Двойственность Пуанкаре

Соединяет группы гомологий и когомологий для ориентированных замкнутых многообразий.

В математике теорема двойственности Пуанкаре , названная в честь Анри Пуанкаре , является основным результатом о структуре групп гомологий и когомологий многообразий . Он утверждает, что если M - n -мерное ориентированное замкнутое многообразие ( компактное и без края), то k - я группа когомологий M изоморфна ( n − k ) -й группе гомологий M для всех целых k

${\displaystyle H^{k}(M)\cong H_{n-k}(M).}$

Двойственность Пуанкаре справедлива для любого кольца коэффициентов , если оно ориентировано относительно этого кольца коэффициентов; в частности, поскольку каждое многообразие имеет уникальную ориентацию по модулю 2, двойственность Пуанкаре выполняется по модулю 2 без каких-либо предположений об ориентации.

История

Форма двойственности Пуанкаре была впервые сформулирована без доказательства Анри Пуанкаре в 1893 году. Она была сформулирована в терминах чисел Бетти : k -е и ( n - k ) -е числа Бетти замкнутого (т. е. компактного и без края) ориентируемые n -многообразия равны. До выяснения концепции когомологий в то время оставалось около 40 лет. В своей статье 1895 года «Анализ положения» Пуанкаре попытался доказать теорему, используя изобретенную им топологическую теорию пересечений . Критика его работы со стороны Пола Хегаарда привела его к осознанию того, что его доказательство было серьезно ошибочным. В первых двух дополнениях к «Анализ положения» Пуанкаре дал новое доказательство в терминах двойственной триангуляции.

Двойственность Пуанкаре не приняла свою современную форму до появления когомологий в 1930-х годах, когда Эдуард Чех и Хасслер Уитни изобрели произведения « чашка и колпачок» и сформулировали двойственность Пуанкаре в этих новых терминах.

Современная формулировка

Современная формулировка теоремы двойственности Пуанкаре выражена в терминах гомологии и когомологии: если M — замкнутое ориентированное n -многообразие, то для любого целого числа k существует канонически определенный изоморфизм . Чтобы определить такой изоморфизм, выбирают фиксированный фундаментальный класс [ M ] из M , который будет существовать, если он ориентирован. Тогда изоморфизм определяется путем сопоставления элемента с произведением ограничения . ^[1] ${\displaystyle H^{k}(M,\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha \in H^{k}(M)}$ ${\displaystyle [M]\frown \alpha }$

Группы гомологии и когомологии определяются как равные нулю для отрицательных степеней, поэтому двойственность Пуанкаре, в частности, означает, что группы гомологии и когомологий ориентируемых замкнутых n -многообразий равны нулю для степеней, больших n .

Здесь гомологии и когомологии целы, но изоморфизм остается справедливым над любым кольцом коэффициентов. В случае, когда ориентированное многообразие некомпактно, гомологию приходится заменять гомологиями Бореля–Мура.

${\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}^{BM}(X),}$

или заменить когомологии когомологиями с компактным носителем

${\displaystyle H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}(X).}$

Двухклеточные структуры

Для триангулированного многообразия существует соответствующее двойственное многогранное разложение. Двойственное многогранное разложение - это клеточное разложение многообразия, такое, что k -клетки двойственного многогранного разложения находятся в биективном соответствии с ( ) -ячейками триангуляции, обобщая понятие двойственных многогранников . ${\displaystyle n-k}$

${\displaystyle \cup _{S\in T}\Delta \cap DS}$– изображение частей двойных ячеек в многомерном симплексе.

Точнее, пусть T — триангуляция n -многообразия M . Пусть S — симплекс T . Позвольте быть верхнемерным симплексом T , содержащим S , поэтому мы можем думать о S как о подмножестве вершин . Определите двойственную ячейку DS, соответствующую S, так, чтобы она была выпуклой оболочкой барицентров всех подмножеств вершин, содержащих . Можно проверить, что если S i -мерна , то DS является ( n − i ) -мерной клеткой. Более того, двойственные к T ячейки образуют CW-разложение M , и единственной ( )-мерной двойственной ячейкой, которая пересекает i -клетку S, является DS . Таким образом, спаривание , заданное путем пересечения, индуцирует изоморфизм , где – клеточные гомологии триангуляции T , и – клеточные гомологии и когомологии двойственного многогранника/CW, разлагающего многообразие соответственно. Тот факт, что это изоморфизм цепных комплексов , является доказательством двойственности Пуанкаре. Грубо говоря, это сводится к тому, что граничное отношение для триангуляции T является отношением инцидентности для двойственного многогранного разложения при соответствии . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta \cap DS}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n-i}$ ${\displaystyle C_{i}M\otimes C_{n-i}M\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle C_{i}M\to C^{n-i}M}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{n-i}M}$ ${\displaystyle C^{n-i}M}$ ${\displaystyle S\longmapsto DS}$

