Коммутативное кольцо

Алгебраическая структура

В математике коммутативное кольцо — это кольцо , в котором операция умножения коммутативна . Изучение коммутативных колец называется коммутативной алгеброй . Дополнительно, некоммутативная алгебра — это изучение свойств колец, которые не являются специфическими для коммутативных колец. Это различие возникает из-за большого числа фундаментальных свойств коммутативных колец, которые не распространяются на некоммутативные кольца.

Определение и первые примеры

Определение

Кольцо — это множество , снабженное двумя бинарными операциями , т. е. операциями, объединяющими любые два элемента кольца в третий. Они называются сложением и умножением и обычно обозначаются как " " и " "; например , и . Чтобы образовать кольцо, эти две операции должны удовлетворять ряду свойств: кольцо должно быть абелевой группой относительно сложения, а также моноидом относительно умножения, где умножение распределяется по сложению; т. е . Элементы тождественности для сложения и умножения обозначаются и , соответственно. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle a\cdot \left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

Если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным . В оставшейся части статьи все кольца будут коммутативными, если явно не указано иное. $${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a,}$$ ${\displaystyle R}$

Первые примеры

Важным примером, и в некотором смысле решающим, является кольцо целых чисел с двумя операциями сложения и умножения. Поскольку умножение целых чисел является коммутативной операцией, это коммутативное кольцо. Обычно его обозначают как сокращение от немецкого слова Zahlen (числа). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Поле — это коммутативное кольцо, где и каждый ненулевой элемент обратим; т. е. имеет мультипликативную инверсию такую, что . Поэтому по определению любое поле — коммутативное кольцо. Рациональные , действительные и комплексные числа образуют поля. ${\displaystyle 0\not =1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\cdot b=1}$

Если — заданное коммутативное кольцо, то множество всех многочленов от переменной , коэффициенты которой находятся в, образует кольцо многочленов , обозначаемое . То же самое справедливо и для нескольких переменных. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\left[X\right]}$

Если есть некоторое топологическое пространство , например подмножество некоторых , вещественных или комплекснозначных непрерывных функций на образуют коммутативное кольцо. То же самое верно для дифференцируемых или голоморфных функций , когда определены два понятия, например, для комплексного многообразия . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Делимость

В отличие от полей, где каждый ненулевой элемент мультипликативно обратим, понятие делимости для колец богаче. Элемент кольца называется единицей , если он обладает мультипликативным обратным. Другой особый тип элемента — делители нуля , т. е. элемент , такой что существует ненулевой элемент кольца такой, что . Если не обладает ненулевыми делителями нуля, он называется областью целостности (или доменом). Элемент, удовлетворяющий некоторому положительному целому числу, называется нильпотентным . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab=0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{n}=0}$ ${\displaystyle n}$

Локализации

Локализация кольца — это процесс, в котором некоторые элементы делаются обратимыми, т.е. к кольцу добавляются мультипликативные обратные. Конкретно, если — мультипликативно замкнутое подмножество ( т.е. всякий раз, когда то так и есть ), то локализация в , или кольцо дробей со знаменателями в , обычно обозначаемое как состоит из символов ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle s,t\in S}$ ${\displaystyle st}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$с ${\displaystyle r\in R,s\in S}$

подчиняется определенным правилам, которые имитируют сокращение, знакомое по рациональным числам. Действительно, в этом языке локализация всех ненулевых целых чисел. Эта конструкция работает для любой целочисленной области вместо . Локализация представляет собой поле, называемое полем частного . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left(R\setminus \left\{0\right\}\right)^{-1}R}$ ${\displaystyle R}$

Идеалы и модули

Многие из следующих понятий существуют также для не обязательно коммутативных колец, но определения и свойства обычно более сложны. Например, все идеалы в коммутативном кольце автоматически двусторонние , что значительно упрощает ситуацию.

Модули

Для кольца -модуль подобен векторному пространству для поля. То есть элементы в модуле можно складывать; их можно умножать на элементы с учетом тех же аксиом, что и для векторного пространства. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

Изучение модулей значительно сложнее, чем векторных пространств , поскольку существуют модули, не имеющие никакого базиса , то есть не содержащие охватывающего множества , элементы которого линейно независимы . Модуль, имеющий базис, называется свободным модулем , а подмодуль свободного модуля не обязательно должен быть свободным.

