Комплексное проективное пространство

Сфера Римана , одномерное комплексное проективное пространство, т.е. комплексная проективная линия .

В математике комплексное проективное пространство — это проективное пространство по отношению к полю комплексных чисел . По аналогии, тогда как точки реального проективного пространства отмечают линии, проходящие через начало реального евклидова пространства , точки комплексного проективного пространства отмечают комплексные линии , проходящие через начало комплексного евклидова пространства (интуитивное объяснение см. ниже). . Формально комплексное проективное пространство — это пространство комплексных прямых, проходящих через начало ( n +1)-мерного комплексного векторного пространства . Пространство обозначается по-разному: P ( Cn ⁺ 1 ) , Pn ₍ C ) или ^{CPn .} Когда n = 1 , комплексное проективное пространство CP ¹ является сферой Римана , а когда n = 2 , CP ² является комплексной проективной плоскостью (более элементарное обсуждение см. там).

Комплексное проективное пространство было впервые введено фон Штаудтом (1860) как пример того, что тогда было известно как «геометрия положения», понятие, первоначально принадлежащее Лазару Карно , своего рода синтетическая геометрия , которая включала также и другие проективные геометрии. Впоследствии, на рубеже 20-го века, итальянской школе алгебраической геометрии стало ясно , что комплексные проективные пространства являются наиболее естественными областями для рассмотрения решений полиномиальных уравнений - алгебраических многообразий (Grattan-Guinness 2005, стр. 445). –446). В наше время топология и геометрия сложного проективного пространства хорошо изучены и тесно связаны с геометрией сферы . Действительно, в определенном смысле (2 n +1)-сферу можно рассматривать как семейство окружностей, параметризованных CP ⁿ : это расслоение Хопфа . Комплексное проективное пространство несет в себе ( кэлерову ) метрику , называемую метрикой Фубини–Студи , в терминах которой оно является эрмитовым симметричным пространством ранга 1.

Комплексное проективное пространство имеет множество приложений как в математике, так и в квантовой физике . В алгебраической геометрии комплексное проективное пространство является домом для проективных многообразий , хорошо управляемого класса алгебраических многообразий . В топологии комплексное проективное пространство играет важную роль как классифицирующее пространство для комплексных линейных расслоений : семейств комплексных прямых, параметризованных другим пространством. В этом контексте бесконечное объединение проективных пространств ( прямой предел ), обозначаемое CP ^∞ , является классифицирующим пространством K(Z,2) . В квантовой физике волновая функция , связанная с чистым состоянием квантово-механической системы, представляет собой амплитуду вероятности , что означает, что она имеет единичную норму и несущественную общую фазу: то есть волновая функция чистого состояния, естественно, является точкой в проективном гильбертовом пространстве пространства состояний.

Введение

Параллельные линии на плоскости пересекаются в точке схода линии, находящейся на бесконечности.

Понятие проективной плоскости возникает из идеи перспективы в геометрии и искусстве: иногда полезно включить в евклидову плоскость дополнительную «воображаемую» линию, которая представляет собой горизонт, который может видеть художник, рисующий плоскость. После каждого направления от начала координат на горизонте есть разные точки, поэтому горизонт можно рассматривать как совокупность всех направлений от начала координат. Евклидову плоскость вместе с ее горизонтом называют действительной проективной плоскостью , а горизонт иногда называют линией, уходящей в бесконечность . По той же конструкции проективные пространства можно рассматривать и в более высоких измерениях. Например, настоящее проективное трехмерное пространство — это евклидово пространство вместе с плоскостью в бесконечности , которая представляет собой горизонт, который мог бы видеть художник (который обязательно должен жить в четырех измерениях).

Эти реальные проективные пространства можно построить несколько более строгим образом следующим образом. Здесь пусть R ^{n +1} обозначает реальное координатное пространство n +1 измерений и рассматривает пейзаж, который нужно нарисовать, как гиперплоскость в этом пространстве. Предположим, что глаз художника — это начало координат в R ^{n +1} . Тогда вдоль каждой линии его глаза проходит точка пейзажа или точка на его горизонте. ^{Таким образом ,} реальное проективное пространство — это пространство прямых, проходящих через начало координат в Rn ⁺¹ . Без привязки к координатам это пространство прямых, проходящих через начало координат, в ( n +1)-мерном реальном векторном пространстве .

