Проекционный модуль

Прямое слагаемое свободного модуля (математика)

В математике , особенно в алгебре , класс проективных модулей расширяет класс свободных модулей (то есть модулей с базисными векторами ) по кольцу , сохраняя некоторые основные свойства свободных модулей. Различные эквивалентные характеристики этих модулей приведены ниже.

Каждый свободный модуль является проективным модулем, но обратное утверждение неверно для некоторых колец, таких как кольца Дедекинда , которые не являются областями главных идеалов . Однако каждый проективный модуль является свободным модулем, если кольцо является областью главных идеалов, такой как целые числа , или кольцом (многомерного) многочлена над полем (это теорема Квиллена – Суслина ).

Проективные модули были впервые представлены в 1956 году во влиятельной книге «Гомологическая алгебра» Анри Картана и Сэмюэля Эйленберга .

Определения

Подъемное имущество

Обычное теоретико-категорное определение основано на свойстве подъема , которое переносится со свободных модулей на проективные: модуль P является проективным тогда и только тогда, когда для каждого сюръективного гомоморфизма модулей f  : N ↠ M и каждого гомоморфизма модулей g  : P → M существует гомоморфизм модулей h  : P → N такой, что f  h = g . (Мы не требуем, чтобы лифтинг-гомоморфизм h был единственным; это не универсальное свойство .)

Преимущество этого определения «проективного» состоит в том, что оно может быть реализовано в категориях более общих, чем категории модулей : нам не нужно понятие «свободный объект». Его также можно дуализировать , что приводит к инъективным модулям . Свойство подъема можно также перефразировать как каждый морфизм от до фактора через каждый эпиморфизм до ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ . Таким образом, по определению проективные модули — это именно проективные объекты категории R - модулей .

Точные последовательности с разделением

Модуль P проективен тогда и только тогда, когда каждая короткая точная последовательность модулей вида

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow P\rightarrow 0}$

является расщепленной точной последовательностью . То есть для каждого сюръективного гомоморфизма модулей f  : B ↠ P существует отображение сечения , то есть гомоморфизм модулей h  : P → B такой, что f  h = id _P  . В этом случае h ( P ) — прямое слагаемое B , h — изоморфизм P в h ( P ) , а h  f — проекция на слагаемое h ( P ) . Эквивалентно,

${\displaystyle B=\operatorname {Im} (h)\oplus \operatorname {Ker} (f)\ \ {\text{ where }}\operatorname {Ker} (f)\cong A\ {\text{ and }}\operatorname {Im} (h)\cong P.}$

Прямые слагаемые свободных модулей

Модуль P проективен тогда и только тогда, когда существует другой модуль Q такой, что прямая сумма P и Q является свободным модулем.

Точность

R -модуль P является проективным тогда и только тогда , когда ковариантный функтор Hom( P , -): R - Mod → Ab является точным функтором , где R - Mod - категория левых R -модулей, а Ab - категория абелевых группы . Когда кольцо R коммутативно , Ab предпочтительно заменяется на R - Mod в предыдущей характеристике. Этот функтор всегда точен слева , но, когда P проективен, он также точен справа. Это означает, что P проективен тогда и только тогда, когда этот функтор сохраняет эпиморфизмы (сюръективные гомоморфизмы) или если он сохраняет конечные копределы .

Двойной базис

Модуль P является проективным тогда и только тогда , когда существует набор и такой набор , что для каждого x в P , fi ( _x ) не равно нулю только для конечного числа i и . ${\displaystyle \{a_{i}\in P\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle \{f_{i}\in \mathrm {Hom} (P,R)\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle x=\sum f_{i}(x)a_{i}}$

Элементарные примеры и свойства

Следующие свойства проективных модулей быстро выводятся из любого из приведенных выше (эквивалентных) определений проективных модулей:

• Прямые суммы и прямые слагаемые проективных модулей проективны.
• Если e = e2 ^— идемпотент в кольце R , то Re — проективный левый модуль над R.

Пусть – прямое произведение двух колец и которое является кольцом для покомпонентных операций. Пусть и Тогда и являются идемпотентами, принадлежат центру двусторонних идеалов и являются проективными модулями, так как их прямая сумма (как R -модулей ) равна свободному R -модулю R . Однако если и нетривиальны, то они несвободны как модули над . Например, проективно, но не свободно над . ${\displaystyle R=R_{1}\times R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2},}$ ${\displaystyle e_{1}=(1,0)}$ ${\displaystyle e_{2}=(0,1).}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle Re_{1}}$ ${\displaystyle Re_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$

Связь с другими теоретико-модульными свойствами

Связь проективных модулей со свободными и плоскими модулями отражена в следующей диаграмме свойств модулей:

Импликации слева направо верны для любого кольца, хотя некоторые авторы определяют модули без кручения только в области определения . Импликации справа налево справедливы для обозначающих их колец. Могут быть и другие кольца, для которых они верны. Например, импликация, помеченная как « локальное кольцо или PID», также верна для (многомерных) колец многочленов над полем : это теорема Квиллена – Суслина .

