Проективный модуль

Прямое слагаемое свободного модуля (математика)

В математике , в частности в алгебре , класс проективных модулей расширяет класс свободных модулей (то есть модулей с базисными векторами ) над кольцом , сохраняя некоторые основные свойства свободных модулей. Различные эквивалентные характеристики этих модулей приведены ниже.

Каждый свободный модуль является проективным модулем, но обратное утверждение неверно для некоторых колец, таких как кольца Дедекинда , которые не являются областями главных идеалов . Однако каждый проективный модуль является свободным модулем, если кольцо является областью главных идеалов, такой как целые числа , или (многомерным) кольцом полиномов над полем (это теорема Квиллена–Суслина ).

Проективные модули были впервые введены в 1956 году в влиятельной книге «Гомологическая алгебра» Анри Картана и Самуэля Эйленберга .

Определения

Подъемное свойство

Обычное теоретико-категориальное определение дается в терминах свойства подъема , которое переносится со свободных модулей на проективные: модуль P проективен тогда и только тогда, когда для каждого сюръективного гомоморфизма модулей f  : N ↠ M и каждого гомоморфизма модулей g  : P → M существует гомоморфизм модулей h  : P → N такой, что f  h = g . (Мы не требуем, чтобы гомоморфизм подъема h был единственным; это не универсальное свойство .)

Преимущество этого определения «проективного» состоит в том, что его можно реализовать в категориях более общих, чем модульные категории : нам не нужно понятие «свободного объекта». Его также можно дуализировать , что приведет к инъективным модулям . Свойство подъема также можно перефразировать как любой морфизм из в факторы через любой эпиморфизм в ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ . Таким образом, по определению, проективные модули — это в точности проективные объекты в категории R -модулей .

Раздельно-точные последовательности

Модуль P проективен тогда и только тогда, когда каждая короткая точная последовательность модулей вида

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow P\rightarrow 0}$

является расщепляемой точной последовательностью . То есть для каждого сюръективного гомоморфизма модулей f  : B ↠ P существует отображение сечений , то есть гомоморфизм модулей h  : P → B такой, что f  h = id _P  . В этом случае h ( P ) является прямым слагаемым B , h является изоморфизмом из P в h ( P ) , а h f является проекцией на слагаемое h ( P ) . Эквивалентно, 

${\displaystyle B=\operatorname {Im} (h)\oplus \operatorname {Ker} (f)\ \ {\text{ where }}\operatorname {Ker} (f)\cong A\ {\text{ and }}\operatorname {Im} (h)\cong P.}$

Прямые слагаемые свободных модулей

Модуль P проективен тогда и только тогда, когда существует другой модуль Q , такой что прямая сумма P и Q является свободным модулем.

Точность

R -модуль P проективен тогда и только тогда, когда ковариантный функтор Hom( P , -): R - Mod → Ab является точным функтором , где R - Mod - категория левых R -модулей, а Ab - категория абелевых групп. Когда кольцо R коммутативно , Ab выгодно заменить на R - Mod в предыдущей характеризации . Этот функтор всегда точен слева , но, когда P проективен, он также точен справа. Это означает, что P проективен тогда и только тогда, когда этот функтор сохраняет эпиморфизмы ( сюръективные гомоморфизмы) или если он сохраняет конечные копределы .

Двойная основа

Модуль P проективен тогда и только тогда, когда существует множество и множество, такие что для каждого x из P , f _i ( x ) не равно нулю только для конечного числа i , и . ${\displaystyle \{a_{i}\in P\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle \{f_{i}\in \mathrm {Hom} (P,R)\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle x=\sum f_{i}(x)a_{i}}$

Элементарные примеры и свойства

Следующие свойства проективных модулей быстро выводятся из любого из приведенных выше (эквивалентных) определений проективных модулей:

• Прямые суммы и прямые слагаемые проективных модулей проективны.
• Если e = e ² — идемпотент в кольце R , то Re — проективный левый модуль над R .

Пусть будет прямым произведением двух колец и , которое является кольцом для покомпонентных операций. Пусть и Тогда и являются идемпотентами и принадлежат центру Двусторонние идеалы и являются проективными модулями, поскольку их прямая сумма (как R -модулей) равна свободному R -модулю R . Однако, если и нетривиальны, то они не свободны как модули над . Например , является проективным, но не свободным над . ${\displaystyle R=R_{1}\times R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2},}$ ${\displaystyle e_{1}=(1,0)}$ ${\displaystyle e_{2}=(0,1).}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle Re_{1}}$ ${\displaystyle Re_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$

Связь с другими модульно-теоретическими свойствами

Связь проективных модулей со свободными и плоскими модулями представлена ​​в следующей диаграмме свойств модулей:

Импликации слева направо верны над любым кольцом, хотя некоторые авторы определяют модули без кручения только над доменом . Импликации справа налево верны над кольцами, помечающими их. Могут быть и другие кольца, над которыми они верны. Например, импликация, помеченная как « локальное кольцо или PID», также верна для (многомерных) полиномиальных колец над полем : это теорема Квиллена–Суслина .