Модуль конечного типа — это модуль, имеющий конечное охватывающее множество. Модули конечного типа играют фундаментальную роль в теории коммутативных колец, аналогичную роли конечномерных векторных пространств в линейной алгебре . В частности, нётеровы кольца (см. также § нётеровы кольца ниже) можно определить как кольца, такие, что каждый подмодуль модуля конечного типа также имеет конечный тип.

Идеалы

Идеалы кольца — это подмодули , т. е. модули , содержащиеся в . Более подробно, идеал — это непустое подмножество , такое что для всех в , и в , и находятся в . Для различных приложений понимание идеалов кольца имеет особое значение, но часто исходят из изучения модулей в целом. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle ri}$ ${\displaystyle i+j}$ ${\displaystyle I}$

Любое кольцо имеет два идеала, а именно нулевой идеал и , все кольцо. Эти два идеала являются единственными, если является полем. Для любого подмножества ( где является некоторым набором индексов) идеал, порожденный является наименьшим идеалом, содержащим . Эквивалентно, он задается конечными линейными комбинациями ${\displaystyle \left\{0\right\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F=\left\{f_{j}\right\}_{j\in J}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\dots +r_{n}f_{n}.}$$

Главные идеальные области

Если состоит из одного элемента , идеал, порожденный состоит из кратных , т. е. элементов вида для произвольных элементов . Такой идеал называется главным идеалом . Если каждый идеал является главным идеалом, называется кольцом главных идеалов ; два важных случая — и , кольцо многочленов над полем . Эти два являются дополнительно областями, поэтому они называются областями главных идеалов . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle rs}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k\left[X\right]}$ ${\displaystyle k}$

В отличие от общих колец, для главного идеального домена свойства отдельных элементов тесно связаны со свойствами кольца в целом. Например, любой главный идеальный домен является уникальным доменом факторизации (UFD), что означает, что любой элемент является произведением неприводимых элементов единственным (с точностью до переупорядочения множителей) способом. Здесь элемент в домене называется неприводимым, если единственным способом выразить его как произведение является либо , либо являющимся единицей. Примером, важным в теории поля , являются неприводимые многочлены , т. е. неприводимые элементы в , для поля . Тот факт, что является UFD, можно сформулировать более элементарно, сказав, что любое натуральное число можно однозначно разложить в виде произведения степеней простых чисел. Она также известна как основная теорема арифметики . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle a=bc,}$$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k\left[X\right]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Элемент является простым элементом, если всякий раз, когда делит произведение , делит или . В домене быть простым означает быть неприводимым. Обратное верно в домене уникальной факторизации, но неверно в общем случае. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle bc}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Факторное кольцо

Определение идеалов таково, что «деление» «out» дает другое кольцо, фактор-кольцо : это множество смежных классов вместе с операциями и . Например, кольцо (также обозначаемое ), где — целое число, является кольцом целых чисел по модулю . Это основа модульной арифметики . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle \left(a+I\right)+\left(b+I\right)=\left(a+b\right)+I}$$ ${\displaystyle \left(a+I\right)\left(b+I\right)=ab+I}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Идеал является собственным, если он строго меньше всего кольца. Идеал, который не содержится строго ни в каком собственном идеале, называется максимальным . Идеал является максимальным тогда и только тогда, когда является полем. За исключением нулевого кольца , любое кольцо (с единицей) обладает по крайней мере одним максимальным идеалом; это следует из леммы Цорна . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle R/m}$

Кольца Нётера

Кольцо называется нётеровым (в честь Эмми Нётер , разработавшей эту концепцию), если каждая возрастающая цепочка идеалов становится стационарной, т. е. становится постоянной после некоторого индекса . Эквивалентно, любой идеал порождается конечным числом элементов, или, что ещё эквивалентно, подмодули конечно порождённых модулей конечно порождёны. $${\displaystyle 0\subseteq I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \dots \subseteq I_{n}\subseteq I_{n+1}\dots }$$ ${\displaystyle n}$