Проективные и бесплатные модули

Любой свободный модуль проективен. Обратное верно в следующих случаях:

• если R — поле или тело : в этом случае любой модуль свободен.
• если кольцо R является областью главных идеалов . Например, это относится к R = Z ( целые числа ), поэтому абелева группа является проективной тогда и только тогда, когда она является свободной абелевой группой . Причина в том, что любой подмодуль свободного модуля в области главных идеалов свободен.
• если кольцо R является локальным . Этот факт лежит в основе интуиции «локально свободный = проективный». Этот факт легко доказать для конечно порожденных проективных модулей. В целом это заслуга Капланского (1958); см. теорему Капланского о проективных модулях .

Однако в целом проективные модули не обязательно должны быть бесплатными:

• Над прямым произведением колец R × S , где R и S — ненулевые кольца, оба R × 0 и 0 × S являются несвободными проективными модулями.
• В дедекиндовой области неглавным идеалом всегда является проективный модуль , не являющийся свободным модулем.
• Над кольцом матриц M _n ( R ) естественный модуль R ⁿ проективен, но не свободен, когда n > 1.
• Над полупростым кольцом каждый модуль проективен, но ненулевой собственный левый (или правый) идеал не является свободным модулем. Таким образом, единственные полупростые кольца, у которых все проективы свободны, — это тела .

Разница между свободными и проективными модулями в некотором смысле измеряется группой алгебраической K -теории K ₀ ( R ); см. ниже.

Проективные и плоские модули

Каждый проективный модуль плоский . ^[1] Обратное, вообще говоря, неверно: абелева группа Q представляет собой Z -модуль, плоский, но не проективный. ^[2]

И наоборот, конечно связанный плоский модуль проективен. ^[3]

Говоров (1965) и Лазар (1969) доказали, что модуль M плоский тогда и только тогда, когда он является прямым пределом конечно порожденных свободных модулей .

В общем, точная связь между плоскостностью и проективностью была установлена ​​Рейно и Грусоном (1971) (см. также Дринфельд (2006) и Браунлинг, Грохениг и Вольфсон (2016)), которые показали, что модуль M проективен тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию следующие условия:

• М — плоский,
• M — прямая сумма счетно порожденных модулей,
• M удовлетворяет определенному условию типа Миттаг-Леффлера .

Эту характеристику можно использовать, чтобы показать, что если — точно плоское отображение коммутативных колец и является -модулем, то он проективен тогда и только тогда, когда он проективен. ^[4] Другими словами, свойство проективности удовлетворяет строго плоскому спуску . ${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}S}$

Категория проективных модулей

Субмодули проективных модулей не обязательно должны быть проективными; кольцо R , для которого каждый подмодуль проективного левого модуля проективен, называется наследственным слева .

Факторы проективных модулей также не обязательно должны быть проективными, например, Z / n является фактором Z , но не без кручения , следовательно, не плоским и, следовательно, не проективным.

Категория конечно порожденных проективных модулей над кольцом является точной категорией . (См. также алгебраическая К-теория ).

Проективные разрешения

Для данного модуля M проективная резольвента M представляет собой бесконечную точную последовательность модулей .

⋅⋅⋅ → П _н → ⋅⋅⋅ → П ₂ → П ₁ → П ₀ → М → 0,

со всеми P _{проективными}  . Каждый модуль обладает проективной резольвентой. На самом деле свободное разрешение (разрешение бесплатными модулями) существует. Точная последовательность проективных модулей иногда может быть сокращена до P ( M ) → M → 0 или P _• → M → 0 . Классический пример проективной резольвенты даёт комплекс Кошуля регулярной последовательности , который является свободной резольвентой идеала, порождённого этой последовательностью.

Длина конечного разрешения — это индекс n , такой, что P _n не равен нулю и P _i = 0 для i больше n . Если M допускает конечную проективную резолюцию, минимальная длина среди всех конечных проективных резольвент M называется ее проективной размерностью и обозначается pd( M ). Если M не допускает конечной проективной резольвенты, то по соглашению проективная размерность называется бесконечной. В качестве примера рассмотрим модуль M такой, что pd( M ) = 0 . В этой ситуации точность последовательности 0 → P ₀ → M → 0 указывает на то, что стрелка в центре является изоморфизмом, а значит, M само проективно.

