Длина модуля

В алгебре целое число, связанное с модулем

В алгебре длина модуля — это обобщение размерности векторного пространства , которое измеряет его размер. ^{[1] стр. 153} Определяется как длина самой длинной цепочки подмодулей .

Модули конечной длины являются конечно порожденными модулями , но, в отличие от векторных пространств, многие конечно порожденные модули имеют бесконечную длину. Конечно порожденные модули конечной длины называются также артиновыми модулями и лежат в основе теории артиновых колец .

Для векторных пространств длина равна размерности. Это не относится к коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , где конечная длина может возникнуть только тогда, когда размерность равна нулю.

Степень алгебраического многообразия — это длина кольца, ассоциированного с алгебраическим множеством нулевой размерности, возникающим в результате пересечения многообразия с гиперплоскостями общего положения . В алгебраической геометрии кратность пересечения обычно определяется как длина определенного модуля.

Определение

Длина модуля

Пусть – модуль (левый или правый) над некоторым кольцом . Дана цепочка подмодулей вида ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n},}$

говорят, что это длина цепи. ^[1] Длина — это наибольшая длина любой из его цепей. Если такой наибольшей длины не существует, мы говорим, что имеет бесконечную длину . Очевидно, что если длина цепочки равна длине модуля, то ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}=0}$ ${\displaystyle M_{n}=M.}$

Длина кольца

Говорят, что кольцо имеет конечную длину как кольцо, если оно имеет конечную длину как левый -модуль. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Характеристики

Конечная длина и конечные модули

Если -модуль имеет конечную длину, то он конечно порожден . ^[2] Если R — поле, то обратное также верно. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

Связь с артиновыми и нётеровыми модулями

-модуль имеет конечную длину тогда и только тогда, когда он является одновременно нетеровым и артиновым модулем ^[1] (см. теорему Хопкинса ). Поскольку все артиновы кольца нётеровы, это означает, что кольцо имеет конечную длину тогда и только тогда, когда оно артиново. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

Поведение по отношению к коротким точным последовательностям

Предполагать

$${\displaystyle 0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0}$$

короткая точная последовательностьLN ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\text{length}}_{R}(M)={\text{length}}_{R}(L)+{\text{length}}_{R}(N)}$$

• Прямая сумма двух модулей конечной длины имеет конечную длину
• Подмодуль модуля конечной длины имеет конечную длину, и его длина меньше или равна его родительскому модулю.

Теорема Джордана – Гёльдера

Композиционная серия модуля M представляет собой цепочку вида

${\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M}$

такой, что

${\displaystyle N_{i+1}/N_{i}{\text{ is simple for }}i=0,\dots ,n-1}$

Модуль M имеет конечную длину тогда и только тогда, когда он имеет (конечную) композиционную серию, и длина каждой такой композиционной серии равна длине M .

Примеры

Конечномерные векторные пространства

Любое конечномерное векторное пространство над полем имеет конечную длину. Учитывая базис, существует цепочка ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

$${\displaystyle 0\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1})\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},v_{2})\subset \cdots \subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},\ldots ,v_{n})=V}$$

${\displaystyle n}$

$${\displaystyle V_{0}\subset \cdots \subset V_{m}}$$

${\displaystyle 1}$

Артиновы модули

Над базовым кольцом артиновы модули образуют класс примеров конечных модулей. Фактически, эти примеры служат основным инструментом для определения порядка исчезновения в теории пересечений . ^[3] ${\displaystyle R}$

Нулевой модуль

Нулевой модуль — единственный, имеющий длину 0.

Простые модули

Модули длиной 1 — это именно простые модули .

Артиновы модули над Z

Длина циклической группы (рассматриваемой как модуль над целыми числами Z ) равна количеству простых множителей числа , при этом несколько простых множителей подсчитываются несколько раз. Это следует из того, что подмодули находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными делителями , причем это соответствие вытекает из того, что является кольцом главных идеалов . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Использование в теории множественности

Для нужд теории пересечений Жан-Пьер Серр ввел общее понятие кратности точки , как длины артинова локального кольца, связанного с этой точкой.

