Единица (теория колец)

В алгебре единица или обратимый элемент ^[a] кольца является обратимым элементом для умножения кольца. То есть элемент $u$ кольца $R является единицей,$ если существует $v$ в $R$ , такой что где $1$ — мультипликативная единица ; элемент $v является уникальным для$ этого свойства и называется мультипликативным обратным к $u$ . ^[1]^[2] Множество единиц $R$ образует группу $R$ $\times$ при умножении, называемую группой единиц или группой единиц R. $[$ ^b] Другие обозначения для группы единиц — $R$ $*$ , $U($ $R$ $)$ и $E($ $R$ $)$ (от немецкого термина Einheit ) . $vu=uv=1,$

Реже термин единица иногда используется для обозначения элемента $1$ кольца, в выражениях типа кольцо с единицей или единичное кольцо , а также единичная матрица . Из-за этой неоднозначности $1$ чаще называют «единицей» или «тождеством» кольца, а фразы «кольцо с единицей» или «кольцо с тождеством» могут использоваться, чтобы подчеркнуть, что рассматривается кольцо, а не rng .

Примеры

Мультипликативное тождество $1$ и его аддитивное обратное $-1$ всегда являются единицами. В более общем смысле любой корень из единицы в кольце $R$ является единицей: если $r n = 1$ , то $r n -1$ является мультипликативным обратным к $r$ . В ненулевом кольце элемент не является единицей, поэтому $R \times$ не замкнуто относительно сложения. Ненулевое кольцо $R,$ в котором каждый ненулевой элемент является единицей (то есть $R \times = R ∖ {0}$ ), называется телом ( или телом). Коммутативное тело называется полем . Например, группа единиц поля действительных чисел $R$ есть $R ∖ {0}$ .

Целочисленное кольцо

В кольце целых чисел $Z$ единственными единицами являются $1$ и $-1$ .

В кольце $Z / n Z$ целых чисел по модулю n единицы — это классы конгруэнтности $(mod n)$ , представленные целыми числами, взаимно простыми с $n$ . Они составляют мультипликативную группу целых чисел по модулю $n$ .

Кольцо целых чисел числового поля

В кольце $Z [\sqrt 3]$ , полученном присоединением квадратичного целого числа $\sqrt 3$ к $Z$ , имеем $(2 + \sqrt 3)(2 - \sqrt 3) = 1$ , поэтому $2 + \sqrt 3$ является единицей, как и ее степени, поэтому $Z [\sqrt 3]$ имеет бесконечно много единиц.

В более общем случае для кольца целых чисел $R$ в числовом поле $F$ теорема Дирихле о единице утверждает, что $R \times$ изоморфна группе, где — (конечная, циклическая) группа корней из единицы в $R$ , а $n —$ ранг единичной группы, где — число действительных вложений и число пар комплексных вложений $F$ соответственно. $\mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}$ $\mu _{R}$ $n=r_{1}+r_{2}-1,$ $r_{1},r_{2}$

Это восстанавливает пример $Z [\sqrt 3]$ : единичная группа (кольца целых чисел) действительного квадратичного поля бесконечна и имеет ранг 1, поскольку . $r_{1}=2,r_{2}=0$

Многочлены и степенные ряды

Для коммутативного кольца $R$ единицы кольца многочленов $R [x]$ — это многочлены, такие что $a$ $0$ является единицей в $R$ , а остальные коэффициенты нильпотентны , т. е. удовлетворяют для некоторого $N$ . ^[4] В частности, если $R$ — область (или, в более общем случае, редуцированная ) , то единицы кольца $R$ $[$ $x$ $]$ — это единицы кольца $R$ . Единицы кольца степенных рядов — это степенные ряды, такие что $a$ $0$ является единицей в $R$ . ^[5] $p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$ $a_{1},\точки ,a_{n}$ $a_{i}^{N}=0$ $R[[x]]$ $p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$

Матричные кольца

Группа единиц кольца $M n (R)$ матриц размера $n \times n$ над кольцом $R$ — это группа $GL n (R)$ обратимых матриц $.$ Для коммутативного кольца $R$ элемент $A$ из $M n (R)$ обратим тогда и только тогда, когда определитель A обратим в $R$ . В этом случае $A$ $-1$ можно явно задать в терминах сопряженной матрицы .