Быть нётеровским — это очень важное условие конечности, и это условие сохраняется при многих операциях, которые часто встречаются в геометрии. Например, если нётерово, то таковыми являются и кольцо многочленов (по теореме Гильберта о базисе ), любая локализация , а также любое фактор-кольцо . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\left[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right]}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle R/I}$

Любое не-нётерово кольцо является объединением своих нётеровых подколец. Этот факт, известный как нётерово приближение, позволяет распространить некоторые теоремы на не-нётеровы кольца. ${\displaystyle R}$

Артиновские кольца

Кольцо называется артиновым (в честь Эмиля Артина ), если каждая нисходящая цепочка идеалов в конце концов становится стационарной. Несмотря на два условия, кажущихся симметричными, нётеровы кольца гораздо более общие, чем артиновы кольца. Например, является нётеровым, поскольку каждый идеал может быть порожден одним элементом, но не является артиновым, как показывает цепочка . Фактически, по теореме Хопкинса–Левицки , каждое артиново кольцо является нётеровым. Точнее, артиновы кольца можно охарактеризовать как нётеровы кольца, размерность Крулля которых равна нулю. $${\displaystyle R\supseteq I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq \dots \supseteq I_{n}\supseteq I_{n+1}\dots }$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \mathbb {Z} \supsetneq 2\mathbb {Z} \supsetneq 4\mathbb {Z} \supsetneq 8\mathbb {Z} \dots }$$

Спектр коммутативного кольца

Главные идеалы

Как упоминалось выше, является уникальной областью факторизации . Это неверно для более общих колец, как поняли алгебраисты в 19 веке. Например, в есть два действительно различных способа записи 6 в виде произведения: Простые идеалы, в отличие от простых элементов, предоставляют способ обойти эту проблему. Простым идеалом является собственный (т. е. строго содержащийся в ) идеал, такой что, когда произведение любых двух элементов кольца и находится в хотя бы один из двух элементов уже находится в (Обратное заключение справедливо для любого идеала по определению.) Таким образом, если простой идеал является главным, он эквивалентно порождается простым элементом. Однако в кольцах, таких как простые идеалы, не обязательно должны быть главными. Это ограничивает использование простых элементов в теории колец. Однако краеугольным камнем алгебраической теории чисел является тот факт, что в любом дедекиндовом кольце (которое включает в себя и, в более общем смысле, кольцо целых чисел в числовом поле ) любой идеал (например, порожденный 6) однозначно разлагается как произведение простых идеалов. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$$ $${\displaystyle 6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right).}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right],}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$

Любой максимальный идеал является простым идеалом или, короче, является простым. Более того, идеал является простым тогда и только тогда, когда фактор-кольцо является областью целостности. Доказательство того, что идеал является простым, или, что эквивалентно, что кольцо не имеет делителей нуля, может быть очень сложным. Еще один способ выразить то же самое — сказать, что дополнение мультипликативно замкнуто. Локализация достаточно важна, чтобы иметь свою собственную нотацию: . Это кольцо имеет только один максимальный идеал, а именно . Такие кольца называются локальными . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R\setminus p}$ ${\displaystyle \left(R\setminus p\right)^{-1}R}$ ${\displaystyle R_{p}}$ ${\displaystyle pR_{p}}$

Спектр

Spec ( Z ) содержит точку для нулевого идеала. Замыкание этой точки — всё пространство. Остальные точки соответствуют идеалам ( p ), где p — простое число. Эти точки замкнуты.

Спектр кольца , ^[a], обозначаемый как , является множеством всех простых идеалов кольца . Он снабжен топологией, топологией Зарисского , которая отражает алгебраические свойства : базис открытых подмножеств задается как , где - любой элемент кольца. Интерпретируемый как функция, принимающая значение f mod p (т. е. образ f в поле вычетов R / p ), это подмножество является геометрическим местом, где f не равно нулю. Спектр также уточняет интуицию о том, что локализация и фактор-кольца являются дополнительными: естественные отображения R → R _f и R → R / fR соответствуют, после наделения спектров рассматриваемых колец их топологией Зарисского, дополнительным открытым и замкнутым погружениям соответственно. Даже для базовых колец, таких как проиллюстрировано для R = Z справа, топология Зарисского сильно отличается от топологии на множестве действительных чисел. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}\ R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle D\left(f\right)=\left\{p\in {\text{Spec}}\ R,f\not \in p\right\},}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Спектр содержит множество максимальных идеалов, которое иногда обозначается mSpec ( R ). Для алгебраически замкнутого поля k , mSpec (k[ T ₁ , ..., T _n ] / ( f ₁ , ..., f _m )) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством

{ x =( x ₁ , ..., x _n ) ∊ k ⁿ

Таким образом, максимальные идеалы отражают геометрические свойства множеств решений многочленов, что является исходной мотивацией для изучения коммутативных колец. Однако рассмотрение немаксимальных идеалов как части геометрических свойств кольца полезно по нескольким причинам. Например, минимальные простые идеалы (т. е. те, которые не содержат строго меньшие) соответствуют неприводимым компонентам Spec R . Для нётерова кольца R Spec R имеет только конечное число неприводимых компонент. Это геометрическая переформулировка первичного разложения , согласно которой любой идеал может быть разложен в произведение конечного числа первичных идеалов . Этот факт является окончательным обобщением разложения на простые идеалы в дедекиндовых кольцах.

Аффинные схемы

Понятие спектра является общей основой коммутативной алгебры и алгебраической геометрии . Алгебраическая геометрия осуществляется путем наделения Spec R пучком (сущностью , которая собирает функции, определенные локально, т. е. на изменяющихся открытых подмножествах). Данные пространства и пучка называются аффинной схемой . При наличии аффинной схемы базовое кольцо R может быть восстановлено как глобальные сечения . Более того, это взаимно-однозначное соответствие между кольцами и аффинными схемами также совместимо с кольцевыми гомоморфизмами: любое f  : R → S порождает непрерывное отображение в противоположном направлении ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Spec S → Spec R , q ↦ f ⁻¹ ( q ), т.е. любой простой идеал S отображается в свой прообраз относительно f , который является простым идеалом R .

Полученная эквивалентность двух указанных категорий удачно отражает алгебраические свойства колец геометрическим образом.

Подобно тому, как многообразия локально задаются открытыми подмножествами R ⁿ , аффинные схемы являются локальными моделями для схем , которые являются объектом изучения в алгебраической геометрии. Поэтому несколько понятий, касающихся коммутативных колец, вытекают из геометрической интуиции.

Измерение

Размерность Крулля (или размерность) dim R кольца R измеряет «размер» кольца, грубо говоря, подсчитывая независимые элементы в R. Размерность алгебр над полем k может быть аксиоматизирована четырьмя свойствами:

• Размерность является локальным свойством: dim R = sup _{p ∊ Spec R} dim R _p .
• Размерность не зависит от нильпотентных элементов: если I ⊆ R нильпотентно, то dim R = dim R / I.
• Размерность остается постоянной при конечном расширении: если S является R -алгеброй, которая конечно порождена как R -модуль, то dim S = dim R .
• Размерность калибруется по формуле dim k [ X ₁ , ..., X _n ] = n . Эта аксиома мотивируется рассмотрением кольца полиномов от n переменных как алгебраического аналога n -мерного пространства .

Размерность определяется для любого кольца R как супремум длин n цепочек простых идеалов

п ₀ ⊊ п ₁ ⊊ ... ⊊ п _n .

Например, поле нульмерно, поскольку единственным простым идеалом является нулевой идеал. Целые числа одномерны, поскольку цепи имеют вид (0) ⊊ ( p ), где p — простое число . Для ненётеровых колец, а также нелокальных колец размерность может быть бесконечной, но нётеровы локальные кольца имеют конечную размерность. Среди четырёх аксиом выше первые две являются элементарными следствиями определения, тогда как оставшиеся две зависят от важных фактов коммутативной алгебры , теоремы о восхождении и теоремы Крулля о главном идеале .

Гомоморфизмы колец

Гомоморфизм колец или, проще говоря, просто отображение — это отображение f  : R → S такое, что

f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ), f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) и f (1) = 1.

Эти условия гарантируют, что f (0) = 0. Аналогично другим алгебраическим структурам, гомоморфизм колец является отображением, совместимым со структурой рассматриваемых алгебраических объектов. В такой ситуации S также называется R -алгеброй, понимая, что s в S может быть умножено на некоторое r из R , устанавливая

г · с  := ф ( г ) · с .

