Делитель (алгебраическая геометрия)

Обобщения подмногообразий коразмерности 1 алгебраических многообразий

В алгебраической геометрии дивизоры являются обобщением подмногообразий коразмерности -1 алгебраических многообразий . Широко используются два различных обобщения: дивизоры Картье и дивизоры Вейля (названные в честь Пьера Картье и Андре Вейля Дэвидом Мамфордом ). Оба выведены из понятия делимости в целых числах и полях алгебраических чисел .

Глобально каждое подмногообразие коразмерности 1 проективного пространства определяется исчезновением одного однородного многочлена ; напротив, подмногообразие коразмерности r не обязательно должно определяться только r уравнениями, когда r больше 1. (То есть, не каждое подмногообразие проективного пространства является полным пересечением .) Локально каждое подмногообразие коразмерности 1 гладкого многообразия может быть определено одним уравнением в окрестности каждой точки. Опять же, аналогичное утверждение неверно для подмногообразий более высокой коразмерности. В результате этого свойства большая часть алгебраической геометрии изучает произвольное многообразие, анализируя его подмногообразия коразмерности 1 и соответствующие линейные расслоения .

На сингулярных многообразиях это свойство также может не выполняться, и поэтому необходимо различать подмногообразия коразмерности 1 и многообразия, которые можно локально определить одним уравнением. Первые являются дивизорами Вейля, а вторые — дивизорами Картье.

Топологически дивизоры Вейля играют роль классов гомологии , тогда как дивизоры Картье представляют классы когомологии . На гладком многообразии (или, в более общем случае, регулярной схеме ) результат, аналогичный двойственности Пуанкаре, утверждает, что дивизоры Вейля и Картье одинаковы.

Название «дивизор» восходит к работам Дедекинда и Вебера , которые показали значимость дедекиндовых областей для изучения алгебраических кривых . ^[1] Группа делителей на кривой ( свободная абелева группа, порожденная всеми делителями) тесно связана с группой дробных идеалов для дедекиндовой области.

Алгебраический цикл — это обобщение дивизора более высокой коразмерности; по определению, дивизор Вейля — это цикл коразмерности 1.

Дивизоры на римановой поверхности

Риманова поверхность является одномерным комплексным многообразием , и поэтому ее подмногообразия коразмерности 1 имеют размерность 0. Группа дивизоров на компактной римановой поверхности X является свободной абелевой группой в точках X.

Эквивалентно, дивизор на компактной римановой поверхности X — это конечная линейная комбинация точек X с целыми коэффициентами. Степень дивизора на X — это сумма его коэффициентов.

Для любой ненулевой мероморфной функции f на X можно определить порядок стремления f к нулю в точке p в X , ord _p ( f ). Это целое число, отрицательное, если f имеет полюс в p . Делитель ненулевой мероморфной функции f на компактной римановой поверхности X определяется как

${\displaystyle (f):=\sum _{p\in X}\operatorname {ord} _{p}(f)p,}$

что является конечной суммой. Делители вида ( f ) также называются главными делителями . Поскольку ( fg ) = ( f ) + ( g ), множество главных делителей является подгруппой группы делителей. Два делителя, отличающиеся главным делителем, называются линейно эквивалентными .

На компактной римановой поверхности степень главного дивизора равна нулю; то есть число нулей мероморфной функции равно числу полюсов, подсчитанных с кратностью. В результате степень хорошо определена на линейных классах эквивалентности дивизоров.

Если задан дивизор D на компактной римановой поверхности X , важно изучить комплексное векторное пространство мероморфных функций на X с полюсами, не превышающими заданные D , называемое H ⁰ ( X , O ( D )) или пространством сечений линейного расслоения, связанного с D . Степень D многое говорит о размерности этого векторного пространства. Например, если D имеет отрицательную степень, то это векторное пространство равно нулю (потому что мероморфная функция не может иметь больше нулей, чем полюсов). Если D имеет положительную степень, то размерность H ⁰ ( X , O ( mD )) линейно растет по m для достаточно больших m . Теорема Римана–Роха является более точным утверждением в этом направлении. С другой стороны, точная размерность H ⁰ ( X , O ( D )) для дивизоров D низкой степени является тонкой и не полностью определяется степенью D . Отличительные черты компактной римановой поверхности отражаются в этих размерностях.