Проективные и свободные модули

Любой свободный модуль проективен. Обратное верно в следующих случаях:

• если R — поле или тело : в этом случае любой модуль свободен.
• если кольцо R является областью главных идеалов . Например, это применимо к R = Z ( целые числа ), поэтому абелева группа проективна тогда и только тогда, когда она является свободной абелевой группой . Причина в том, что любой подмодуль свободного модуля над областью главных идеалов свободен.
• если кольцо R является локальным кольцом . Этот факт является основой интуиции «локально свободный = проективный». Этот факт легко доказать для конечно порождённых проективных модулей. В общем случае он принадлежит Капланскому (1958); см. теорему Капланского о проективных модулях .

Однако в целом проективные модули не обязательно должны быть свободными:

• Над прямым произведением колец R × S, где R и S — ненулевые кольца, R × 0 и 0 × S являются несвободными проективными модулями.
• Над областью Дедекинда неглавный идеал всегда является проективным модулем, который не является свободным модулем.
• Над матричным кольцом M _n ( R ) естественный модуль R ⁿ проективен, но не свободен, когда n > 1.
• Над полупростым кольцом каждый модуль проективен, но ненулевой собственный левый (или правый) идеал не является свободным модулем. Таким образом, единственными полупростыми кольцами, для которых все проективы свободны, являются тела .

Разница между свободными и проективными модулями, в некотором смысле, измеряется алгебраической группой K -теории K ₀ ( R ); см. ниже.

Проективные и плоские модули

Каждый проективный модуль является плоским . ^[1] Обратное в общем случае неверно: абелева группа Q является Z -модулем, который является плоским, но не проективным. ^[2]

Наоборот, конечно связанный плоский модуль проективен. ^[3]

Говоров (1965) и Лазар (1969) доказали, что модуль M является плоским тогда и только тогда, когда он является прямым пределом конечно -порожденных свободных модулей .

В общем, точная связь между плоскостностью и проективностью была установлена ​​Рейно и Грусоном (1971) (см. также Дринфельда (2006) и Браунлинга, Грохениг и Вольфсона (2016)), которые показали, что модуль M является проективным тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующим условиям:

• М плоский,
• M — прямая сумма счетно порожденных модулей,
• M удовлетворяет определенному условию типа Миттаг-Леффлера .

Эту характеристику можно использовать, чтобы показать, что если является строго плоским отображением коммутативных колец и является -модулем, то является проективным тогда и только тогда, когда является проективным. ^[4] Другими словами, свойство быть проективным удовлетворяет строго плоскому спуску . ${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}S}$

Категория проективных модулей

Подмодули проективных модулей не обязаны быть проективными; кольцо R, для которого каждый подмодуль проективного левого модуля является проективным, называется левым наследственным .

Частные проективных модулей также не обязаны быть проективными, например, Z / n является частным Z , но не без кручения , следовательно, не плоским и, следовательно, не проективным.

Категория конечно порождённых проективных модулей над кольцом является точной категорией . (См. также алгебраическую K-теорию ).

Проективные резолюции

Для данного модуля M проективное разрешение M представляет собой бесконечную точную последовательность модулей

⋅⋅⋅ → П _н → ⋅⋅⋅ → П ₂ → П ₁ → П ₀ → М → 0,

со всеми P _{проективны}  . Каждый модуль обладает проективной резольвентой. Фактически существует свободная резольвента (резольвента свободными модулями). Точная последовательность проективных модулей иногда может быть сокращена до P ( M ) → M → 0 или P _• → M → 0 . Классический пример проективной резольвенты дается комплексом Кошуля регулярной последовательности , который является свободной резольвентой идеала , порожденного последовательностью.

Длина конечного разрешения — это индекс n такой, что P _n не равно нулю и P _i = 0 для i, большего n . Если M допускает конечное проективное разрешение, минимальная длина среди всех конечных проективных разрешений M называется его проективной размерностью и обозначается pd( M ). Если M не допускает конечного проективного разрешения, то по соглашению проективная размерность называется бесконечной. В качестве примера рассмотрим модуль M такой, что pd( M ) = 0 . В этой ситуации точность последовательности 0 → P ₀ → M → 0 указывает на то, что стрелка в центре является изоморфизмом, и, следовательно, само M проективно.