Аналогичное описание сложного проективного пространства требует обобщения идеи вектора, линии и направления. Представьте себе, что вместо реального евклидова пространства художник стоит в сложном евклидовом пространстве C ^{n +1} (действительная размерность 2 n +2), а пейзаж представляет собой комплексную гиперплоскость (действительную размерность 2 n ). В отличие от реального евклидова пространства, в сложном случае есть направления, в которых может смотреть художник, не видя пейзажа (поскольку он не имеет достаточно высокой размерности). Однако в сложном пространстве существует дополнительная «фаза», связанная с направлениями через точку, и корректируя эту фазу, художник может гарантировать, что он видит пейзаж типично. «Горизонт» тогда представляет собой пространство направлений, но такое, что два направления считаются «одними и теми же», если они отличаются только фазой. В таком случае сложное проективное пространство представляет собой пейзаж ( Cn ) с горизонтом, прикрепленным «в бесконечности» ^. Как и в реальном случае, комплексное проективное пространство — это пространство направлений через начало координат Cn ^{+ 1} , где два направления считаются одинаковыми, если они отличаются фазой.

Строительство

Комплексное проективное пространство — это комплексное многообразие , которое можно описать n  + 1 комплексными координатами как

${\displaystyle Z=(Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\in \mathbb {C} ^{n+1},\qquad (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\neq (0,0,\ldots ,0)}$

где идентифицируются кортежи, отличающиеся общим масштабированием:

${\displaystyle (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{n+1})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\ldots ,\lambda Z_{n+1});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.}$

То есть это однородные координаты в традиционном понимании проективной геометрии . Набор точек CP ⁿ покрывается патчами . В U _i можно определить систему координат по ${\displaystyle U_{i}=\{Z\mid Z_{i}\neq 0\}}$

${\displaystyle z_{1}=Z_{1}/Z_{i},\quad z_{2}=Z_{2}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{i-1}=Z_{i-1}/Z_{i},\quad z_{i}=Z_{i+1}/Z_{i},\quad \dots ,\quad z_{n}=Z_{n+1}/Z_{i}.}$

Координатные переходы между двумя разными такими картами U _i и U _j являются голоморфными функциями (фактически это дробные линейные преобразования ). Таким образом, CP ⁿ несет в себе структуру комплексного многообразия комплексной размерности n и тем более структуру вещественного дифференцируемого многообразия вещественной размерности 2 n .

Можно также рассматривать CP ⁿ как фактор единичной 2 n  + 1 сферы в C ^{n +1} по действию U(1) :

CP ⁿ = S ^{2 n +1} /U(1).

Это потому, что каждая линия в C ^{n +1} пересекает единичную сферу по кругу . Сначала проецируя на единичную сферу, а затем отождествляя под естественным действием U(1), мы получаем CP ⁿ . При n  = 1 эта конструкция дает классическое расслоение Хопфа . С этой точки зрения дифференцируемая структура на CP ⁿ индуцируется структурой S ^{2 n +1} , являясь фактором последней по компактной группе, которая действует правильно. ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$

Топология

Топология CP ⁿ определяется индуктивно следующим разложением ячеек . Пусть H — фиксированная гиперплоскость, проходящая через начало координат в ^Cn + ¹ . При отображении проекции Cn ^{+ 1} \{0} → CPn H переходит в подпространство ^, гомеоморфное CPn ^{− 1} . Дополнение к образу H в CP ⁿ гомеоморфно C ⁿ . Таким образом , CP ⁿ возникает в результате присоединения 2 n -ячейки к CP ^{n −1} :

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\mathbf {CP} ^{n-1}\cup \mathbf {C} ^{n}.}$

Альтернативно, если вместо этого 2 n -ячейка рассматривается как открытый единичный шар в C ⁿ , то присоединяющее отображение является расслоением границы Хопфа. Аналогичное индуктивное клеточное разложение справедливо для всех проективных пространств; см. (Бессе, 1978).