Одним из ключевых дивизоров на компактной римановой поверхности является канонический дивизор . Чтобы определить его, сначала определяется дивизор ненулевой мероморфной 1-формы по приведенным выше схемам. Поскольку пространство мероморфных 1-форм является одномерным векторным пространством над полем мероморфных функций, любые две ненулевые мероморфные 1-формы дают линейно эквивалентные дивизоры. Любой дивизор в этом классе линейной эквивалентности называется каноническим дивизором X , K _X . Род g дивизора X можно прочитать из канонического дивизора: а именно, K _X имеет степень 2 g − 2. Ключевая трихотомия среди компактных римановых поверхностей X заключается в том, имеет ли канонический дивизор отрицательную степень (то есть X имеет род ноль), нулевую степень (род один) или положительную степень (род не менее 2). Например, это определяет, имеет ли X метрику Кэлера с положительной кривизной , нулевой кривизной или отрицательной кривизной. Канонический дивизор имеет отрицательную степень тогда и только тогда, когда X изоморфен сфере Римана CP ¹ .

делители Вейля

Пусть X — целочисленная локально нётерова схема . Простой делитель или неприводимый делитель на X — это целочисленная замкнутая подсхема Z коразмерности 1 в X. Делитель Вейля на X — это формальная сумма по простым делителям Z схемы X ,

${\displaystyle \sum _{Z}n_{Z}Z,}$

где набор локально конечен. Если X квазикомпактно, локальная конечность эквивалентна конечности. Группа всех делителей Вейля обозначается Div( X ) . Делитель Вейля D эффективен, если все коэффициенты неотрицательны. Пишется D ≥ D′ , если разность D − D′ эффективна . ${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$ ${\displaystyle \{Z:n_{Z}\neq 0\}}$

Например, делитель на алгебраической кривой над полем является формальной суммой конечного числа замкнутых точек. Делитель на Spec Z является формальной суммой простых чисел с целыми коэффициентами и, следовательно, соответствует ненулевому дробному идеалу в Q . Подобная характеристика верна для делителей на , где K — числовое поле. ${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K},}$

Если Z ⊂ X — простой делитель, то локальное кольцо имеет размерность Крулля один. Если — ненулевой, то порядок исчезновения f вдоль Z , записанный как ord _Z ( f ) , равен длине Эта длина конечна, ^[2] и она аддитивна относительно умножения, то есть ord _Z ( fg ) = ord _Z ( f ) + ord _Z ( g ) . ^[3] Если k ( X ) — поле рациональных функций на X , то любой ненулевой f ∈ k ( X ) можно записать в виде частного g / h , где g и h находятся в , а порядок исчезновения f определяется как ord _Z ( g ) − ord _Z ( h ) . ^[4] При таком определении порядок исчезновения — это функция ord _Z  : k ( X ) ^× → Z . Если X нормально , то локальное кольцо является дискретным кольцом оценки , а функция ord _Z является соответствующей оценкой. Для ненулевой рациональной функции f на X главный делитель Вейля, связанный с f, определяется как делитель Вейля ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X,Z}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}/(f).}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,Z}}$

${\displaystyle \operatorname {div} f=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z.}$

Можно показать, что эта сумма локально конечна и, следовательно, она действительно определяет делитель Вейля. Главный делитель Вейля, связанный с f, также обозначается ( f ) . Если f — регулярная функция, то ее главный делитель Вейля эффективен, но в общем случае это неверно. Аддитивность порядка исчезающей функции подразумевает, что

${\displaystyle \operatorname {div} fg=\operatorname {div} f+\operatorname {div} g.}$

Следовательно, div является гомоморфизмом, и в частности его образ является подгруппой группы всех дивизоров Вейля.

Пусть X — нормальная интегральная нётерова схема. Каждый дивизор Вейля D определяет когерентный пучок на X. Конкретно его можно определить как подпучок пучка рациональных функций ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\{f\in k(X):f=0{\text{ or }}\operatorname {div} (f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}.}$

То есть, ненулевая рациональная функция f является сечением над U тогда и только тогда, когда для любого простого делителя Z, пересекающего U , ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)\geq -n_{Z}}$

где n _Z — коэффициент Z в D. Если D — главный, то есть D — делитель рациональной функции g , то существует изоморфизм

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\\f\mapsto fg\end{cases}}}$

поскольку является эффективным дивизором и, следовательно, является регулярным благодаря нормальности X . Обратно, если является изоморфным как -модуль, то D является главным. Отсюда следует, что D является локально главным тогда и только тогда, когда является обратимым; то есть является линейным расслоением. ${\displaystyle \operatorname {div} (fg)}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Если D — эффективный делитель, соответствующий подсхеме X (например, D может быть приведенным делителем или простым делителем), то идеальный пучок подсхемы D равен Это приводит к часто используемой короткой точной последовательности, ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-D).}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0.}$