Естественность

Обратите внимание, что является контравариантным функтором , а является ковариантным . Семейство изоморфизмов ${\displaystyle H^{k}}$ ${\displaystyle H_{n-k}}$

${\displaystyle D_{M}\colon H^{k}(M)\to H_{n-k}(M)}$

естественно в следующем смысле: если

${\displaystyle f\colon M\to N}$

является непрерывным отображением между двумя ориентированными n -многообразиями, которое совместимо с ориентацией, т. е. которое отображает фундаментальный класс M в фундаментальный класс N , тогда

${\displaystyle D_{N}=f_{*}\circ D_{M}\circ f^{*},}$

где и – отображения, индуцированные в гомологиях и когомологиях соответственно. ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

Обратите внимание на очень сильную и решающую гипотезу, которая сопоставляет фундаментальный класс M с фундаментальным классом N. Естественность не справедлива для произвольного непрерывного отображения , так как, вообще говоря, не является инъекцией в когомологии. Например, если это покрывающая карта, то она отображает фундаментальный класс M в кратный фундаментальному классу N . Это кратное является степенью карты . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Формулировка билинейных пар

Предполагая, что многообразие M компактно, не имеет границ и ориентируемо , пусть

${\displaystyle \tau H_{i}M}$

обозначим периодическую подгруппу и пусть ${\displaystyle H_{i}M}$

${\displaystyle fH_{i}M=H_{i}M/\tau H_{i}M}$

свободная часть – все группы гомологии , взятые с целыми коэффициентами в этом разделе. Кроме того, существуют билинейные отображения , которые представляют собой пары двойственности (поясняется ниже).

${\displaystyle fH_{i}M\otimes fH_{n-i}M\to \mathbb {Z} }$

и

${\displaystyle \tau H_{i}M\otimes \tau H_{n-i-1}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$.

Вот частное рациональных чисел на целые числа, взятые как аддитивная группа. Обратите внимание, что в форме торсионного зацепления в измерении есть -1, поэтому сумма парных измерений равна n - 1 , а не n . ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

Первую форму обычно называют произведением пересечения , а вторую — формой торсионного зацепления . Предполагая, что многообразие M гладкое, произведение пересечений вычисляется путем преобразования классов гомологии в трансверсальные и вычисления их ориентированного числа пересечений. Для формы торсионного зацепления вычисляется спаривание x и y , реализуя nx как границу некоторого класса z . Затем форма принимает значение, равное дроби, числителем которой является число поперечного пересечения z с y , а знаменателем является n .

Утверждение о том, что спаривания являются парами двойственности, означает, что сопряженные отображения

${\displaystyle fH_{i}M\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{n-i}M,\mathbb {Z} )}$

и

${\displaystyle \tau H_{i}M\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(\tau H_{n-i-1}M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$

являются изоморфизмами групп.

Этот результат является применением двойственности Пуанкаре.

${\displaystyle H_{i}M\simeq H^{n-i}M}$,

вместе с теоремой об универсальных коэффициентах , которая дает отождествление

${\displaystyle fH^{n-i}M\equiv \mathrm {Hom} (H_{n-i}M;\mathbb {Z} )}$

и

${\displaystyle \tau H^{n-i}M\equiv \mathrm {Ext} (H_{n-i-1}M;\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{n-i-1}M;\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$.

Таким образом, двойственность Пуанкаре утверждает, что и изоморфны, хотя естественного отображения, дающего изоморфизм, не существует, и аналогично и также изоморфны, хотя и неестественно. ${\displaystyle fH_{i}M}$ ${\displaystyle fH_{n-i}M}$ ${\displaystyle \tau H_{i}M}$ ${\displaystyle \tau H_{n-i-1}M}$

Среднее измерение

В то время как для большинства измерений двойственность Пуанкаре индуцирует билинейное спаривание между различными группами гомологий, в среднем измерении она индуцирует билинейную форму в одной группе гомологий. Полученная форма пересечения является очень важным топологическим инвариантом.

Что подразумевается под «средним измерением», зависит от паритета. Для четного измерения n = 2 k , которое встречается чаще, это буквально среднее измерение k , а на свободной части средней гомологии имеется форма:

${\displaystyle fH_{k}M\otimes fH_{k}M\to \mathbb {Z} }$

Напротив, для нечетного измерения n = 2 k + 1 , которое обсуждается реже, проще всего использовать нижнее среднее измерение k , и на торсионной части гомологии в этом измерении есть форма:

${\displaystyle \tau H_{k}M\otimes \tau H_{k}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Однако существует также спаривание между свободной частью гомологии в нижнем среднем измерении k и в верхнем среднем измерении k + 1 :

${\displaystyle fH_{k}M\otimes fH_{k+1}M\to \mathbb {Z} .}$

Полученные группы, хотя и не представляют собой единую группу с билинейной формой, представляют собой простой цепной комплекс и изучаются в алгебраической L-теории .

