Модульная лямбда-функция

Симметричная голоморфная функция

Модульная лямбда-функция в комплексной плоскости.

В математике модулярная лямбда- функция λ(τ) ^{[примечание 1]} является высокосимметричной голоморфной функцией на комплексной верхней полуплоскости . Она инвариантна относительно дробно-линейного действия группы конгруэнции Γ(2) и порождает функциональное поле соответствующего фактора, т. е. является гауптмодулем для модулярной кривой X (2). Над любой точкой τ ее значение можно описать как перекрестное отношение точек ветвления разветвленного двойного накрытия проективной прямой эллиптической кривой , где отображение определяется как фактор по [−1]-инволюции. ${\displaystyle \mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle }$

Q-расширение, где — ном , задается формулой: ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

${\displaystyle \lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots }$. OEIS : A115977

Симметризируя лямбда-функцию относительно канонического действия симметрической группы _S3 на X ( 2), а затем соответствующим образом нормируя, получаем функцию на верхней полуплоскости, которая инвариантна относительно полной модулярной группы , и фактически она является модулярным j-инвариантом Клейна . ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

График x→ λ(ix)

Модульные свойства

Функция инвариантна относительно группы, порожденной ^[1] ${\displaystyle \lambda (\tau )}$

${\displaystyle \tau \mapsto \tau +2\ ;\ \tau \mapsto {\frac {\tau }{1-2\tau }}\ .}$

Генераторы модулярной группы действуют по ^[2]

${\displaystyle \tau \mapsto \tau +1\ :\ \lambda \mapsto {\frac {\lambda }{\lambda -1}}\,;}$

${\displaystyle \tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }}\ :\ \lambda \mapsto 1-\lambda \ .}$

Следовательно, действие модулярной группы на является действием ангармонической группы , что дает шесть значений перекрестного отношения : ^[3] ${\displaystyle \lambda (\tau )}$

${\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace \ .}$

Связь с другими функциями

Это квадрат эллиптического модуля, ^[4] то есть, . В терминах эта-функции Дедекинда и тета-функций , ^[4] ${\displaystyle \lambda (\tau )=k^{2}(\tau )}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$

${\displaystyle \lambda (\tau )={\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,\eta ({\tfrac {\tau }{2}})\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}{\Bigg )}^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(\tau )}{\theta _{3}^{4}(\tau )}}}$

и,

${\displaystyle {\frac {1}{{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta ({\tfrac {\tau }{4}})}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2\,{\frac {\theta _{4}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}{\theta _{2}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}}}$

где ^[5]

${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}}}$

${\displaystyle \theta _{3}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}}}$

${\displaystyle \theta _{4}(\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau n^{2}}}$

В терминах полупериодов эллиптических функций Вейерштрасса пусть — фундаментальная пара периодов с . ${\displaystyle [\omega _{1},\omega _{2}]}$ ${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$

${\displaystyle e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),\quad e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),\quad e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$

у нас есть ^[4]

${\displaystyle \lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\,.}$

Поскольку три значения полупериода различны, это показывает, что не принимает значения 0 или 1. ^[4] ${\displaystyle \lambda }$

Связь с j-инвариантом [ ^{6] [7]}

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .}$

что является j -инвариантом эллиптической кривой формы Лежандра ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

Дано , пусть ${\displaystyle m\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$

${\displaystyle \tau =i{\frac {K\{1-m\}}{K\{m\}}}}$

где — полный эллиптический интеграл первого рода с параметром . Тогда ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m=k^{2}}$

${\displaystyle \lambda (\tau )=m.}$

Модульные уравнения

Модулярное уравнение степени (где — простое число) — это алгебраическое уравнение относительно и . Если и , то модулярные уравнения степеней имеют вид, соответственно, ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda (p\tau )}$ ${\displaystyle \lambda (\tau )}$ ${\displaystyle \lambda (p\tau )=u^{8}}$ ${\displaystyle \lambda (\tau )=v^{8}}$ ${\displaystyle p=2,3,5,7}$

${\displaystyle (1+u^{4})^{2}v^{8}-4u^{4}=0,}$

${\displaystyle u^{4}-v^{4}+2uv(1-u^{2}v^{2})=0,}$

${\displaystyle u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0,}$

${\displaystyle (1-u^{8})(1-v^{8})-(1-uv)^{8}=0.}$

Величину (и, следовательно , ) можно рассматривать как голоморфную функцию на верхней полуплоскости : ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\prod _{k=1}^{\infty }\tanh {\frac {(k-1/2)\pi i}{\tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{(2k^{2}+k)\pi i\tau }}{\sum _{k\in \mathbb {Z} }e^{k^{2}\pi i\tau }}}\\&={\cfrac {{\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}}{1+{\cfrac {e^{\pi i\tau }}{1+e^{\pi i\tau }+{\cfrac {e^{2\pi i\tau }}{1+e^{2\pi i\tau }+{\cfrac {e^{3\pi i\tau }}{1+e^{3\pi i\tau }+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$