Первым применением было полное определение кратности пересечений и , в частности, формулировка теоремы Безу , утверждающей, что сумма кратностей точек пересечения n алгебраических гиперповерхностей в n -мерном проективном пространстве либо бесконечна, либо равна в точности произведение степеней гиперповерхностей.

Это определение кратности является довольно общим и содержит в качестве частных случаев большинство предыдущих понятий алгебраической кратности.

Порядок исчезновения нулей и полюсов

Частным случаем этого общего определения кратности является порядок исчезновения ненулевой алгебраической функции на алгебраическом многообразии. Для алгебраического многообразия и подмногообразия коразмерности 1 ^[3] порядок исчезновения многочлена определяется как [ ^4] ${\displaystyle f\in R(X)^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f\in R(X)}$

$${\displaystyle \operatorname {ord} _{V}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{V,X}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{V,X}}{(f)}}\right)}$$

^{[3] стр. 426-227}стеблем^[5]22аффинное многообразие ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V(f)}$

$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}\cong R(X)_{(f)}}$$

рациональные функции^[3] ${\displaystyle F=f/g}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {ord} _{V}(F):=\operatorname {ord} _{V}(f)-\operatorname {ord} _{V}(g)}$$

комплексном анализе

Пример проективного многообразия

Например, рассмотрим проективную поверхность, определенную полиномом , тогда порядок исчезновения рациональной функции ${\displaystyle Z(h)\subset \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle h\in k[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}$

$${\displaystyle F={\frac {f}{g}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(F)=\operatorname {ord} _{Z(h)}(f)-\operatorname {ord} _{Z(h)}(g)}$$

$${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(f)}}\right)}$$

${\displaystyle h=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{2}^{3}}$ ${\displaystyle f=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle g=h^{2}(x_{0}+x_{1}-x_{3})}$

$${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(x^{2}+y^{2})}}\right)=0}$$

единицейкольца ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}$ ${\displaystyle x_{0}+x_{1}-x_{3}}$

$${\displaystyle {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}}$$

${\displaystyle 2}$

$${\displaystyle (0)\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h)}}\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}}$$

Ноль и полюса аналитической функции

Порядок исчезновения является обобщением порядка нулей и полюсов мероморфных функций в комплексном анализе . Например, функция

$${\displaystyle {\frac {(z-1)^{3}(z-2)}{(z-1)(z-4i)}}}$$

${\displaystyle 1,2\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4i\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R(X)=\mathbb {C} [z]}$ ${\displaystyle V=V(z-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [z]_{(z-1)}}$

$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-4i)(z-1)^{2})}}}$$

${\displaystyle z-4i}$

$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}$$

${\displaystyle 2}$

$${\displaystyle (0)\subset {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1))}}\subset {\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}}$$

^[6]теорему о факторизации Вейерштрасса,

$${\displaystyle F={\frac {f}{g}}}$$

Смотрите также

• Ряд Гильберта – Пуанкаре
• делитель Вейля
• Кольцо Чоу
• Теория пересечений
• Теорема факторизации Вейерштрасса
• Гипотеза множественности Серра
• Схема Гильберта – может использоваться для изучения модулей на схеме фиксированной длины.
• Теорема Крулля – Шмидта

Рекомендации

1. «Термин коммутативной алгебры». www.centerofmathematics.com . стр. 153–158. Архивировано из оригинала 02 марта 2013 г. Проверено 22 мая 2020 г.Альтернативный URL
2. «Лемма 10.51.2 (02LZ) — Проект Stacks». stacks.math.columbia.edu . Проверено 22 мая 2020 г.
3. Фултон, Уильям, 1939- (1998). Теория пересечений (2-е изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 8–10. ISBN 3-540-62046-Х. ОСЛК  38048404.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
4. «Раздел 31.26 (0BE0): Делители Вейля — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 22 мая 2020 г.
5. Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия. Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-1-4419-2807-8. S2CID  197660097.
6. «Раздел 10.120 (02 МБ): Порядки исчезновения — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 22 мая 2020 г.

Внешние ссылки

• Стивен Х. Вайнтрауб, Теория представлений конечных групп AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0 , ISBN 978-0-8218-3222-6  
• Аллен Альтман, Стивен Клейман, Термин коммутативной алгебры .
• Проект Стеки. Длина