Когомологии пучков этой последовательности показывают, что содержит информацию о том , являются ли регулярные функции на D ограничениями регулярных функций на X. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D))}$

Также есть включение пучков

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D).}$

Это дает канонический элемент , а именно, образ глобального сечения 1. Это называется каноническим сечением и может быть обозначено s _D . В то время как каноническое сечение является образом нигде не исчезающей рациональной функции, его образ в исчезает вдоль D , поскольку функции перехода исчезают вдоль D . Когда D является гладким дивизором Картье, коядро указанного выше включения может быть идентифицировано; см. #Дивизоры Картье ниже. ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Предположим, что X — нормальная целочисленная разделенная схема конечного типа над полем. Пусть D — дивизор Вейля. Тогда — рефлексивный пучок ранга один , и поскольку определяется как его подпучок, то является дробным идеальным пучком (см. ниже). Наоборот, каждый рефлексивный пучок ранга один соответствует дивизору Вейля: Пучок можно ограничить регулярным локусом, где он становится свободным и, таким образом, соответствует дивизору Картье (снова см. ниже), и поскольку сингулярный локус имеет коразмерность не менее двух, замыкание дивизора Картье является дивизором Вейля. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X},}$

Группа класса делителя

Группа классов дивизоров Вейля Cl( X ) является частным от деления Div( X ) на подгруппу всех главных дивизоров Вейля. Два дивизора называются линейно эквивалентными , если их разность является главной, поэтому группа классов дивизоров является группой дивизоров по модулю линейной эквивалентности. Для многообразия X размерности n над полем группа классов дивизоров является группой Чжоу ; а именно, Cl( X ) является группой Чжоу CH _{n −1} ( X ) ( n −1)-мерных циклов.

Пусть Z — замкнутое подмножество X. Если Z неприводимо коразмерности один, то Cl( X − Z ) изоморфно фактор-группе Cl( X ) по классу Z. Если Z имеет коразмерность не менее 2 в X , то ограничение Cl( X ) → Cl( X − Z ) является изоморфизмом. ^[6] (Эти факты являются частными случаями последовательности локализации для групп Чжоу.)

На нормальной целочисленной нётеровой схеме X два дивизора Вейля D , E линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда и изоморфны как -модули. Классы изоморфизма рефлексивных пучков на X образуют моноид с произведением, заданным как рефлексивная оболочка тензорного произведения. Затем определяет изоморфизм моноида из группы классов дивизоров Вейля X в моноид классов изоморфизма рефлексивных пучков ранга один на X . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle D\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

Примеры

• Пусть k — поле, а n — положительное целое число. Поскольку кольцо многочленов k [ x ₁ , ..., x _n ] является уникальной областью факторизации, группа классов дивизоров аффинного пространства A ⁿ над k равна нулю. ^[7] Поскольку проективное пространство P ⁿ над k за вычетом гиперплоскости H изоморфно A ⁿ , то отсюда следует, что группа классов дивизоров P ⁿ порождается классом H . Отсюда легко проверить, что Cl( P ⁿ ) на самом деле изоморфно целым числам Z , порожденным H . Конкретно, это означает, что каждое подмногообразие коразмерности 1 в P ⁿ определяется обращением в нуль одного однородного многочлена.

• Пусть X — алгебраическая кривая над полем k . Каждая замкнутая точка p в X имеет вид Spec E для некоторого конечного поля расширения E поля k , а степень p определяется как степень E над k . Расширение этого по линейности дает понятие степени для дивизора на X. Если X — проективная кривая над k , то дивизор ненулевой рациональной функции f на X имеет степень ноль. ^[8] В результате для проективной кривой X степень дает гомоморфизм deg: Cl( X ) → Z .

• Для проективной прямой P ¹ над полем k степень дает изоморфизм Cl( P ¹ ) ≅ Z . Для любой гладкой проективной кривой X с k - рациональной точкой гомоморфизм степени сюръективен, а ядро ​​изоморфно группе k -точек на якобиевом многообразии X , которое является абелевым многообразием размерности , равной роду X . Из этого следует , например, что группа классов дивизоров комплексной эллиптической кривой является несчетной абелевой группой.

