Целочисленная решетка

Группа решеток в евклидовом пространстве, точками которой являются целые n-кортежи

Приближения правильных пентаграмм с вершинами на квадратной решетке с указанными координатами

Рациональные аппроксимации иррациональных значений могут быть отображены в точках, лежащих близко к линиям, имеющим градиенты, соответствующие значениям

В математике n -мерная целочисленная решетка (или кубическая решетка ), обозначаемая ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ , представляет собой решетку в евклидовом пространстве ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ точками решетки которой являются n -кортежи целых чисел . Двумерная целочисленная решетка также называется квадратной решеткой , или решеткой-сеткой. ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ является простейшим примером корневой решетки . Целочисленная решетка является нечетной унимодулярной решеткой .

Группа автоморфизмов

Группа автоморфизмов (или группа конгруэнций ) целочисленной решетки состоит из всех перестановок и изменений знака координат и имеет порядок 2 ⁿ  n !. Как матричная группа она задается множеством всех n  ×  n знаковых матриц перестановок . Эта группа изоморфна полупрямому произведению

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{2})^{n}\rtimes S_{n}}$

где симметрическая группа S _n действует на ( Z ₂ ) ⁿ перестановкой (это классический пример сплетения ) .

Для квадратной решетки это группа квадрата , или диэдральная группа , порядка 8; для трехмерной кубической решетки мы получаем группу куба , или октаэдрическую группу , порядка 48.

Диофантова геометрия

При изучении диофантовой геометрии квадратная решетка точек с целыми координатами часто называется диофантовой плоскостью . В математических терминах диофантова плоскость — это декартово произведение кольца всех целых чисел . Изучение диофантовых фигур фокусируется на выборе узлов в диофантовой плоскости таким образом, что все попарные расстояния являются целыми числами . ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$

Грубая геометрия

В грубой геометрии целочисленная решетка грубо эквивалентна евклидову пространству .

Теорема Пика

я = 7 , б = 8 , А = я + ⁠б/2⁠ − 1 = 10

Теорема Пика , впервые описанная Георгом Александром Пиком в 1899 году, дает формулу для площади простого многоугольника , все вершины которого лежат на двумерной целочисленной решетке, в терминах числа целых точек внутри него и на его границе. ^[1]

Пусть будет числом целых точек внутри многоугольника, а будет числом целых точек на его границе (включая как вершины, так и точки вдоль сторон). Тогда площадь этого многоугольника равна: ^[2] В показанном примере есть внутренние и граничные точки, поэтому его площадь составляет квадратные единицы. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1.}$$ ${\displaystyle i=7}$ ${\displaystyle b=8}$ ${\displaystyle A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10}$

Смотрите также

• Регулярная сетка

Ссылки

1. Пик, Георг (1899). «Геометрические исследования Zahlenlehre». Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" в Праге . (Нойе Фольге). 19 : 311–319. ЖФМ  33.0216.01.CiteBank:47270
2. Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2018). «Три приложения формулы Эйлера: теорема Пика». Доказательства из THE BOOK (6-е изд.). Springer. стр. 93–94. doi :10.1007/978-3-662-57265-8. ISBN 978-3-662-57265-8.

Дальнейшее чтение

• Olds, CD ; Lax, Anneli ; Davidoff, Giuliana (2000). Геометрия чисел . Новая математическая библиотека. Том 41. Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-643-3.