Проективные модули над коммутативными кольцами

Проективные модули над коммутативными кольцами обладают интересными свойствами.

Локализация проективного модуля является проективным модулем над локализованным кольцом. Проективный модуль над локальным кольцом свободен. Таким образом, проективный модуль локально свободен (в том смысле, что его локализация в каждом простом идеале свободна над соответствующей локализацией кольца).

Обратное верно для конечно порождённых модулей над нётеровыми кольцами : конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом локально свободен тогда и только тогда, когда он проективен.

Однако существуют примеры конечно порождённых модулей над ненётеровым кольцом, которые локально свободны и не проективны. Например, булево кольцо имеет все свои локализации, изоморфные F ₂ , полю из двух элементов, поэтому любой модуль над булевым кольцом локально свободен, но есть некоторые непроективные модули над булевыми кольцами. Одним из примеров является R / I , где R является прямым произведением счётного числа копий F ₂ , а I является прямой суммой счётного числа копий F ₂ внутри R . R -модуль R / I локально свободен, поскольку R является булевым (и он также конечно порождён как R -модуль с охватывающим множеством размера 1), но R / I не проективен, поскольку I не является главным идеалом. (Если фактор-модуль R / I , для любого коммутативного кольца R и идеала I , является проективным R -модулем, то I является главным.)

Однако верно, что для конечно представленных модулей M над коммутативным кольцом R (в частности, если M является конечно порождённым R -модулем, а R является нётеровым), следующие условия эквивалентны. ^[5]

1. ${\displaystyle M}$плоский.
2. ${\displaystyle M}$является проективным.
3. ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$свободен как -модуль для каждого максимального идеала R. ${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
4. ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$свободен как -модуль для каждого простого идеала R. ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
5. Существуют порождающие единичные идеалы, такие, что они свободны как -модуль для каждого i . ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in R}$ ${\displaystyle M[f_{i}^{-1}]}$ ${\displaystyle R[f_{i}^{-1}]}$
6. ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$является локально свободным пучком на (где находится пучок, ассоциированный с M .) ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

Более того, если R — нётерова область целостности , то по лемме Накаямы эти условия эквивалентны

• Размерность -векторного пространства одинакова для всех простых идеалов R , где - поле вычетов при . ^[6] То есть, M имеет постоянный ранг (как определено ниже) . ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Пусть A — коммутативное кольцо. Если B — (возможно, некоммутативная) A - алгебра , которая является конечно порождённым проективным A - модулем, содержащим A в качестве подкольца , то A — прямой множитель B . ^[7]

Классифицировать

Пусть P — конечно порождённый проективный модуль над коммутативным кольцом R , а X — спектр R. Ранг P в простом идеале в X — это ранг свободного -модуля . Это локально постоянная функция на X. В частности, если X связно (то есть если R не имеет других идемпотентов, кроме 0 и 1), то P имеет постоянный ранг. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle P_{\mathfrak {p}}}$

Векторные пакеты и локально свободные модули

Основная мотивация теории заключается в том, что проективные модули (по крайней мере над некоторыми коммутативными кольцами) являются аналогами векторных расслоений . Это можно уточнить для кольца непрерывных вещественных -функций на компактном хаусдорфовом пространстве , а также для кольца гладких функций на гладком многообразии (см. теорему Серра–Свана , которая утверждает, что конечно порождённый проективный модуль над пространством гладких функций на компактном многообразии является пространством гладких сечений гладкого векторного расслоения ).

Векторные расслоения локально свободны . Если есть некоторое понятие «локализации», которое можно перенести на модули, например, обычная локализация кольца , можно определить локально свободные модули, и тогда проективные модули обычно совпадают с локально свободными модулями.

Проективные модули над кольцом многочленов

Теорема Квиллена–Суслина , которая решает проблему Серра, является еще одним глубоким результатом : если K — поле или, в более общем смысле, область главных идеалов , а R = K [ X ₁ ,..., X _n ] — кольцо полиномов над K , то каждый проективный модуль над R свободен. Эта проблема была впервые поднята Серром с K — полем (и модулями, которые были конечно порождены). Басс решил ее для неконечно порожденных модулей ^[8] , а Квиллен и Суслин независимо и одновременно рассмотрели случай конечно порожденных модулей.