Проективные модули над коммутативными кольцами

Проективные модули над коммутативными кольцами обладают интересными свойствами.

Локализация проективного модуля — это проективный модуль над локализованным кольцом . Проективный модуль над локальным кольцом свободен. Таким образом, проективный модуль локально свободен (в том смысле, что его локализация в каждом простом идеале свободна над соответствующей локализацией кольца).

Обратное верно для конечно порожденных модулей над нётеровыми кольцами : конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом локально свободен тогда и только тогда, когда он проективен.

Однако существуют примеры конечно порожденных модулей над ненетеровым кольцом, которые локально свободны и не проективны. Например, булево кольцо имеет все свои локализации, изоморфные F ₂ , полю из двух элементов, поэтому любой модуль над булевым кольцом локально свободен, но над булевыми кольцами существуют некоторые непроективные модули. Одним из примеров является R / I , где R — прямой продукт счетного числа копий F ₂ , а I — прямая сумма счетного числа копий F ₂ внутри R. R - модуль R / I локально свободен, поскольку R является булевым (и он также конечно порожден как R -модуль с охватывающим множеством размера 1), но R / I не проективен, поскольку I не является главным идеалом. . (Если фактор-модуль R / I для любого коммутативного кольца R и идеала I является проективным R -модулем, то I является главным.)

Однако верно, что для конечно определенных модулей M над коммутативным кольцом R (в частности, если M — конечно порожденный R -модуль и R нётерово) следующие утверждения эквивалентны. ^[5]

1. ${\displaystyle M}$плоский.
2. ${\displaystyle M}$является проективным.
3. ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$свободен как -модуль для любого максимального идеала R . ${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
4. ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$свободен как -модуль для любого простого идеала R . ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
5. Существуют генераторы единичного идеала , свободные как -модули для каждого i . ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in R}$ ${\displaystyle M[f_{i}^{-1}]}$ ${\displaystyle R[f_{i}^{-1}]}$
6. ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$— локально свободный пучок на (где — пучок, ассоциированный с M .) ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

Более того, если R — нётерова область целостности , то по лемме Накаямы эти условия эквивалентны

• Размерность векторного пространства одинакова для всех простых идеалов R , где – поле вычетов при . ^[6] То есть M имеет постоянный ранг (как определено ниже). ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Пусть A — коммутативное кольцо. Если B (возможно, некоммутативная) A - алгебра , которая представляет собой конечно порожденный проективный A -модуль, содержащий A в качестве подкольца , то A является прямым фактором B. ^[7]

Классифицировать

Пусть P — конечно порожденный проективный модуль над коммутативным кольцом R , а X — спектр кольца R. Ранг P в простом идеале в X есть ранг свободного -модуля . Это локально постоянная функция на X. В частности, если X связен (т. е. если R не имеет других идемпотентов, кроме 0 и 1), то P имеет постоянный ранг. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle P_{\mathfrak {p}}}$

Векторные пакеты и локально бесплатные модули

Основная мотивация теории состоит в том, что проективные модули (по крайней мере, над некоторыми коммутативными кольцами) являются аналогами векторных расслоений . Это можно уточнить для кольца непрерывных вещественных функций на компактном хаусдорфовом пространстве , а также для кольца гладких функций на гладком многообразии (см. теорему Серра – Свона , которая гласит, что конечно порожденный проективный модуль над пространством гладкие функции на компактном многообразии — пространство гладких сечений гладкого векторного расслоения ).

Векторные пакеты являются локально бесплатными . Если существует какое-то понятие «локализации», которое можно перенести на модули, например обычная локализация кольца , можно определить локально свободные модули, и тогда проективные модули обычно совпадают с локально свободными модулями.

Проективные модули над кольцом многочленов

Теорема Квиллена–Суслина , которая решает проблему Серра, представляет собой еще один _{глубокий} результат : если K — поле или, в более общем смысле, _{область} главных идеалов , а R = K [ X1 ,..., Xn ] — кольцо полиномов над K , то каждый проективный модуль над R свободен. Эта проблема была впервые поднята Серром с полем K (и конечно порожденными модулями). Басс решил это для неконечно порожденных модулей, ^[8] и Квиллен и Суслин независимо друг от друга одновременно рассмотрели случай конечно порожденных модулей.