CW-разложение

Одним из полезных способов построения комплексных проективных пространств является рекурсивная конструкция с использованием CW-комплексов . Напомним, что существует гомеоморфизм 2-сферы, дающий первое пространство. Затем мы можем ввести данные в ячейки, чтобы получить карту выталкивания. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}\cong S^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}S^{3}&\hookrightarrow &D^{4}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{1}&\to &\mathbf {CP} ^{2}\end{matrix}}}$$

Хопфа ${\displaystyle D^{4}}$ ${\displaystyle S^{3}\to \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}S^{2n-1}&\hookrightarrow &D^{2n}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{n-1}&\to &\mathbf {CP} ^{n}\end{matrix}}}$$

${\displaystyle S^{2n-1}\to \mathbf {CP} ^{n-1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{2n-1}(\mathbf {CP} ^{n-1})&\cong \pi _{2n-1}(S^{2n-2})\\&\cong \mathbb {Z} /2\end{aligned}}}$$

стабильной теории гомотопийспектральной последовательности Серратеоремы Фрейденталя о подвескебашни Постниковаоптоволокна

$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n-1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n-1}}$$

${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}\simeq \mathbf {CP} ^{n-1}\times D^{n}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

Топология набора точек

Комплексное проективное пространство компактно и связно , являясь фактором компактного связного пространства.

Гомотопические группы

Из пучка волокон

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$

или более многозначительно

${\displaystyle U(1)\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$

CP ⁿ односвязен . _ Более того, согласно длинной точной гомотопической последовательности вторая гомотопическая группа равна π ₂ ( CP ⁿ ) ≅ Z , и все высшие гомотопические группы согласуются с группами S ^{2 n +1} : π _k ( CP ⁿ ) ≅ π _k ( S ^{2 n +1} ) для всех k > 2.

Гомология

В общем, алгебраическая топология CP ⁿ основана на том, что ранг групп гомологии равен нулю в нечетных измерениях; также H _{2 i} ( CP ⁿ , Z ) бесконечно циклично для i знак равно 0 до n . Следовательно, числа Бетти

1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...

То есть 0 в нечетных измерениях, 1 в четных измерениях от 0 до 2n. Поэтому эйлерова характеристика CP ⁿ равна n  + 1. В силу двойственности Пуанкаре то же самое верно для рангов групп когомологий . В случае когомологий можно пойти дальше и определить градуированную кольцевую структуру для продукта чашки ; генератор H ² ( CP ⁿ , Z ) — это класс, ассоциированный с гиперплоскостью , и это кольцевой генератор, так что кольцо изоморфно

Z [ Т ]/( Т ^{n +1} ),

с T генератором второй степени. Отсюда также следует, что число Ходжа h ^{i , i} = 1, а все остальные равны нулю. См. (Бессе, 1978).

К -теория

Из индукции и периодичности Ботта следует , что

${\displaystyle K_{\mathbf {C} }^{*}(\mathbf {CP} ^{n})=K_{\mathbf {C} }^{0}(\mathbf {CP} ^{n})=\mathbf {Z} [H]/(H-1)^{n+1}.}$

Касательное расслоение удовлетворяет

${\displaystyle T\mathbf {CP} ^{n}\oplus \vartheta ^{1}=H^{\oplus n+1},}$

где обозначает тривиальное линейное расслоение из последовательности Эйлера . Отсюда можно явно вычислить классы Чженя и характеристические числа . ${\displaystyle \vartheta ^{1}}$

Классификация пространства

Существует пространство , которое в некотором смысле является индуктивным пределом as . Это BU(1) , классифицирующее пространство U(1) , группы окружностей, в смысле теории гомотопии , и таким образом классифицирует комплексные линейные расслоения . Эквивалентно это соответствует первому классу Черна . Это можно увидеть эвристически, посмотрев на карты пучков волокон. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$$

расслоением универсальных кругов ${\displaystyle n\to \infty }$

$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{\infty }}$$

Эйленберга – Маклейнатеореме Брауна о представимости ${\displaystyle \pi _{2}(\mathbf {CP} ^{\infty })=\pi _{1}(S^{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$

$${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong [X,\mathbf {CP} ^{\infty }]}$$

классов Чженя ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$

$${\displaystyle {\begin{matrix}L&\to &{\mathcal {L}}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &\mathbf {CP} ^{\infty }\end{matrix}}}$$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle S^{\infty }\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$

Дифференциальная геометрия

Естественная метрика на CP ⁿ — это метрика Фубини–Студи , а ее голоморфная группа изометрий — проективная унитарная группа PU( n +1), где стабилизатор точки — это

${\displaystyle \mathrm {P} (1\times \mathrm {U} (n))\cong \mathrm {PU} (n).}$

Это эрмитово симметричное пространство (Кобаяши и Номидзу, 1996), представленное как смежное пространство.

