Подгруппа кручения

Подгруппа абелевой группы, состоящая из всех элементов конечного порядка

В теории абелевых групп подгруппа кручения A _T абелевой группы A — это подгруппа группы A, состоящая из всех элементов, имеющих конечный порядок ( элементы кручения группы A ^[1] ). Абелева группа A называется группой кручения (или периодической группой), если каждый элемент группы A имеет конечный порядок, и называется группой без кручения , если каждый элемент группы A, за исключением единицы, имеет бесконечный порядок.

Доказательство того, что A _T замкнуто относительно групповой операции, основано на коммутативности операции (см. раздел примеров).

Если A абелева, то подгруппа кручения T является вполне характеристической подгруппой A , а фактор-группа A / T не имеет кручения. Существует ковариантный функтор из категории абелевых групп в категорию групп кручения, который переводит каждую группу в ее подгруппу кручения, а каждый гомоморфизм — в его ограничение на подгруппу кручения. Существует еще один ковариантный функтор из категории абелевых групп в категорию групп без кручения, который переводит каждую группу в ее фактор по ее подгруппе кручения, а каждый гомоморфизм — в очевидный индуцированный гомоморфизм (который, как легко видеть, корректно определен).

Если A конечно порождена и абелева, то ее можно записать в виде прямой суммы ее подгруппы кручения T и подгруппы без кручения (но это неверно для всех бесконечно порожденных абелевых групп). В любом разложении A в виде прямой суммы подгруппы кручения S и подгруппы без кручения S должно быть равно T (но подгруппа без кручения не определена однозначно). Это ключевой шаг в классификации конечно порожденных абелевых групп .

п-мощные торсионные подгруппы

Для любой абелевой группы и любого простого числа p множество A _Tp элементов группы A , имеющих порядок степени p, является подгруппой, называемой подгруппой кручения степени p или, более свободно, подгруппой кручения степени p : ${\displaystyle (A,+)}$

${\displaystyle A_{T_{p}}=\{a\in A\;|\;\exists n\in \mathbb {N} \;,p^{n}a=0\}.\;}$

Подгруппа кручения A _T изоморфна прямой сумме своих подгрупп кручения степени p по всем простым числам p :

${\displaystyle A_{T}\cong \bigoplus _{p\in P}A_{T_{p}}.\;}$

Когда A — конечная абелева группа, A _Tp совпадает с единственной силовской p -подгруппой группы A .

Каждая подгруппа кручения степени p группы A является полностью характеристической подгруппой . Более того, любой гомоморфизм между абелевыми группами переводит каждую подгруппу кручения степени p в соответствующую подгруппу кручения степени p .

Для каждого простого числа p это дает функтор из категории абелевых групп в категорию групп кручения степени p , который переводит каждую группу в ее подгруппу кручения степени p и ограничивает каждый гомоморфизм подгруппами кручения степени p . Произведение по множеству всех простых чисел ограничения этих функторов на категорию групп кручения является точным функтором из категории групп кручения в произведение по всем простым числам категорий групп кручения степени p . В некотором смысле это означает, что изучение групп кручения степени p в изоляции рассказывает нам все о группах кручения в целом.

Примеры и дальнейшие результаты

4-крученая подгруппа факторгруппы комплексных чисел по сложению по решетке.

• Подмножество кручения неабелевой группы, вообще говоря, не является подгруппой. Например, в бесконечной диэдральной группе , которая имеет представление :

⟨ х , у | х² = у² = 1 ⟩

элемент xy является произведением двух элементов кручения, но имеет бесконечный порядок.

• Элементы кручения в нильпотентной группе образуют нормальную подгруппу . ^[2]
• Каждая конечная абелева группа является группой кручения. Однако не каждая группа кручения конечна: рассмотрим прямую сумму счетного числа копий циклической группы C ₂ ; это группа кручения, поскольку каждый элемент имеет порядок 2. Также не обязательно должна быть верхняя граница порядков элементов в группе кручения, если она не является конечно порожденной , как показывает пример фактор-группы Q / Z.
• Всякая свободная абелева группа не имеет кручения, но обратное неверно, как показывает аддитивная группа рациональных чисел Q.
• Даже если A не является конечно порождённой, размер её части без кручения определяется однозначно, как более подробно объясняется в статье о ранге абелевой группы .
• Абелева группа A не имеет кручения тогда и только тогда, когда она плоская как Z - модуль , что означает, что всякий раз, когда C является подгруппой некоторой абелевой группы B , то естественное отображение из тензорного произведения C ⊗ A в B ⊗ A является инъективным .
• Тензорирование абелевой группы A с помощью Q (или любой делимой группы ) уничтожает кручение. То есть, если T — группа кручения, то T ⊗ Q = 0. Для общей абелевой группы A с подгруппой кручения T имеем A ⊗ Q ≅ A / T ⊗ Q .
• Взятие подгруппы кручения превращает абелевы группы кручения в корефлективную подкатегорию абелевых групп, в то время как взятие фактора по подгруппе кручения превращает абелевы группы без кручения в рефлективную подкатегорию .

Смотрите также

• Кручение (алгебра)
• Абелева группа без кручения
• Крутильная абелева группа

Примечания

1. Серж, Ланг (1993), Алгебра (3-е изд.), Эддисон-Уэсли, стр. 42, ISBN 0-201-55540-9
2. См. Эпштейн и Кэннон (1992) стр. 167.

Ссылки

• Эпштейн, Дэвид BA ; Кэннон, Джеймс У .; Холт, Дерек Ф.; Леви, Сильвио В.Ф.; Патерсон, Майкл С .; Терстон, Уильям П. (1992), Обработка текстов в группах , Бостон, Массачусетс: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 0-86720-244-0