Поскольку каждый проективный модуль над областью главного идеала свободен, можно задать такой вопрос: если R — коммутативное кольцо такое, что каждый (конечно порожденный) проективный R -модуль свободен, то каждый ли (конечно порожденный) проективный R [ X ] -модуль бесплатный? Ответ - нет . Контрпример возникает с R , равным локальному кольцу кривой y ² = x ³ в начале координат. Таким образом, теорему Квиллена–Суслина никогда нельзя было доказать простой индукцией по числу переменных.

Смотрите также

• Проекционное покрытие
• Лемма Шануэля
• Теорема об отмене баса
• Модульная теория представлений

Примечания

1. Хазевинкель; и другие. (2004). «Следствие 5.4.5». Алгебры, кольца и модули, часть 1. с. 131.
2. Хазевинкель; и другие. (2004). «Замечание после следствия 5.4.5». Алгебры, кольца и модули, Часть 1. С. 131–132.
3. Кон 2003, следствие 4.6.4. harvnb error: no target: CITEREFCohn2003 (help)
4. «Раздел 10.95 (05A4): Нисходящие свойства модулей — проект Stacks». stacks.math.columbia.edu . Проверено 3 ноября 2022 г.
5. Упражнения 4.11 и 4.12 и следствие 6.6 Дэвида Эйзенбуда, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , GTM 150, Springer-Verlag, 1995. Также Милн, 1980
6. То есть является полем вычетов локального кольца . ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$
7. Бурбаки, Коммутативная алгебра 1989, Глава II, §5, Упражнение 4 harvnb error: no target: CITEREFBourbaki,_Algèbre_commutative1989 (help)
8. Басс, Хайман (1963). «Большие проективные модули бесплатны». Иллинойсский математический журнал . 7 (1). Издательство Университета Дьюка. Следствие 4.5. дои : 10.1215/ijm/1255637479 .

Рекомендации

• Уильям А. Адкинс; Стивен Х. Вайнтрауб (1992). Алгебра: подход через теорию модулей. Спрингер. Раздел 3.5.
• Иэн Т. Адамсон (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. ISBN 0-05-002192-3.
• Николя Бурбаки , Коммутативная алгебра, гл. II, §5
• Браунлинг, Оливер; Грехениг, Майкл; Вольфсон, Джесси (2016), «Объекты Тейт в точных категориях», Моск. Математика. J. , 16 (3), arXiv : 1402.4969v4 , doi : 10.17323/1609-4514-2016-16-3-433-504, MR  3510209, S2CID  118374422
• Пол М. Кон (2003). Далее алгебра и приложения . Спрингер. ISBN 1-85233-667-6.
• Дринфельд, Владимир (2006), «Бесконечномерные векторные расслоения в алгебраической геометрии: введение», Павел Этингоф; Владимир Ретах; И. М. Сингер (ред.), Единство математики , Birkhäuser Boston, стр. 263–304, arXiv : math/0309155v4 , doi : 10.1007/0-8176-4467-9_7, ISBN 978-0-8176-4076-7, МР  2181808
• Говоров В.Е. (1965), "О плоских модулях (рус.)", Сиб. матем. Дж. , 6 : 300–304
• Хазевинкель, Михель ; Губарени, Надежда; Кириченко, Владимир В. (2004). Алгебры, кольца и модули . Спрингер Наука . ISBN 978-1-4020-2690-4.
• Капланский, Ирвинг (1958), «Проективные модули», Ann. математики. , 2, 68 (2): 372–377, doi : 10.2307/1970252, hdl : 10338.dmlcz/101124 , JSTOR  1970252, MR  0100017
• Ланг, Серж (1993). Алгебра (3-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN 0-201-55540-9.
• Лазар, Д. (1969), «Autour de la platitude», Bulletin de la Société Mathématique de France , 97 : 81–128, doi : 10.24033/bsmf.1675
• Милн, Джеймс (1980). Этальные когомологии . Принстонский университет. Нажимать. ISBN 0-691-08238-3.
• Дональд С. Пассман (2004) Курс теории колец , особенно глава 2. Проективные модули, стр. 13–22, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-3680-3 . 
• Рейно, Мишель; Грюсон, Лоран (1971), «Критерии банальности и проективности. Методы «платификации» модуля», Invent. Математика. , 13 : 1–89, Bibcode : 1971InMat..13....1R, doi : 10.1007/BF01390094, MR  0308104, S2CID  117528099
• Пауло Рибенбойм (1969) Кольца и модули , §1.6 Проективные модули, стр. 19–24, Interscience Publishers .
• Чарльз Вейбель , К-книга: Введение в алгебраическую К-теорию

дальнейшее чтение

• https://mathoverflow.net/questions/272018/faithfull-flat-descent-of-projectivity-for-non-commutative-rings