Ядро и образ f определяются формулами ker( f ) = { r ∈ R , f ( r ) = 0} и im ( f ) = f ( R ) = { f ( r ), r ∈ R } . Ядро является идеалом R , а образ является подкольцом S .

Гомоморфизм колец называется изоморфизмом, если он является биекцией. Примером изоморфизма колец, известного как китайская теорема об остатках , является случай, когда n = p ₁ p ₂ ... p _k — произведение попарно различных простых чисел . $${\displaystyle \mathbf {Z} /n=\bigoplus _{i=0}^{k}\mathbf {Z} /p_{i},}$$

Коммутативные кольца вместе с кольцевыми гомоморфизмами образуют категорию . Кольцо Z является исходным объектом в этой категории, что означает, что для любого коммутативного кольца R существует единственный кольцевой гомоморфизм Z → R . С помощью этого отображения целое число n можно рассматривать как элемент R . Например, биномиальная формула , которая верна для любых двух элементов a и b в любом коммутативном кольце R , понимается в этом смысле путем интерпретации биномиальных коэффициентов как элементов R с использованием этого отображения. $${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}}$$

Универсальное свойство S ⊗ _R T гласит, что для любых двух отображений S → W и T → W , которые делают внешний четырехугольник коммутативным, существует единственное отображение S ⊗ _R T → W , которое делает всю диаграмму коммутативной.

Даны две R -алгебры S и T , их тензорное произведение

С ⊗ _Р Т

снова является коммутативной R -алгеброй. В некоторых случаях тензорное произведение может служить для нахождения T -алгебры, которая относится к Z так же, как S относится к R . Например,

Р [ Х ] ⊗ _Р Т = Т [ Х ].

Конечное поколение

R -алгебра S называется конечно порожденной (как алгебра) , если существует конечное число элементов s _{1 ,} ... , s _n таких, что любой элемент s выражается как многочлен от s _i . Эквивалентно, S изоморфна

Р [ Т ₁ , ..., Т _n ] / Я .

Гораздо более сильным условием является то, что _{S конечно} порожден как R - модуль , что означает, что любой s может быть выражен как R -линейная комбинация некоторого конечного множества s1 ,..., sn .

Местные кольца

Кольцо называется локальным , если оно имеет только один максимальный идеал, обозначаемый m . Для любого (не обязательно локального) кольца R локализация

Р _п

в простом идеале p локально. Эта локализация отражает геометрические свойства Spec R "вокруг p ". Несколько понятий и задач коммутативной алгебры можно свести к случаю, когда R локально, что делает локальные кольца особенно глубоко изученным классом колец. Поле вычетов R определяется как

к = Р / м .

Любой R -модуль M дает k -векторное пространство, заданное M / mM . Лемма Накаямы показывает, что этот отрывок сохраняет важную информацию: конечно порождённый модуль M равен нулю тогда и только тогда, когда M / mM равен нулю.

Регулярные местные звонки

Кубическая плоская кривая (красная), определяемая уравнением y ² = x ² ( x + 1 ), является сингулярной в начале координат, т. е. кольцо k [ x , y ] / y ² − x ² ( x + 1 ), не является регулярным кольцом. Касательный конус (синий) является объединением двух прямых, что также отражает сингулярность.

Вектор k -пространства m / m2 является алгебраическим воплощением кокасательного пространства ^. Неформально, элементы m можно рассматривать как функции, которые обращаются в нуль в точке p , тогда как m2 ^{содержит} те, которые обращаются в нуль с порядком не ниже 2. Для любого нётерова локального кольца R неравенство

размерность _к м / м ² ≥ размерность R

справедливо, отражая идею о том, что кокасательное (или, что эквивалентно, касательное) пространство имеет по крайней мере размерность пространства Spec R . Если в этой оценке выполняется равенство, R называется регулярным локальным кольцом . Нётерово локальное кольцо является регулярным тогда и только тогда, когда кольцо (которое является кольцом функций на касательном конусе ) изоморфно кольцу многочленов над k . В общем, регулярные локальные кольца в некоторой степени похожи на кольца многочленов. ^[1] Регулярные локальные кольца являются UFD. ^[2] $${\displaystyle \bigoplus _{n}m^{n}/m^{n+1}}$$

Кольца дискретного оценивания снабжены функцией, которая присваивает целое число любому элементу r . Это число, называемое оценкой r , можно неформально рассматривать как нулевой или полюсный порядок r . Кольца дискретного оценивания — это в точности одномерные регулярные локальные кольца. Например, кольцо ростков голоморфных функций на римановой поверхности является кольцом дискретного оценивания.