Так как , то модульные уравнения можно использовать для получения алгебраических значений для любого простого числа . ^{[примечание 2]} Алгебраические значения также задаются формулой ^{[9] [примечание 3]} ${\displaystyle \lambda (i)=1/2}$ ${\displaystyle \lambda (pi)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda (ni)}$

${\displaystyle \lambda (ni)=\prod _{k=1}^{n/2}\operatorname {sl} ^{8}{\frac {(2k-1)\varpi }{2n}}\quad (n\,{\text{even}})}$

${\displaystyle \lambda (ni)={\frac {1}{2^{n}}}\prod _{k=1}^{n-1}\left(1-\operatorname {sl} ^{2}{\frac {k\varpi }{n}}\right)^{2}\quad (n\,{\text{odd}})}$

где — синус лемнискаты , — постоянная лемнискаты . ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ ${\displaystyle \varpi }$

Лямбда-звезда

Определение и вычисление лямбда-звезды

Функция ^[10] (где ) дает значение эллиптического модуля , для которого полный эллиптический интеграл первого рода и его дополнительный аналог связаны следующим выражением: ${\displaystyle \lambda ^{*}(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K(k)}$ ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})}$

${\displaystyle {\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}}$

Значения можно вычислить следующим образом: ${\displaystyle \lambda ^{*}(x)}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\frac {\theta _{2}^{2}(i{\sqrt {x}})}{\theta _{3}^{2}(i{\sqrt {x}})}}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]\right]^{2}\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})\right]^{-2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}})\right]^{-1}}$

Функции и связаны друг с другом следующим образом: ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}}$

Свойства лямбда-звезды

Каждое значение положительного рационального числа является положительным алгебраическим числом : ${\displaystyle \lambda ^{*}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}.}$

${\displaystyle K(\lambda ^{*}(x))}$и ( полный эллиптический интеграл второго рода ) может быть выражен в замкнутой форме через гамма-функцию для любого , как доказали Сельберг и Чоула в 1949 году. ^{[11] [12]} ${\displaystyle E(\lambda ^{*}(x))}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} ^{+}}$

Следующее выражение справедливо для всех : ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K\left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right];\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right]}$

где — эллиптическая функция Якоби дельта амплитуда с модулем . ${\displaystyle \operatorname {dn} }$ ${\displaystyle k}$

Зная одно значение, эту формулу можно использовать для вычисления связанных значений: ^[9] ${\displaystyle \lambda ^{*}}$ ${\displaystyle \lambda ^{*}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}}$

где и — эллиптическая функция Якоби sinus amplitudinis с модулем . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle k}$

Дальнейшие отношения:

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1}$

${\displaystyle [\lambda ^{*}(x)+1][\lambda ^{*}(4/x)+1]=2}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\right\}^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{1/4}-2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{3/4}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&a^{6}-f^{6}=2af+2a^{5}f^{5}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(f=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{8}+b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(b=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}(ac+a^{3}c^{3})(1+3a^{2}c^{2}+a^{4}c^{4})(2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4})\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&(a^{2}-d^{2})(a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2})[(a^{2}-d^{2})^{4}-a^{2}d^{2}(a^{2}+d^{2})^{2}]=8ad+8a^{13}d^{13}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\end{aligned}}}$$

Классовые инварианты Рамануджана

Инварианты классов Рамануджана определяются как ^[13] ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle g_{n}}$

${\displaystyle G_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),}$

${\displaystyle g_{n}=2^{-1/4}e^{\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),}$

где . Для таких инварианты класса являются алгебраическими числами. Например ${\displaystyle n\in \mathbb {Q} ^{+}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle g_{58}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}},\quad g_{190}={\sqrt {({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {10}}+3)}}.}$

Идентичности с инвариантами класса включают ^[14]

${\displaystyle G_{n}=G_{1/n},\quad g_{n}={\frac {1}{g_{4/n}}},\quad g_{4n}=2^{1/4}g_{n}G_{n}.}$

Инварианты класса очень тесно связаны с модулярными функциями Вебера и . Вот отношения между лямбда-звездой и инвариантами класса: ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}}$

${\displaystyle G_{n}=\sin\{2\arcsin[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}=1{\Big /}\left[{\sqrt[{12}]{2\lambda ^{*}(n)}}{\sqrt[{24}]{1-\lambda ^{*}(n)^{2}}}\right]}$