${\displaystyle U(n+1)/(U(1)\times U(n))\cong SU(n+1)/S(U(1)\times U(n)).}$

Геодезическая симметрия в точке p — это унитарное преобразование, которое фиксирует p и является отрицательным тождеством ортогонального дополнения к линии, представленной p .

Геодезика

Через любые две точки p , q в комплексном проективном пространстве проходит единственная комплексная прямая ( CP ¹ ). Большой круг этой комплексной линии, содержащий p и q, является геодезической для метрики Фубини–Студи. В частности, все геодезические замкнуты (это окружности) и имеют одинаковую длину. (Это всегда верно для римановых глобально-симметричных пространств ранга 1.)

Разрез любой точки p равен гиперплоскости CP ^{n −1} . Это также набор неподвижных точек геодезической симметрии в точке p (за вычетом самого p ). См. (Бессе, 1978).

Защемление секционной кривизны

Он имеет секционную кривизну в пределах от 1/4 до 1 и является самым круглым многообразием, которое не является сферой (или не покрыто сферой): по теореме о 1/4-сжатой сфере любое полное односвязное риманово многообразие со строгой кривизной между 1/4 и 1 диффеоморфна сфере. Комплексное проективное пространство показывает, что 1/4 острая. И наоборот, если полное односвязное риманово многообразие имеет секционную кривизну на замкнутом интервале [1/4,1], то оно либо диффеоморфно сфере, либо изометрично комплексному проективному пространству, кватернионному проективному пространству или же Кэли плоскость F ₄ /Spin(9); см. (Брендл и Шон, 2008).

Спиновая структура

Нечетномерным проективным пространствам можно придать спиновую структуру , четномерным — нет.

Алгебраическая геометрия

Комплексное проективное пространство является частным случаем грассманиана и является однородным пространством для различных групп Ли . Это кэлерово многообразие , несущее метрику Фубини–Студи , которая по существу определяется свойствами симметрии. Он также играет центральную роль в алгебраической геометрии ; по теореме Чоу любое компактное комплексное подмногообразие CP ⁿ является нулевым местом конечного числа многочленов и, таким образом, является проективным алгебраическим многообразием . См. (Гриффитс и Харрис, 1994).

Топология Зариского

В алгебраической геометрии комплексное проективное пространство может быть оснащено другой топологией, известной как топология Зарисского (Hartshorne 1977, §II.2). Обозначим через S = C [ Z0 _, ..., Zn _] коммутативное кольцо многочленов от ( n +1) переменных Z0 _, ... , Zn _. Это кольцо градуируется по общей степени каждого многочлена:

${\displaystyle S=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{n}.}$

Определите подмножество CP ⁿ как замкнутое , если оно является множеством одновременных решений набора однородных полиномов. Объявляя дополнения к замкнутым множествам открытыми, это определяет топологию (топологию Зарисского) на CP ⁿ .

Структура как схема

Возможна и другая конструкция CP ^{n (и ее топологии Зарисского).} Пусть S ₊  ⊂  S — идеал , натянутый на однородные многочлены положительной степени:

${\displaystyle \bigoplus _{n>0}S_{n}.}$

Определим Proj S как множество всех однородных простых идеалов в S , которые не содержат S ₊ . Назовите подмножество проекта S закрытым, если оно имеет вид

${\displaystyle V(I)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid p\supseteq I\}}$

для некоторого идеала I в S . Дополнения к этим замкнутым множествам определяют топологию на Proj S . Кольцо S путем локализации в простом идеале определяет пучок локальных колец на Proj S. Пространство Proj S вместе со своей топологией и пучком локальных колец является схемой . Подмножество замкнутых точек Proj S гомеоморфно CP ⁿ с его топологией Зарисского. Локальные сечения пучка отождествляются с рациональными функциями полной степени нуль на CP ⁿ .