Полные перекрестки

Скрученная кубика (зеленая) является полным пересечением в теории множеств, но не является им.

Согласно теореме Крулла о главном идеале , основополагающему результату в теории размерности колец , размерность

R = k [ T ₁ , ..., T _r ] / ( f ₁ , ..., f _n )

не меньше r − n . Кольцо R называется полным кольцом пересечений , если его можно представить таким образом, чтобы достичь этой минимальной границы. Это понятие также в основном изучается для локальных колец. Любое регулярное локальное кольцо является полным кольцом пересечений, но не наоборот.

Кольцо R является теоретико- множественным полным пересечением, если редуцированное кольцо, связанное с R , т. е. полученное путем деления всех нильпотентных элементов, является полным пересечением. По состоянию на 2017 год в общем неизвестно, являются ли кривые в трехмерном пространстве теоретико-множественными полными пересечениями. ^[3]

Кольца Коэна–Маколея

Глубиной локального кольца R называется число элементов в некоторой (или, как можно показать, в любой) максимальной регулярной последовательности, т. е. последовательности a 1 _, ..., a _n ∈ m такой, что все a _i являются неделителями нуля в

R / ( a ₁ , ..., a _{i −1} ).

Для любого локального нётерова кольца неравенство

глубина( R ) ≤ размерность( R )

имеет место. Локальное кольцо, в котором имеет место равенство, называется кольцом Коэна–Маколея . Локальные кольца полного пересечения, и тем более регулярные локальные кольца являются кольцами Коэна–Маколея, но не наоборот. Коэны–Маколея объединяют желаемые свойства регулярных колец (такие как свойство быть универсально цепными кольцами , что означает, что (ко)размерность простых чисел ведет себя хорошо), но также более устойчивы к взятию частных, чем регулярные локальные кольца. ^[4]

Построение коммутативных колец

Существует несколько способов построения новых колец из заданных. Целью таких построений часто является улучшение определенных свойств кольца, чтобы сделать его более понятным. Например, целочисленная область, которая целочисленно замкнута в своем поле дробей, называется нормальной . Это желательное свойство, например, любое нормальное одномерное кольцо обязательно является регулярным . Преобразование ^{[ требуется пояснение ]} кольца в нормальное состояние известно как нормализация .

Завершения

Если I — идеал в коммутативном кольце R , то степени I образуют топологические окрестности 0 , которые позволяют рассматривать R как топологическое кольцо . Эта топология называется I -адической топологией . Тогда R можно пополнить относительно этой топологии. Формально I -адическое пополнение является обратным пределом колец R / I ⁿ . Например, если k — поле, k [ [ X ]], то формальное кольцо степенных рядов от одной переменной над k является I -адическим пополнением k [ X ], где I — главный идеал, порожденный X. Это кольцо служит алгебраическим аналогом диска. Аналогично, кольцо p -адических целых чисел является пополнением Z относительно главного идеала ( p ). Любое кольцо, изоморфное своему собственному пополнению, называется полным .

Полные локальные кольца удовлетворяют лемме Гензеля , которая , грубо говоря, позволяет распространять решения (различных задач) над полем вычетов k на R.

Гомологические понятия

Несколько более глубоких аспектов коммутативных колец были изучены с использованием методов гомологической алгебры . Хохстер (2007) перечисляет некоторые открытые вопросы в этой области активных исследований.

Проективные модули и функторы Ext

Проективные модули можно определить как прямые слагаемые свободных модулей. Если R локально, любой конечно порождённый проективный модуль фактически свободен, что даёт содержание аналогии между проективными модулями и векторными расслоениями . ^[5] Теорема Квиллена–Суслина утверждает, что любой конечно порождённый проективный модуль над k [ T ₁ , ..., T _n ] ( k — поле) свободен, но в общем случае эти два понятия различаются. Локальное нётерово кольцо является регулярным тогда и только тогда, когда его глобальная размерность конечна, скажем, n , что означает, что любой конечно порождённый R -модуль имеет разрешение проективными модулями длины не более n .