• Обобщая предыдущий пример: для любого гладкого проективного многообразия X над полем k, такого что X имеет k -рациональную точку, группа классов дивизоров Cl( X ) является расширением конечно порождённой абелевой группы , группы Нерона–Севери , посредством группы k -точек связной групповой схемы ^[9]. Для k характеристики нуль является абелевым многообразием, многообразием Пикара многообразия X . ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/k}^{0}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/k}^{0}}$

• Для R — кольца целых чисел числового поля — группа классов делителей Cl( R ) := Cl(Spec R ) также называется группой классов идеалов R . Это конечная абелева группа. Понимание групп классов идеалов — центральная цель алгебраической теории чисел .

• Аффинный квадратичный конус xy = z ² .

  Пусть X будет квадратичным конусом размерности 2, определяемым уравнением xy = z ² в аффинном 3-пространстве над полем. Тогда прямая D в X, определяемая уравнением x = z = 0, не является главной на X вблизи начала координат. Обратите внимание, что D можно определить как множество одним уравнением на X , а именно x = 0; но функция x на X исчезает до порядка 2 вдоль D , и поэтому мы обнаруживаем только то, что 2 D является Картье (как определено ниже) на X . Фактически, группа классов дивизоров Cl( X ) изоморфна циклической группе Z /2, порожденной классом D . ^[10]

• Пусть X будет квадратичным конусом размерности 3, определяемым уравнением xy = zw в аффинном 4-пространстве над полем. Тогда плоскость D в X, определяемая уравнением x = z = 0, не может быть определена в X одним уравнением вблизи начала координат, даже как множество. Отсюда следует, что D не является Q-Картье на X ; то есть ни одно положительное кратное D не является Картье. Фактически, группа классов дивизоров Cl( X ) изоморфна целым числам Z , порожденным классом D . ^[11]

Канонический делитель

Пусть X — нормальное многообразие над совершенным полем . Гладкое множество U множества X — это открытое подмножество, дополнение которого имеет коразмерность не менее 2. Пусть j : U → X — отображение включения, тогда гомоморфизм ограничения:

${\displaystyle j^{*}:\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Cl} (U)=\operatorname {Pic} (U)}$

является изоморфизмом, поскольку X − U имеет коразмерность не менее 2 в X . Например, этот изоморфизм можно использовать для определения канонического дивизора K _X множества X : это дивизор Вейля (с точностью до линейной эквивалентности), соответствующий линейному расслоению дифференциальных форм высшей степени на U . Эквивалентно, пучок на X является пучком прямого образа, где n — размерность X . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(K_{X})}$ ${\displaystyle j_{*}\Omega _{U}^{n},}$

Пример : Пусть X = P ⁿ — проективное n -пространство с однородными координатами x ₀ , ..., x _n . Пусть U = { x ₀ ≠ 0}. Тогда U изоморфно аффинному n -пространству с координатами y _i = x _i / x ₀ . Пусть

${\displaystyle \omega ={dy_{1} \over y_{1}}\wedge \dots \wedge {dy_{n} \over y_{n}}.}$

Тогда ω является рациональной дифференциальной формой на U ; таким образом, это рациональное сечение , которое имеет простые полюса вдоль Z _i = { x _i = 0}, i = 1, ..., n . Переключение на другую аффинную карту меняет только знак ω, и поэтому мы видим, что ω также имеет простой полюс вдоль Z ₀ . Таким образом, делитель ω равен ${\displaystyle \Omega _{\mathbf {P} ^{n}}^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {div} (\omega )=-Z_{0}-\dots -Z_{n}}$

и его класс делителей равен

${\displaystyle K_{\mathbf {P} ^{n}}=[\operatorname {div} (\omega )]=-(n+1)[H]}$

где [ H ] = [ Z _i ], i = 0, ..., n . (См. также последовательность Эйлера .)

делители Картье

Пусть X — интегральная нётерова схема. Тогда X имеет пучок рациональных функций Все регулярные функции являются рациональными функциями, что приводит к короткой точной последовательности ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.}$

Делитель Картье на X — это глобальная секция Эквивалентное описание таково, что делитель Картье — это коллекция , где — открытая крышка — это секция и так далее вплоть до умножения на секцию ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$ ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle X,f_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }}$ ${\displaystyle U_{i},}$ ${\displaystyle f_{i}=f_{j}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$