Поскольку каждый проективный модуль над областью главных идеалов свободен, можно задать такой вопрос: если R — коммутативное кольцо, такое что каждый (конечно порождённый) проективный R -модуль свободен, то свободен ли каждый (конечно порождённый) проективный R [ X ] -модуль? Ответ — нет . Контрпример возникает с R , равным локальному кольцу кривой y ² = x ³ в начале координат. Таким образом, теорема Квиллена–Суслина никогда не может быть доказана простой индукцией по числу переменных.

Смотрите также

• Проекционное покрытие
• Лемма Шануэля
• Теорема сокращения Басса
• Теория модульного представления

Примечания

1. Хазевинкель и др. (2004). "Следствие 5.4.5". Алгебры, кольца и модули, часть 1. стр. 131.
2. Хазевинкель и др. (2004). «Замечание после следствия 5.4.5». Алгебры, кольца и модули, часть 1. стр. 131–132.
3. Кон 2003, Следствие 4.6.4 harvnb error: no target: CITEREFCohn2003 (help)
4. "Раздел 10.95 (05A4): Нисходящие свойства модулей — проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 2022-11-03 .
5. Упражнения 4.11 и 4.12 и следствие 6.6 Дэвида Эйзенбуда, Коммутативная алгебра с видом на алгебраическую геометрию , GTM 150, Springer-Verlag, 1995. Также, Milne 1980
6. То есть, является полем вычетов локального кольца . ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$
7. Бурбаки, Коммутативная алгебра 1989, Глава II, §5, Упражнение 4 harvnb error: no target: CITEREFBourbaki,_Algèbre_commutative1989 (help)
8. Басс, Хайман (1963). «Большие проективные модули свободны». Illinois Journal of Mathematics . 7 (1). Duke University Press. Следствие 4.5. doi : 10.1215/ijm/1255637479 .

Ссылки

• William A. Adkins; Steven H. Weintraub (1992). Алгебра: подход с помощью теории модулей. Springer. Раздел 3.5. ISBN 978-1-4612-0923-2.
• Иэн Т. Адамсон (1972). Элементарные кольца и модули . University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
• Николя Бурбаки , Коммутативная алгебра, гл. II, §5
• Браунлинг, Оливер; Грохениг, Майкл; Вольфсон, Джесси (2016), «Объекты Тейта в точных категориях», Mosc. Math. J. , 16 (3), arXiv : 1402.4969v4 , doi : 10.17323/1609-4514-2016-16-3-433-504, MR  3510209, S2CID  118374422
• Пол М. Кон (2003). Дальнейшая алгебра и приложения . Springer. ISBN 1-85233-667-6.
• Дринфельд, Владимир (2006), «Бесконечномерные векторные расслоения в алгебраической геометрии: введение», в Павел Этингоф; Владимир Ретах; И. М. Зингер (ред.), Единство математики , Birkhäuser Boston, стр. 263–304, arXiv : math/0309155v4 , doi :10.1007/0-8176-4467-9_7, ISBN 978-0-8176-4076-7, МР  2181808
• Говоров, В.Е. (1965), «О плоских модулях», Сибирский мат. журнал , 6 : 300–304
• Хазевинкель, Михель ; Губарени, Надежда; Кириченко, Владимир В. (2004). Алгебры, кольца и модули . Спрингер Наука . ISBN 978-1-4020-2690-4.
• Капланский, Ирвинг (1958), «Проективные модули», Ann. of Math. , 2, 68 (2): 372–377, doi :10.2307/1970252, hdl : 10338.dmlcz/101124 , JSTOR  1970252, MR  0100017
• Ланг, Серж (1993). Алгебра (3-е изд.). Эддисон–Уэсли . ISBN 0-201-55540-9.
• Лазар, Д. (1969), «Autour de la platitude», Bulletin de la Société Mathématique de France , 97 : 81–128, doi : 10.24033/bsmf.1675
• Милн, Джеймс (1980). Этальные когомологии . Принстонский университет. Нажимать. ISBN 0-691-08238-3.
• Дональд С. Пассман (2004) Курс теории колец , особенно глава 2 «Проективные модули», стр. 13–22, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-3680-3 . 
• Рейно, Мишель; Грюсон, Лоран (1971), «Критерии банальности и проективности. Методы «платификации» модуля», Invent. Математика. , 13 : 1–89, Bibcode : 1971InMat..13....1R, doi : 10.1007/BF01390094, MR  0308104, S2CID  117528099
• Пауло Рибенбойм (1969) Кольца и модули , §1.6 Проективные модули, стр. 19–24, Interscience Publishers .
• Чарльз Вайбель , K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию

Дальнейшее чтение

• https://mathoverflow.net/questions/272018/faithfull-flat-descent-of-projectivity-for-non-commutative-rings