Доказательство этого и других связанных утверждений основано на использовании гомологических методов, таких как функтор Ext . Этот функтор является производным функтора функтора

Хом _R ( М , −).

Последний функтор точен, если M проективен, но не в противном случае: для сюръективного отображения E → F R -модулей отображение M → F не обязательно должно продолжаться до отображения M → E . Высшие функторы Ext измеряют неточность Hom-функтора. Важность этой стандартной конструкции в гомологической алгебре следует из того факта, что локальное нётерово кольцо R с полем вычетов k регулярно тогда и только тогда, когда

Доп ^{. н} ( к , к )

обращается в нуль для всех достаточно больших n . Более того, размерности этих Ext-групп, известные как числа Бетти , растут полиномиально по n тогда и только тогда, когда R является локальным полным кольцом пересечений . ^[6] Ключевым аргументом в таких рассмотрениях является комплекс Кошуля , который обеспечивает явное свободное разрешение поля вычетов k локального кольца R в терминах регулярной последовательности.

Плоскостность

Тензорное произведение — еще один неточный функтор, актуальный в контексте коммутативных колец: для общего R -модуля M функтор

М ⊗ _Р −

является только точным справа. Если он точен, M называется плоским . Если R локально, любой конечно представленный плоский модуль свободен от конечного ранга, следовательно, проективен. Несмотря на определение в терминах гомологической алгебры, плоскостность имеет глубокие геометрические последствия. Например, если R -алгебра S плоская, то размеры слоев

S / pS = S ⊗ _R R / p

(для простых идеалов p в R ) имеют «ожидаемую» размерность, а именно dim S − dim R + dim( R / p ) .

Характеристики

По теореме Веддерберна каждое конечное деление коммутативно, и, следовательно, является конечным полем . Другое условие, гарантирующее коммутативность кольца, согласно Джекобсону , заключается в следующем: для каждого элемента r из R существует целое число n > 1, такое что r ⁿ = r . ^[7] Если r ² = r для каждого r , то кольцо называется булевым кольцом . Известны также более общие условия, гарантирующие коммутативность кольца. ^[8]

Обобщения

Градуированно-коммутативные кольца

Пара брюк — это кобордизм между окружностью и двумя непересекающимися окружностями. Классы кобордизма, с декартовым произведением в качестве умножения и непересекающимся объединением в качестве суммы, образуют кольцо кобордизма .

Градуированное кольцо R = ⨁ _{i ∊ Z} R _i называется градуированно-коммутативным , если для всех однородных элементов a и b выполняется соотношение

ab знак ^равно (−1) град а ^{⋅ град} б ^ба .

Если R _i связаны дифференциалами ∂ таким образом, что выполняется абстрактная форма правила произведения , т.е.

∂( ab ) = ∂( a ) b + (−1) ^{deg a} a∂( b ),

R называется коммутативной дифференциальной градуированной алгеброй (cdga). Примером является комплекс дифференциальных форм на многообразии , с умножением, заданным внешним произведением , является cdga. Когомологии cdga являются градуированно-коммутативным кольцом, иногда называемым кольцом когомологий . Широкий спектр примеров градуированных колец возникает таким образом. Например, кольцо Лазара является кольцом классов кобордизмов комплексных многообразий.

Градуированно-коммутативное кольцо относительно градуировки по Z /2 (в отличие от Z ) называется супералгеброй .

Связанное понятие — почти коммутативное кольцо , что означает, что R фильтруется таким образом, что соответствующее градуированное кольцо

гр R  := ⨁ F _i R / ⨁ F _{i −1} R

коммутативен. Примером может служить алгебра Вейля и более общие кольца дифференциальных операторов .

Симплициальные коммутативные кольца

Симплициальное коммутативное кольцо — это симплициальный объект в категории коммутативных колец. Они являются строительными блоками для (связной) производной алгебраической геометрии . Тесно связанным, но более общим понятием является понятие E _∞ -кольца .

