Основная пара периодов

Способ определения решетки в комплексной плоскости

В математике фундаментальная пара периодов — это упорядоченная пара комплексных чисел , которая определяет решетку в комплексной плоскости . Этот тип решетки является базовым объектом, с помощью которого определяются эллиптические функции и модулярные формы .

Фундаментальный параллелограмм, определяемый парой векторов в комплексной плоскости.

Определение

Фундаментальная пара периодов — это пара комплексных чисел, отношение которых не является действительным. Если рассматривать их как векторы в , то они линейно независимы . Решетка, порожденная и , является ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \omega _{2}/\omega _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \Lambda =\left\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

Эту решетку иногда также обозначают как , чтобы было ясно, что она зависит от и Иногда ее также обозначают как или или просто как Две образующие и называются базисом решетки . Параллелограмм с вершинами называется фундаментальным параллелограммом . ${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}.}$ ${\displaystyle \Omega {\vphantom {(}}}$ ${\displaystyle \Omega (\omega _{1},\omega _{2}),}$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2}).}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle (0,\omega _{1},\omega _{1}+\omega _{2},\omega _{2})}$

Хотя фундаментальная пара порождает решетку, решетка не имеет какой-либо уникальной фундаментальной пары; на самом деле, одной и той же решетке соответствует бесконечное число фундаментальных пар.

Алгебраические свойства

Ниже представлен ряд объектов недвижимости, которые можно увидеть.

Эквивалентность

Решетка, охватывающая периоды ω ₁ и ω ₂ , показывающая эквивалентную пару периодов α ₁ и α ₂ .

Две пары комплексных чисел называются эквивалентными , если они порождают одну и ту же решетку: то есть, если ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2})}$ ${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\Lambda (\alpha _{1},\alpha _{2}).}$

Нет внутренних точек

Фундаментальный параллелограмм не содержит никаких дополнительных точек решетки внутри или на границе. Наоборот, любая пара точек решетки с этим свойством составляет фундаментальную пару, и, более того, они порождают ту же самую решетку.

Модульная симметрия

Две пары и эквивалентны тогда и только тогда, когда существует матрица 2 × 2 с целыми элементами и и определителем , такая что ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2})}$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle ad-bc=\pm 1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}},}$

то есть, так что

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}=a\omega _{1}+b\omega _{2},\\[5mu]\alpha _{2}=c\omega _{1}+d\omega _{2}.\end{aligned}}}$

Эта матрица принадлежит к модулярной группе. Эту эквивалентность решеток можно рассматривать как лежащую в основе многих свойств эллиптических функций (особенно эллиптической функции Вейерштрасса ) и модулярных форм. ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} ).}$

Топологические свойства

Абелева группа отображает комплексную плоскость в фундаментальный параллелограмм. То есть, каждая точка может быть записана как для целых чисел с точкой в ​​фундаментальном параллелограмме. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z=p+m\omega _{1}+n\omega _{2}}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle p}$

Поскольку это отображение определяет противоположные стороны параллелограмма как одинаковые, фундаментальный параллелограмм имеет топологию тора . Эквивалентно , можно сказать, что фактор-многообразие является тором. ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Фундаментальная область

Серый цвет отображает каноническую фундаментальную область.

Определим как отношение полупериода . Тогда базис решетки всегда можно выбрать так, чтобы он лежал в специальной области, называемой фундаментальной областью . С другой стороны, всегда существует элемент проективной специальной линейной группы , который отображает базис решетки в другой базис так, чтобы он лежал в фундаментальной области. ${\displaystyle \tau =\omega _{2}/\omega _{1}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \tau }$

Фундаментальная область задается множеством , которое состоит из множества и части границы : ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}.}$

где - верхняя полуплоскость . ${\displaystyle H}$

Затем фундаментальная область строится путем сложения границы слева и половины дуги снизу: ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D=U\cup \left\{z\in H:\left|z\right|\geq 1,\,\operatorname {Re} (z)=-{\tfrac {1}{2}}\right\}\cup \left\{z\in H:\left|z\right|=1,\,\operatorname {Re} (z)\leq 0\right\}.}$

Имеются три случая:

• Если и , то имеется ровно два основания решетки с одинаковым в фундаментальной области: и ${\displaystyle \tau \neq i}$ ${\textstyle \tau \neq e^{i\pi /3}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (-\omega _{1},-\omega _{2}).}$
• Если , то четыре решетчатых основания имеют одинаковое : два указанных выше , и , ${\displaystyle \tau =i}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (-\omega _{1},-\omega _{2})}$ ${\displaystyle (i\omega _{1},i\omega _{2})}$ ${\displaystyle (-i\omega _{1},-i\omega _{2}).}$
• Если , то имеется шесть решетчатых базисов с одинаковыми : , , и их отрицаниями. ${\textstyle \tau =e^{i\pi /3}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (\tau \omega _{1},\tau \omega _{2})}$ ${\displaystyle (\tau ^{2}\omega _{1},\tau ^{2}\omega _{2})}$

В замыкании фундаментальной области: и ${\displaystyle \tau =i}$ ${\textstyle \tau =e^{i\pi /3}.}$

Смотрите также

• Существует ряд альтернативных обозначений для решетки и фундаментальной пары, которые часто используются вместо нее. См., например, статьи о номе , эллиптическом модуле , четверти периода и соотношении полупериода .
• Эллиптическая кривая
• Модульная форма
• Серия Эйзенштейна

Ссылки

• Том М. Апостол , Модулярные функции и ряды Дирихле в теории чисел (1990), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN  0-387-97127-0 (См. главы 1 и 2.)
• Юрген Йост, Компактные римановы поверхности (2002), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 3-540-43299-X (См. главу 2.)