Дивизоры Картье также имеют описание в теории пучков. Дробный идеальный пучок является под- -модулем Дробный идеальный пучок J обратим , если для каждого x в X существует открытая окрестность U точки x , на которой ограничение J на ​​U равно , где и произведение берется в Каждый дивизор Картье определяет обратимый дробный идеальный пучок, используя описание дивизора Картье как набора , и наоборот, обратимые дробные идеальные пучки определяют дивизоры Картье. Если дивизор Картье обозначается D , то соответствующий дробный идеальный пучок обозначается или L ( D ). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}\cdot f,}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{X}^{\times }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Согласно точной последовательности, приведенной выше, существует точная последовательность групп когомологий пучков :

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X).}$

Дивизор Картье называется главным, если он находится в образе гомоморфизма , то есть если он является делителем рациональной функции на X. Два дивизора Картье линейно эквивалентны, если их разность является главной. Каждое линейное расслоение L на целочисленной нётеровой схеме X является классом некоторого дивизора Картье. В результате точная последовательность выше отождествляет группу Пикара линейных расслоений на целочисленной нётеровой схеме X с группой дивизоров Картье по модулю линейной эквивалентности. Это справедливо в более общем случае для редуцированных нётеровых схем или для квазипроективных схем над нётеровым кольцом ^[12], но может не выполняться в общем случае (даже для собственных схем над C ), что снижает интерес к дивизорам Картье в полной общности. ^[13] ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }),}$

Предположим, что D — эффективный делитель Картье. Тогда существует короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)\to {\mathcal {O}}_{D}(D)\to 0.}$

Эта последовательность выводится из короткой точной последовательности, связывающей структурные пучки X и D и идеальный пучок D . Поскольку D является дивизором Картье, является локально свободным, и, следовательно, тензорирование этой последовательности на дает другую короткую точную последовательность, указанную выше. Когда D гладкий, является нормальным расслоением D в X . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle O_{D}(D)}$

Сравнение делителей Вейля и делителей Картье

Дивизор Вейля D называется дивизором Картье тогда и только тогда, когда пучок обратим. Когда это происходит, (с его вложением в M _X ) является линейным расслоением, связанным с дивизором Картье. Точнее, если обратимо, то существует открытое покрытие { U _i } такое, что ограничивается до тривиального расслоения на каждом открытом множестве. Для каждого U _i выберите изоморфизм Образ при этом отображении является сечением на U _i . Поскольку определено как подпучок пучка рациональных функций, образ 1 может быть отождествлен с некоторой рациональной функцией f _i . Тогда набор является дивизором Картье. Это хорошо определено, потому что единственными задействованными выборами были покрытие и изоморфизм, ни один из которых не меняет дивизор Картье. Этот дивизор Картье может быть использован для получения пучка, который для отличия мы будем обозначать L ( D ). Существует изоморфизм с L ( D ), определяемый работой над открытым покрытием { U _i }. Ключевым фактом для проверки здесь является то, что функции перехода и L ( D ) совместимы, и это равносильно тому, что все эти функции имеют вид ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}\to {\mathcal {O}}(D)|_{U_{i}}.}$ ${\displaystyle 1\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})=\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle f_{i}/f_{j}.}$

В противоположном направлении дивизор Картье на целочисленной нётеровой схеме X естественным образом определяет дивизор Вейля на X , применяясь к функциям f _i на открытых множествах U _i . ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ ${\displaystyle \operatorname {div} }$

Если X является нормальным, то делитель Картье определяется соответствующим делителем Вейля, а делитель Вейля является делителем Картье тогда и только тогда, когда он является локально главным.

Нётерова схема X называется факториальной, если все локальные кольца X являются уникальными областями факторизации . ^[5] (Некоторые авторы говорят «локально факториальная».) В частности, каждая регулярная схема является факториальной. ^[14] На факториальной схеме X каждый дивизор Вейля D является локально главным, и поэтому всегда является линейным расслоением. ^[7] В общем случае, однако, дивизор Вейля на нормальной схеме не обязательно должен быть локально главным; см. примеры квадратичных конусов выше. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Эффективные делители Картье

Эффективные делители Картье — это те, которые соответствуют идеальным пучкам. Фактически, теория эффективных делителей Картье может быть разработана без какой-либо ссылки на пучки рациональных функций или дробные идеальные пучки.

Пусть X — схема. Эффективный дивизор Картье на X — это идеальный пучок I , который обратим и такой, что для каждой точки x в X стебель I _x является главным. Это эквивалентно требованию, чтобы вокруг каждого x существовало открытое аффинное подмножество U = Spec A такое, что U ∩ D = Spec A / ( f ) , где f — ненулевой делитель в A . Сумма двух эффективных дивизоров Картье соответствует умножению идеальных пучков.

