа Карнапа , попытались разработать и развить работу Лейбница по математической логике, синтаксическим системам и их исчислениям, а также решить проблемы в области метафизики.
В 1695 году в незавершённом трактате под названием « Mathesis Universalis » Лейбниц попытался разработать возможные связи между математической логикой , алгеброй , исчислением бесконечно малых , комбинаторикой и универсальными характеристиками .
В своем отчете о Mathesis Universalis Лейбниц предложил двойной метод универсального синтеза и анализа для установления истины , описанный в De Synthesi et Analysi Universale seu Arte inveniendi et judicandi (1890). [18] [19]
Одним из, пожалуй, самых выдающихся критиков идеи mathesis universalis был Людвиг Витгенштейн и его философия математики . [20] Как отмечает антрополог Эмили Мартин: [21]
Обращаясь к математике — области символической жизни, которую, возможно, труднее всего считать зависящей от социальных норм, — Витгенштейн заметил, что люди находят «невыносимой» идею о том, что числа основываются на общепринятых социальных представлениях.
«Principia Mathematica» — трёхтомный труд по основаниям математики, написанный математиками Альфредом Нортом Уайтхедом и Бертраном Расселом и опубликованный в 1910, 1912 и 1913 годах. Согласно введению, этот труд преследовал три цели:
Нет сомнений, что Principia Mathematica имеет большое значение в истории математики и философии: как заметил Ирвин , она пробудила интерес к символической логике и продвинула этот предмет, популяризировав его; она продемонстрировала силу и возможности символической логики; и она показала, как достижения в философии математики и символической логике могут идти рука об руку с огромной плодотворностью. [23] Действительно, работа была отчасти вызвана интересом к логицизму , взгляду, согласно которому все математические истины являются логическими истинами. Отчасти благодаря достижениям, достигнутым в Principia Mathematica, несмотря на ее недостатки, были достигнуты многочисленные достижения в металогике, включая теоремы Гёделя о неполноте .
В «Порядке вещей » Мишель Фуко рассматривает матезис как точку соединения в упорядочении простых природ и алгебры, что соответствует его концепции таксономии . Хотя Фуко и опускает явные ссылки на универсальность, он использует этот термин для организации и интерпретации всей человеческой науки, как это видно из полного названия его книги: « Порядок вещей: археология гуманитарных наук ». [24]
Гипотеза математической вселенной Тима Модлина пытается построить «строгую математическую структуру, используя примитивные термины, которые дают естественное соответствие физике» [ необходима ссылка ] и исследует, почему математика должна предоставлять такой мощный язык для описания физического мира. [25] По словам Модлина, «наиболее удовлетворительный возможный ответ на такой вопрос: потому что физический мир буквально имеет математическую структуру».
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Медиа, связанные с математикой на Wikimedia Commons