Квартальный период

Специальная функция в теории эллиптических функций

В математике четверти периодов K ( m ) и i K  ′( m ) являются специальными функциями , которые появляются в теории эллиптических функций .

Четверть периодов K и i K  ′ определяются как

${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

и

${\displaystyle {\rm {i}}K'(m)={\rm {i}}K(1-m).\,}$

Когда m — действительное число, 0 < m < 1, то и K , и K  ′ являются действительными числами. По соглашению K называется реальной четвертью периода , а i K  ′ называется мнимой четвертью периода . Любое из чисел m , K , K  ′ или K  ′/ K однозначно определяет остальные.

Эти функции появляются в теории эллиптических функций Якоби ; они называются четвертными периодами , поскольку эллиптические функции и являются периодическими функциями с периодами и Однако функция также является периодической с меньшим периодом (по абсолютной величине), чем , а именно . ${\displaystyle \operatorname {sn} u}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} u}$ ${\displaystyle 4K}$ ${\displaystyle 4{\rm {i}}K'.}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle 4\mathrm {i} K'}$ ${\displaystyle 2\mathrm {i} K'}$

Обозначение

Четверть периода по сути является эллиптическим интегралом первого рода, путем замены . В этом случае вместо пишут , понимание разницы между ними зависит от того, используется ли или . Это различие в обозначениях породило терминологию, которая его сопровождает: ${\displaystyle k^{2}=m}$ ${\displaystyle K(k)\,}$ ${\displaystyle K(m)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$

• ${\displaystyle m}$называется параметром
• ${\displaystyle m_{1}=1-m}$называется дополнительным параметром
• ${\displaystyle k}$называется эллиптическим модулем
• ${\displaystyle k'}$называется дополнительным эллиптическим модулем , где ${\displaystyle {k'}^{2}=m_{1}}$
• ${\displaystyle \alpha }$модульный угол , где ${\displaystyle k=\sin \alpha ,}$
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }$дополнительный модульный угол . Обратите внимание, что

${\displaystyle m_{1}=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos ^{2}\alpha .}$

Эллиптический модуль можно выразить через четверти периода как

${\displaystyle k=\operatorname {ns} (K+{\rm {i}}K')}$

и

${\displaystyle k'=\operatorname {dn} K}$

где и — эллиптические функции Якоби . ${\displaystyle \operatorname {ns} }$ ${\displaystyle \operatorname {dn} }$

Ном дается​ ${\displaystyle q\,}$

${\displaystyle q=e^{-{\frac {\pi K'}{K}}}.}$

Дополнительный ном задается как

${\displaystyle q_{1}=e^{-{\frac {\pi K}{K'}}}.}$

Действительный квартальный период можно выразить в виде ряда Ламберта, включающего ном:

${\displaystyle K={\frac {\pi }{2}}+2\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}.}$

Дополнительные разложения и соотношения можно найти на странице эллиптических интегралов .

Ссылки

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стиган (1964), Справочник по математическим функциям , Dover Publications, Нью-Йорк. ISBN  0-486-61272-4 . См. главы 16 и 17.