В общем

Для элементов $x$ и $y$ в кольце $R$ , если обратим, то обратим с обратным ; ^[6] эту формулу можно угадать, но не доказать, с помощью следующего вычисления в кольце некоммутативных степенных рядов: См. тождество Хуа для получения похожих результатов. $1-ху$ $1-yx$ $1+y(1-xy)^{-1}x$ $(1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^ {n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.$

Группа единиц

Коммутативное кольцо называется локальным кольцом , если $R ∖ R \times$ — максимальный идеал .

Как оказывается, если $R ∖ R \times$ — идеал, то он обязательно является максимальным идеалом и $R$ локален , поскольку максимальный идеал не пересекается с $R \times$ .

Если $R$ — конечное поле , то $R \times$ — циклическая группа порядка $| R | - 1$ .

Каждый гомоморфизм колец $f : R \to S$ индуцирует гомоморфизм групп $R \times \to S \times$ , поскольку $f$ отображает единицы в единицы. Фактически, формирование группы единиц определяет функтор из категории колец в категорию групп . Этот функтор имеет левый сопряженный , который является конструкцией целочисленного группового кольца . ^[7]

Групповая схема изоморфна мультипликативной групповой схеме над любой базой, поэтому для любого коммутативного кольца $R$ группы и канонически изоморфны $U$ $($ $R$ $)$ . Обратите внимание, что функтор (то есть $R$ $\mapsto$ $U$ $($ $R$ $)$ ) представим в смысле: для коммутативных колец $R$ (это, например, следует из вышеупомянутого сопряженного отношения с конструкцией группового кольца). Явно это означает, что существует естественная биекция между множеством кольцевых гомоморфизмов и множеством единичных элементов $R$ (напротив, представляет аддитивную группу , забывающий функтор из категории коммутативных колец в категорию абелевых групп). $\operatorname {GL} _{1}$ $\mathbb {G} _{м}$ $\operatorname {GL} _{1}(R)$ $\mathbb {G} _{m}(R)$ $\mathbb {G} _{м}$ $\mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)$ $\mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R$ $\mathbb {Z} [т]$ $\mathbb {G} _{a}$

Ассоциированность

Предположим, что $R$ коммутативно. Элементы $r$ и $s$ из $R$ называютсяассоциирован ,если существует единица $u$ в $R$ такая, что $r = us$ ; тогда пишем $r ~ s$ . В любом кольце парыаддитивных обратныхэлементов^[c] $x$ и $- x$ ассоциированы, поскольку любое кольцо включает единицу $-1$ . Например, 6 и −6 ассоциированы в $Z$ . В общем случае $~$ являетсяотношением эквивалентностина $R$ .

Ассоциированность также можно описать в терминах действия R $\times$ на $R$ посредством умножения: два элемента $R$ являются ассоциированными, если они находятся на одной и той $же$ $R$ $\times$ - орбите .

В целостной области множество ассоциированных элементов данного ненулевого элемента имеет ту же мощность , что и $R \times$ .

Отношение эквивалентности $~$ можно рассматривать как любое из полугрупповых отношений Грина, специализированное для мультипликативной полугруппы коммутативного кольца $R.$

Смотрите также

Примечания

^ В случае колец использование термина «обратимый элемент» подразумевает само собой разумеющееся умножение, поскольку все элементы кольца обратимы для сложения.
^ Обозначение $R \times$ , введенное Андре Вейлем , обычно используется в теории чисел , где группы единиц возникают часто. ^[3] Символ $\times$ является напоминанием о том, что групповая операция — умножение. Кроме того, верхний индекс × нечасто используется в других контекстах, тогда как верхний индекс $*$ часто обозначает дуал.
^ $x$ и $- x$ не обязательно различны. Например, в кольце целых чисел по модулю 6 имеем $3 = -3,$ хотя $1 \neq -1$ .

Цитаты

^ Даммит и Фут 2004
^ Ланг 2002
^ Вайль 1974
^ Уоткинс 2007, Теорема 11.1
^ Уоткинс 2007, Теорема 12.1
^ Якобсон 2009, §2.2 Упражнение 4
^ Кон 2003, §2.2 Упражнение 10

Источники

Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (пересмотренное издание алгебры, 2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6. Збл 1006.00001.
Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
Якобсон, Натан (2009). Основы алгебры 1 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47189-1.
Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
Уоткинс, Джон Дж. (2007), Темы теории коммутативных колец , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, МР 2330411
Вейль, Андре (1974). Основная теория чисел . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 144 (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-3-540-58655-5.