${\displaystyle g_{n}=\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(n)]\}^{-1/12}={\sqrt[{12}]{[1-\lambda ^{*}(n)^{2}]/[2\lambda ^{*}(n)]}}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(n)=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arctan[g_{n}^{-12}]\right\}={\sqrt {g_{n}^{24}+1}}-g_{n}^{12}}$

Другие выступления

Маленькая теорема Пикара

Функция лямбда используется в оригинальном доказательстве теоремы Литтла Пикара о том, что целая непостоянная функция на комплексной плоскости не может опускать более одного значения. Эта теорема была доказана Пикаром в 1879 году. ^[15] Предположим, если это возможно, что f является целой и не принимает значений 0 и 1. Поскольку λ голоморфна, у нее есть локальная голоморфная обратная ω, определенная вне 0,1,∞. Рассмотрим функцию z → ω( f ( z )). По теореме о монодромии она голоморфна и отображает комплексную плоскость C в верхнюю полуплоскость. Из этого легко построить голоморфную функцию из C в единичный круг, которая по теореме Лиувилля должна быть постоянной. ^[16]

Самогон

Функция является нормализованным гауптмодулем для группы и ее q -разложением , OEIS : A007248 , где , является градуированным характером любого элемента в классе сопряженности 4C группы монстра, действующего на вершинную алгебру монстра . ${\displaystyle \tau \mapsto 16/\lambda (2\tau )-8}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}(4)}$ ${\displaystyle q^{-1}+20q-62q^{3}+\dots }$ ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

Сноски

1. Чандрасекхаран (1985) стр.115
2. Чандрасекхаран (1985) стр.109
3. Чандрасекхаран (1985) стр.110
4. Чандрасекхаран (1985) стр.108
5. Чандрасекхаран (1985) стр.63
6. Чандрасекхаран (1985) стр.117
7. Рэнкин (1977) стр.226–228
8. Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности (первое издание). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.стр. 103–109, 134
9. Якоби, Карл Густав Якоб (1829). Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (на латыни).стр. 42
10. Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Pi и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности (первое издание). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.стр. 152
11. Чоула, С.; Сельберг, А. (1949). «О дзета-функции Эпштейна (I)». Труды Национальной академии наук . 35 (7): 373. doi : 10.1073/PNAS.35.7.371 . PMC 1063041. S2CID  45071481 . 
12. Чоула, С.; Сельберг, А. «О дзета-функции Эпштейна». EuDML . С. 86–110.
13. Берндт, Брюс С.; Чан, Хэн Хуат; Чжан, Лян-Чэн (6 июня 1997 г.). «Инварианты классов Рамануджана, предельная формула Кронекера и модулярные уравнения». Труды Американского математического общества . 349 (6): 2125–2173.
14. Эймар, Пьер; Лафон, Жан-Пьер (1999). Autour du nombre Pi (на французском языке). ГЕРМАН. ISBN 2705614435.стр. 240
15. Чандрасекхаран (1985) стр.121
16. Чандрасекхаран (1985) стр.118

Ссылки

Примечания

1. не является модулярной функцией (согласно определению Википедии), но каждая модулярная функция является рациональной функцией в . Некоторые авторы используют неэквивалентное определение «модулярных функций». ${\displaystyle \lambda (\tau )}$ ${\displaystyle \lambda (\tau )}$
2. Для любой степени простого числа мы можем итерировать модульное уравнение степени . Этот процесс может быть использован для получения алгебраических значений для любого ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda (ni)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$
3. является алгебраическим для каждого ${\displaystyle \operatorname {sl} a\varpi }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} .}$

Другой

• Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен А. , ред. (1972), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0, ЗБЛ  0543.33001
• Чандрасекхаран, К. (1985), Эллиптические функции , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 281, Springer-Verlag , стр. 108–121, ISBN. 3-540-15295-4, ЗБЛ  0575.33001
• Конвей, Джон Хортон ; Нортон, Саймон (1979), «Чудовищный лунный свет», Бюллетень Лондонского математического общества , 11 (3): 308–339, doi :10.1112/blms/11.3.308, MR  0554399, Zbl  0424.20010
• Рэнкин, Роберт А. (1977), Модульные формы и функции , Cambridge University Press , ISBN 0-521-21212-X, ЗБЛ  0376.10020
• Рейнхардт, WP; Уокер, PL (2010), «Эллиптическая модулярная функция», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.

• Борвейн, Дж. М. и Борвейн, П. Б. Пи и AGM: исследование аналитической теории чисел и вычислительной сложности. Нью-Йорк: Wiley, стр. 139 и 298, 1987.

• Конвей, Дж. Х. и Нортон, С. П. «Чудовищный лунный свет». Bull. London Math. Soc. 11, 308-339, 1979.

• Сельберг, А. и Чоула, С. «О дзета-функции Эпштейна». J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967.

Внешние ссылки

• Модульная лямбда-функция в Fungrim