Существует хорошая теория семейств эффективных дивизоров Картье. Пусть φ : X → S — морфизм. Относительный эффективный дивизор Картье для X над S — это эффективный дивизор Картье D на X , который является плоским над S. Из-за предположения о плоскостности для каждого существует обратный путь D к , и этот обратный путь является эффективным дивизором Картье. В частности, это верно для слоев φ. ${\displaystyle S'\to S,}$ ${\displaystyle X\times _{S}S',}$

Лемма Кодаиры

В качестве основного результата (большого) делителя Картье существует результат, называемый леммой Кодаиры: ^{[15] [16]}

Пусть X — неприводимое проективное многообразие , D — большой дивизор Картье на X , а H — произвольный эффективный дивизор Картье на X. Тогда

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD-H))\neq 0}$.

для всех достаточно больших . ${\displaystyle m\in N(X,D)}$

Лемма Кодаиры дает некоторые результаты о большом делителе.

Функториальность

Пусть φ : X → Y — морфизм целочисленных локально нётеровых схем. Часто, но не всегда, возможно использовать φ для переноса дивизора D из одной схемы в другую. Возможность этого зависит от того, является ли дивизор дивизором Вейля или Картье, должен ли дивизор быть перенесен из X в Y или наоборот, и какие дополнительные свойства может иметь φ.

Если Z — простой дивизор Вейля на X , то — замкнутая неприводимая подсхема Y . В зависимости от φ она может быть или не быть простым дивизором Вейля. Например, если φ — раздутие точки на плоскости, а Z — исключительный дивизор, то ее образ не является дивизором Вейля. Следовательно, φ _* Z определяется как , если эта подсхема является простым дивизором, и определяется как делитель нуля в противном случае. Расширение этого по линейности, предполагая, что X квазикомпактно, определит гомоморфизм Div( X ) → Div( Y ), называемый pushforward . (Если X не квазикомпактно, то pushforward может не быть локально конечной суммой.) Это особый случай pushforward на группах Чжоу. ${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi (Z)}}}$

Если Z — дивизор Картье, то при умеренных гипотезах относительно φ существует обратный путь . С точки зрения теории пучков, когда есть отображение обратного пути , то этот обратный путь может быть использован для определения обратного пути дивизоров Картье. В терминах локальных сечений обратный путь определяется как . Обратный путь всегда определен, если φ является доминирующим, но его нельзя определить в общем случае. Например, если X = Z и φ — включение Z в Y , то φ ^* Z не определено, поскольку соответствующие локальные сечения будут везде равны нулю. (Однако обратный путь соответствующего линейного расслоения определен.) ${\displaystyle \varphi ^{*}Z}$ ${\displaystyle \varphi ^{-1}{\mathcal {M}}_{Y}\to {\mathcal {M}}_{X}}$ ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ ${\displaystyle \{(\varphi ^{-1}(U_{i}),f_{i}\circ \varphi )\}}$

Если φ плоский, то определен пулбэк дивизоров Вейля. В этом случае пулбэк Z равен φ ^* Z = φ ⁻¹ ( Z ) . Плоскость φ гарантирует, что прообраз Z продолжает иметь коразмерность один. Это может не сработать для морфизмов, которые не являются плоскими, например, для небольшого сжатия.

Первый класс Черна

Для целочисленной нётеровой схемы X естественный гомоморфизм из группы дивизоров Картье в группу дивизоров Вейля даёт гомоморфизм

${\displaystyle c_{1}:\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Cl} (X),}$

известный как первый класс Черна . ^{[17] [18]} Первый класс Черна является инъективным, если X является нормальным, и является изоморфизмом, если X является факториальным (как определено выше). В частности, дивизоры Картье могут быть отождествлены с дивизорами Вейля на любой регулярной схеме, и поэтому первый класс Черна является изоморфизмом для X регулярного.

Явно первый класс Черна может быть определен следующим образом. Для линейного расслоения L на целочисленной нётеровой схеме X пусть s будет ненулевым рациональным сечением L (то есть сечением на некотором непустом открытом подмножестве L ), которое существует в силу локальной тривиальности L . Определим дивизор Вейля ( s ) на X по аналогии с дивизором рациональной функции. Тогда первый класс Черна L может быть определен как дивизор ( s ). Изменение рационального сечения s изменяет этот делитель по линейной эквивалентности, поскольку ( fs ) = ( f ) + ( s ) для ненулевой рациональной функции f и ненулевого рационального сечения s из L . Таким образом, элемент c ₁ ( L ) в Cl( X ) корректно определен.