Линейные пучки

Все линейные расслоения в комплексном проективном пространстве можно получить с помощью следующей конструкции. Функция f  : C ^{n +1} \{0} → C называется однородной степени k , если

${\displaystyle f(\lambda z)=\lambda ^{k}f(z)}$

для всех λ ∈ C \{0 } и z ∈ Cn ⁺¹ \{0 } ^. В более общем смысле это определение имеет смысл для конусов в C ^{n +1} \{0 }. Множество V ⊂ C ^{n +1} \ {0 } называется конусом, если для любого v ∈ V λv ∈ V для всех λ ∈ C \{0 }; то есть подмножество является конусом, если оно содержит комплексную прямую, проходящую через каждую из своих точек. Если U ⊂ CP ⁿ — открытое множество (либо в аналитической топологии, либо в топологии Зарисского ), пусть V ⊂ C ^{n +1} \{0 } — конус над U : прообраз U при проекции C ^{n +1} \ {0} → CP ⁿ . Наконец, для каждого целого числа k пусть O ( k )( U ) будет набором функций, однородных степени k в V . Это определяет пучок секций определенного линейного расслоения, обозначаемый O ( k ).

В частном случае k = −1 расслоение O (−1) называется тавтологическим линейным расслоением . Это эквивалентно определяется как подгруппа продукта

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\times \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}$

слоем которого над L ∈ CP ⁿ является множество

${\displaystyle \{(x,L)\mid x\in L\}.}$

Эти расслоения также можно описать на языке делителей . Пусть H = CP ^{n −1} — заданная комплексная гиперплоскость в CP ⁿ . Пространство мероморфных функций на CP ⁿ , имеющее не более чем простой полюс вдоль H (и нигде больше), представляет собой одномерное пространство, обозначаемое O ( H ), и называемое гиперплоским расслоением . Двойственное расслоение обозначается O (− H ), а k ^-я тензорная степень O ( H ) обозначается O ( kH ). Это пучок, порожденный голоморфными кратными мероморфной функции с полюсом порядка k вдоль H . Оказывается, что

${\displaystyle O(kH)\cong O(k).}$

Действительно, если L ( z ) = 0 — линейная определяющая функция для H , то L ^{− k} — мероморфное сечение O ( k ), и локально другие сечения O ( k ) кратны этому сечению.

Поскольку H ¹ ( CP ⁿ , Z ) = 0 , линейные расслоения на CP ⁿ классифицируются с точностью до изоморфизма по своим классам Чженя , которые являются целыми числами: они лежат в H ² ( CP ⁿ , Z ) = Z . Фактически, первые классы Черна комплексного проективного пространства порождены в условиях двойственности Пуанкаре классом гомологии, ассоциированным с гиперплоскостью H . Линейное расслоение O ( kH ) имеет класс Черна k . Следовательно, каждое голоморфное линейное расслоение на CP ⁿ является тензорной степенью O ( H ) или O (− H ). Другими словами, ^группа Пикара CP n порождается как абелева группа классом гиперплоскости [ H ] (Hartshorne 1977).

Смотрите также

• Неравенство Громова для комплексного проективного пространства
• Проективное гильбертово пространство
• Кватернионное проективное пространство
• Реальное проективное пространство
• Комплексное аффинное пространство
• поверхность К3

Рекомендации

• Бесс, Артур Л. (1978), Многообразия, все геодезические которых замкнуты , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Результаты по математике и смежным областям], том. 93, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-08158-6.
• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3.
• Брендл, Саймон; Шен, Ричард (2008), «Классификация многообразий со слабо защемленной кривизной 1/4», Acta Mathematica , 200 : 1–13, arXiv : 0705.3963 , doi : 10.1007/s11511-008-0022-7, S2CID  15463483.
• Граттан-Гиннесс, Айвор (2005), Знаковые произведения в западной математике 1640–1940 гг. , Elsevier, ISBN 978-0-444-50871-3.
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, МР  1288523.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Клингенберг, Вильгельм (1982), Риманова геометрия , Вальтер де Гройтер, ISBN 978-3-11-008673-7.
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Том II , издание Wiley Classics Library, ISBN 978-0-471-15732-8.
• Милнор, Джон Уиллард ; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Princeton University Press , MR  0440554.
• фон Штаудт, Карл Георг Кристиан (1860), Beiträge zur Geometrie der Lage , Нюрнберг{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link).