Ранг абелевой группы

Число элементов в подмножестве коммутативной группы

В математике ранг , ранг Прюфера или ранг без кручения абелевой группы A — это мощность максимального линейно независимого подмножества. ^[1] Ранг группы A определяет размер наибольшей свободной абелевой группы, содержащейся в A. Если A не имеет кручения, то она вкладывается в векторное пространство над рациональными числами размерности ранга A. Для конечно порождённых абелевых групп ранг является сильным инвариантом, и каждая такая группа определяется с точностью до изоморфизма своим рангом и подгруппой кручения . Абелевы группы без кручения ранга 1 полностью классифицированы. Однако теория абелевых групп более высокого ранга более сложна.

Термин ранг имеет иное значение в контексте элементарных абелевых групп .

Определение

Подмножество { a _α } абелевой группы A линейно независимо ( над Z ), если единственная линейная комбинация этих элементов, равная нулю, тривиальна: если

${\displaystyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }a_{\alpha }=0,\quad n_{\alpha }\in \mathbb {Z} ,}$

где все , кроме конечного числа коэффициентов n _α, равны нулю (так что сумма, по сути, конечна), то все коэффициенты равны нулю. Любые два максимальных линейно независимых множества в A имеют одинаковую мощность , которая называется рангом A.

Ранг абелевой группы аналогичен размерности векторного пространства . Главное отличие от случая векторного пространства — наличие кручения . Элемент абелевой группы A классифицируется как кручение, если его порядок конечен. Множество всех элементов кручения является подгруппой, называемой подгруппой кручения и обозначаемой T ( A ). Группа называется группой без кручения, если она не имеет нетривиальных элементов кручения. Фактор-группа A / T ( A ) является единственным максимальным фактором без кручения группы A , и ее ранг совпадает с рангом группы A .

Понятие ранга с аналогичными свойствами можно определить для модулей над любой областью целостности , случай абелевых групп, соответствующих модулям над Z. Для этого см. конечно порождённый модуль#Общий ранг .

Характеристики

• Ранг абелевой группы A совпадает с размерностью Q -векторного пространства A ⊗ Q. Если A не имеет кручения, то каноническое отображение A → A ⊗ Q инъективно , а ранг A равен минимальной размерности Q -векторного пространства, содержащего A в качестве абелевой подгруппы. В частности, любая промежуточная группа Z ⁿ < A < Q ⁿ имеет ранг n .
• Абелевы группы ранга 0 — это в точности периодические абелевы группы .
• Группа Q рациональных чисел имеет ранг 1. Абелевы группы без кручения ранга 1 реализуются как подгруппы Q и существует удовлетворительная классификация их с точностью до изоморфизма. Напротив, не существует удовлетворительной классификации абелевых групп без кручения ранга 2. ^[2]
• Ранг аддитивен по коротким точным последовательностям : если

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\;}$

— короткая точная последовательность абелевых групп, то rk  B = rk  A +  rk  C. Это следует из плоскостности Q и соответствующего факта для векторных пространств.

• Ранг аддитивен по произвольным прямым суммам :

${\displaystyle \operatorname {rank} \left(\bigoplus _{j\in J}A_{j}\right)=\sum _{j\in J}\operatorname {rank} (A_{j}),}$

где сумма в правой части использует кардинальную арифметику .

Группы более высокого ранга

Абелевы группы ранга больше 1 являются источниками интересных примеров. Например, для каждого кардинала d существуют абелевы группы без кручения ранга d , которые неразложимы , т. е. не могут быть выражены как прямая сумма пары своих собственных подгрупп. Эти примеры показывают, что абелева группа без кручения ранга больше 1 не может быть просто построена прямыми суммами из абелевых групп без кручения ранга 1, теория которых хорошо изучена. Более того, для каждого целого числа существует абелева группа без кручения ранга , которая одновременно является суммой двух неразложимых групп и суммой n неразложимых групп. ^{[ необходима цитата ]} Следовательно, даже количество неразложимых слагаемых группы четного ранга, большего или равного 4, не является хорошо определенным. ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle 2n-2}$

Другой результат о неоднозначности разложений в прямую сумму получен ALS Corner: для заданных целых чисел существует абелева группа без кручения A ранга n такая, что для любого разбиения на k натуральных слагаемых группа A является прямой суммой k неразложимых подгрупп рангов . ^{[ требуется ссылка ]} Таким образом, последовательность рангов неразложимых слагаемых в некотором разложении в прямую сумму абелевой группы без кручения конечного ранга очень далека от того, чтобы быть инвариантом A . ${\displaystyle n\geq k\geq 1}$ ${\displaystyle n=r_{1}+\cdots +r_{k}}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}}$

Другие удивительные примеры включают группы без кручения ранга 2 A _{n , m} и B _{n , m} такие, что A ⁿ изоморфна B ⁿ тогда и только тогда, когда n делится на m .

Для абелевых групп бесконечного ранга существует пример группы K и подгруппы G, такой что

• K неразложим;
• K генерируется G и одним другим элементом; и
• Каждое ненулевое прямое слагаемое G разложимо.

Обобщение

_{Понятие ранга можно} обобщить для любого модуля M над областью целостности R , как размерность над R0 , полем частных , тензорного произведения модуля с полем:

${\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\dim _{R_{0}}M\otimes _{R}R_{0}}$

Это имеет смысл, поскольку R0 _— это поле, и, следовательно, любой модуль (или, если говорить точнее, векторное пространство ) над ним свободен.

Это обобщение, поскольку каждая абелева группа является модулем над целыми числами. Легко следует, что размерность произведения над Q является мощностью максимального линейно независимого подмножества, поскольку для любого элемента кручения x и любого рационального q ,

${\displaystyle x\otimes _{\mathbf {Z} }q=0.}$

Смотрите также

• Ранг группы

Ссылки

1. Страница 46 из Lang, Serge (1993), Algebra (Третье изд.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, ЗБЛ  0848.13001
2. Томас, Саймон; Шнайдер, Скотт (2012), «Счетные отношения эквивалентности Бореля», в Каммингс, Джеймс; Шиммерлинг, Эрнест (ред.), Аппалачская теория множеств: 2006-2012 , Серия лекций Лондонского математического общества, т. 406, Cambridge University Press, стр. 25–62, CiteSeerX 10.1.1.648.3113 , doi :10.1017/CBO9781139208574.003, ISBN  9781107608504. На стр. 46 Томас и Шнайдер ссылаются на «...эту неспособность удовлетворительно классифицировать даже группы ранга 2...»