Для комплексного многообразия X размерности n , не обязательно гладкого или собственного над C , существует естественный гомоморфизм, отображение циклов , из группы классов дивизоров в гомологии Бореля–Мура :

${\displaystyle \operatorname {Cl} (X)\to H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} ).}$

Последняя группа определяется с помощью пространства X ( C ) комплексных точек X с его классической (евклидовой) топологией. Аналогично, группа Пикара отображается в интегральные когомологии с помощью первого класса Черна в топологическом смысле:

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mathbf {Z} ).}$

Два гомоморфизма связаны коммутативной диаграммой , где правое вертикальное отображение является произведением с фундаментальным классом X в гомологиях Бореля–Мура:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Pic} (X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{array}}}$

Для X, гладкого над C , оба вертикальных отображения являются изоморфизмами.

Глобальные сечения линейных пучков и линейных систем

Дивизор Картье эффективен , если его локальные определяющие функции f _i являются регулярными (а не просто рациональными функциями). В этом случае дивизор Картье можно отождествить с замкнутой подсхемой коразмерности 1 в X , подсхемой, определяемой локально как f _i = 0. Дивизор Картье D линейно эквивалентен эффективному дивизору тогда и только тогда, когда его ассоциированное линейное расслоение имеет ненулевое глобальное сечение s ; тогда D линейно эквивалентно нулевому локусу s . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Пусть X — проективное многообразие над полем k . Тогда умножение глобального сечения на ненулевой скаляр в k не меняет его нулевого локуса. В результате проективное пространство прямых в k -векторном пространстве глобальных сечений H ⁰ ( X , O ( D )) можно отождествить с множеством эффективных дивизоров, линейно эквивалентных D , называемым полной линейной системой D . Проективное линейное подпространство этого проективного пространства называется линейной системой дивизоров . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Одной из причин изучения пространства глобальных сечений линейного расслоения является понимание возможных отображений из данного многообразия в проективное пространство. Это существенно для классификации алгебраических многообразий. Явно, морфизм из многообразия X в проективное пространство P ⁿ над полем k определяет линейное расслоение L на X , обратный образ стандартного линейного расслоения на P ⁿ . Более того, L поставляется с n +1 секциями, базисное множество которых (пересечение их нулевых множеств) пусто. Наоборот, любое линейное расслоение L с n +1 глобальными секциями, общее базисное множество которых пусто, определяет морфизм X → P ⁿ . ^[19] Эти наблюдения приводят к нескольким понятиям положительности для дивизоров Картье (или линейных расслоений), таким как обильные дивизоры и nef-дивизоры . ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Для дивизора D на проективном многообразии X над полем k векторное пространство H ⁰ ( X , O ( D )) имеет конечную размерность. Теорема Римана–Роха является фундаментальным инструментом для вычисления размерности этого векторного пространства, когда X является проективной кривой. Последовательные обобщения, теорема Хирцебруха–Римана–Роха и теорема Гротендика–Римана–Роха , дают некоторую информацию о размерности H ⁰ ( X , O ( D )) для проективного многообразия X любой размерности над полем.

Поскольку канонический дивизор внутренне связан с многообразием, ключевую роль в классификации многообразий играют отображения в проективное пространство, заданные K _X и его положительными кратными. Размерность Кодаиры X является ключевым бирациональным инвариантом, измеряющим рост векторных пространств H ⁰ ( X , mK _X ) (то есть H ⁰ ( X , O ( mK _X ))) по мере увеличения m . Размерность Кодаиры делит все n -мерные многообразия на n +2 класса, которые (очень грубо) идут от положительной кривизны до отрицательной кривизны.

Q-делители

Пусть X — нормальное многообразие. Q -дивизор (Вейля) — это конечная формальная линейная комбинация неприводимых подмногообразий коразмерности 1 многообразия X с рациональными коэффициентами. ( R -дивизор определяется аналогично.) Q -дивизор эффективен , если коэффициенты неотрицательны. Q -дивизор D является Q-Картье, если mD является дивизором Картье для некоторого положительного целого числа m . Если X гладко, то каждый Q -дивизор является Q -Картье.