Приложения коммутативных колец

• Голоморфные функции
• Алгебраическая К-теория
• Топологическая К-теория
• Разделенные структуры власти
• Векторы Витта
• Алгебра Гекке (использована в доказательстве Уайлсом Великой теоремы Ферма )
• Периодические кольца Фонтейна
• Кластерная алгебра
• Сверточная алгебра (коммутативной группы)
• Алгебра Фреше

Смотрите также

• Почти кольцо , некоторое обобщение коммутативного кольца.
• Делимость (теория колец) : нильпотентный элемент (напр. дуальные числа )
• Идеалы и модули: Радикал идеала , Эквивалентность Мориты
• Гомоморфизмы колец : целостный элемент : теорема Кэли–Гамильтона , целозамкнутая область , кольцо Крулля , теорема Крулля–Акидзуки , теорема Мори–Нагаты
• Простые числа: Лемма об избегании простых чисел , Радикал Джекобсона , Нильрадикал кольца , Спектр: Компактное пространство , Связное кольцо , Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами , Теорема Банаха–Стоуна
• Локальные кольца : Локальное кольцо Горенштейна (также использовалось в доказательстве Уайлсом Великой теоремы Ферма ): Двойственность (математика) , Эбен Матлис ; Дуализирующий модуль , Теорема Попеску , Аппроксимационная теорема Артина .

Примечания

1. Это понятие можно связать со спектром линейного оператора; см. Спектр C*-алгебры и представление Гельфанда .

Цитаты

1. Мацумура 1989, стр. 143, §7, Замечания
2. Мацумура 1989, §19, Теорема 48
3. Любезник 1989
4. Эйзенбуд 1995, Следствие 18.10, Предложение 18.13
5. См. также теорему Серра–Свана.
6. Кристенсен, Струли и Величе, 2010 г.
7. Якобсон 1945
8. Пинтер-Люкке 2007

Ссылки

• Кристенсен, Ларс Винтер; Стриули, Джанет; Величе, Оана (2010), «Рост минимальной инъективной резолюции локального кольца», Журнал Лондонского математического общества , Вторая серия, 81 (1): 24–44, arXiv : 0812.4672 , doi : 10.1112/jlms/jdp058, S2CID  14764965
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С видом на алгебраическую геометрию. , Graduate Texts in Mathematics , т. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, г-н  1322960
• Хохстер, Мелвин (2007), «Гомологические гипотезы, старые и новые», Illinois J. Math. , 51 (1): 151–169, doi : 10.1215/ijm/1258735330
• Якобсон, Натан (1945), «Структурная теория алгебраических алгебр ограниченной степени», Annals of Mathematics , 46 (4): 695–707, doi :10.2307/1969205, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969205
• Любезник, Геннадий (1989), «Обзор проблем и результатов по числу определяющих уравнений», Представления, резолюции и переплетающиеся числа , стр. 375–390, Zbl  0753.14001
• Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
• Пинтер-Лаке, Джеймс (2007), «Условия коммутативности колец: 1950–2005», Expositiones Mathematicae , 25 (2): 165–174, doi : 10.1016/j.exmath.2006.07.001 , ISSN  0723-0869

Дальнейшее чтение

• Атья, Майкл ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley Publishing Co.
• Бальцежик, Станислав; Юзефяк, Тадеуш (1989), Коммутативные нётеровы и круллевские кольца , серия Эллиса Хорвуда: Математика и её приложения, Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7
• Бальцежик, Станислав; Юзефяк, Тадеуш (1989), Размерность, множественность и гомологические методы , Серия Эллиса Хорвуда: Математика и ее приложения., Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2
• Капланский, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца (пересмотренное издание), Издательство Чикагского университета , MR  0345945
• Нагата, Масаёси (1975) [1962], Локальные кольца , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, т. 13, Interscience Publishers, стр. xiii+234, ISBN 978-0-88275-228-0, МР  0155856
• Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1958–60), Коммутативная алгебра I, II , Университетская серия по высшей математике, Принстон, Нью-Джерси: D. van Nostrand, Inc. (Переиздано в 1975–76 годах издательством Springer в виде томов 28–29 Graduate Texts in Mathematics.)