Если

${\displaystyle D=\sum _{j}a_{j}Z_{j}}$

является делителем Q , то его округление вниз является делителем

${\displaystyle \lfloor D\rfloor =\sum \lfloor a_{j}\rfloor Z_{j},}$

где — наибольшее целое число, меньшее или равное a . Пучок тогда определяется как ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\lfloor D\rfloor ).}$

Теорема Гротендика–Лефшеца о гиперплоскости

Теорема Лефшеца о гиперплоскости подразумевает, что для гладкого комплексного проективного многообразия X размерности не менее 4 и гладкого обильного дивизора Y в X ограничение Pic( X ) → Pic( Y ) является изоморфизмом. Например, если Y — гладкое многообразие полного пересечения размерности не менее 3 в комплексном проективном пространстве, то группа Пикара Y изоморфна Z , порожденной ограничением линейного расслоения O (1) на проективное пространство.

Гротендик обобщил теорему Лефшеца в нескольких направлениях, включая произвольные базовые поля, сингулярные многообразия и результаты о локальных кольцах, а не о проективных многообразиях. В частности, если R — локальное кольцо полного пересечения , которое факторно в коразмерности не более 3 (например, если нерегулярное множество R имеет коразмерность не менее 4), то R — уникальная факторизационная область (и, следовательно, каждый дивизор Вейля на Spec( R ) — это Картье). ^[21] Ограниченная здесь размерность является оптимальной, как показано на примере 3-мерного квадратичного конуса выше.

Примечания

1. Дьедонне (1985), раздел VI.6.
2. Проект Stacks, тег 00PF.
3. Проект Stacks, тег 02MC.
4. Проект Stacks, Тег 02MD.
5. Коллар (2013), Обозначение 1.2.
6. Хартсхорн (1977), Предложение II.6.5.
7. Hartshorne (1977), Предложение II.6.2.
8. Проект Stacks, тег 02RS.
9. Клейман (2005), Теоремы 2.5 и 5.4, Замечание 6.19.
10. Хартшорн (1977), Пример II.6.5.2.
11. Хартшорн (1977), Упражнение II.6.5.
12. Гротендик, EGA IV, часть 4, предложение 21.3.4, следствие 21.3.5.
13. Лазарсфельд (2004), Пример 1.1.6.
14. Проект Stacks, Тег 0AFW.
15. "Глава 2. Предварительные сведения". Основы минимальной модельной программы . Мемуары Математического общества Японии. 2017. С. 16–47. doi :10.2969/msjmemoirs/03501C020. ISBN 978-4-86497-045-7.
16. (Лазарсфельд 2004, стр. 141, Предложение 2.2.6.)
17. Для многообразия X над полем классы Черна любого векторного расслоения на X действуют посредством произведения кэпов на группы Чжоу X , и гомоморфизм здесь можно описать как L ↦ c ₁ ( L ) ∩ [ X ].
18. Эйзенбуд и Харрис 2016, § 1.4.
19. Хартшорн (1977), Теорема II.7.1.
20. (Лазарсфельд 2004, Глава 1)
21. Гротендик, SGA 2, Corollaire XI.3.14.

Ссылки

• Дьедонне, Жан (1985), История алгебраической геометрии , Математическая серия Уодсворта, перевод Джудит Д. Салли , Белмонт, Калифорния: Международная группа Уодсворта, ISBN 0-534-03723-2, МР  0780183
• Эйзенбуд, Дэвид; Харрис, Джо (2016), 3264 и все такое: Второй курс алгебраической геометрии , CUP, ISBN 978-1107602724
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, Quatrième partie». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. дои : 10.1007/bf02732123. МР  0238860.
• Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2005) [1968], Ласло, Ив (редактор), Cohomologie locale des faisceaux cohérents et theorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2) , Documents Mathématiques, vol. 4, Париж: Société Mathématique de France , arXiv : math/0511279 , Bibcode : 2005math.....11279G, ISBN 978-2-85629-169-6, г-н  2171939
• Раздел II.6 книги Хартшорна, Робина (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics, т. 52, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-3849-0, ISBN 0-387-90244-9, МР  0463157
• Клейман, Стивен (2005), «Схема Пикара», Fundamental Algebraic Geometry , Math. Surveys Monogr., т. 123, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 235–321, arXiv : math/0504020 , Bibcode : 2005math......4020K, MR  2223410
• Коллар, Янош (2013), Особенности программы минимальной модели , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139547895, ISBN 978-1-107-03534-8, МР  3057950
• Лазарсфельд, Роберт (2004), Позитивность в алгебраической геометрии , т. 1, Берлин: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 3-540-22533-1, МР  2095471

Внешние ссылки

• Авторы проекта «Стеки», проект «Стеки»