Приложения

Этот подход к двойственности Пуанкаре был использован Юзефом Пшитицким и Акирой Ясухарой, чтобы дать элементарную классификацию гомотопий и диффеоморфизмов трехмерных линзовых пространств . ^[2]

Приложение к эйлеровым характеристикам

Непосредственным результатом двойственности Пуанкаре является то, что любое замкнутое нечетномерное многообразие M имеет нулевую эйлерову характеристику , что, в свою очередь, дает, что любое ограничивающее многообразие имеет четную эйлерову характеристику.

Формулировка изоморфизма Тома

Двойственность Пуанкаре тесно связана с теоремой Тома об изоморфизме . Пусть — компактное ориентированное n -многообразие без границ, а M × M — произведение M на себя. Пусть V — открытая трубчатая окрестность диагонали в M × M . Рассмотрим карты: ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle H_{*}M\otimes H_{*}M\to H_{*}(M\times M)}$векторное произведение гомологии
• ${\displaystyle H_{*}(M\times M)\to H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)}$включение.
• ${\displaystyle H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)\to H_{*}(\nu M,\partial \nu M)}$ карта вырезания где - нормальный пучок дисков диагонали в . ${\displaystyle \nu M}$ ${\displaystyle M\times M}$
• ${\displaystyle H_{*}(\nu M,\partial \nu M)\to H_{*-n}M}$изоморфизм Тома . Это отображение четко определено, поскольку существует стандартная идентификация , представляющая собой ориентированное расслоение, поэтому применяется изоморфизм Тома. ${\displaystyle \nu M\equiv TM}$

В совокупности это дает карту , которая является продуктом пересечения , обобщающим продукт пересечения, обсуждавшийся выше. Аналогичный аргумент с теоремой Кюннета дает форму торсионного зацепления . ${\displaystyle H_{i}M\otimes H_{j}M\to H_{i+j-n}M}$

Эта формулировка двойственности Пуанкаре стала популярной ^[3] , поскольку она определяет двойственность Пуанкаре для любой обобщенной теории гомологии с учетом теоремы Кюннета и изоморфизма Тома для этой теории гомологии. Теорема Тома об изоморфизме для теории гомологии теперь рассматривается как обобщенное понятие ориентируемости этой теории. Например, спиновая ^C -структура на многообразии является точным аналогом ориентации в комплексной топологической k-теории .

Обобщения и связанные с ними результаты

Теорема двойственности Пуанкаре –Лефшеца является обобщением многообразий с краем. В неориентируемом случае, учитывая пучок локальных ориентаций, можно дать утверждение, не зависящее от ориентируемости: см. скрученную двойственность Пуанкаре .

Двойственность Бланчфилда — это версия двойственности Пуанкаре, которая обеспечивает изоморфизм между гомологиями абелева накрывающего многообразия и соответствующими когомологиями с компактными носителями. Он используется для получения основных структурных результатов о модуле Alexander и может использоваться для определения сигнатур узла .

С развитием теории гомологии , включающей K-теорию и другие необычные теории примерно с 1955 года, стало понятно, что гомологии могут быть заменены другими теориями, как только произведения на многообразиях будут построены; и теперь в целом существуют учебники по лечению. Более конкретно, существует общая теорема двойственности Пуанкаре для обобщенной теории гомологии , которая требует понятия ориентации относительно теории гомологии и формулируется в терминах обобщенной теоремы Тома об изоморфизме . Теорему Тома об изоморфизме в этом отношении можно рассматривать как основную идею двойственности Пуанкаре для обобщенных теорий гомологии. ${\displaystyle H'_{*}}$

Двойственность Вердье является подходящим обобщением для (возможно, сингулярных ) геометрических объектов, таких как аналитические пространства или схемы , в то время как гомология пересечений была разработана Робертом Макферсоном и Марком Горески для стратифицированных пространств , таких как вещественные или комплексные алгебраические многообразия, именно для того, чтобы обобщить Пуанкаре. двойственность к таким стратифицированным пространствам.

В алгебраической топологии существует множество других форм геометрической двойственности , включая двойственность Лефшеца , двойственность Александера , двойственность Ходжа и S-дуальность .

С более алгебраической точки зрения можно абстрагировать понятие комплекса Пуанкаре , который представляет собой алгебраический объект, который ведет себя как сингулярный цепной комплекс многообразия, в частности удовлетворяя двойственности Пуанкаре на его группах гомологий, относительно выделенного элемента (соответствующего фундаментальному классу ). Они используются в теории хирургии для алгебраизации вопросов о многообразиях. Пространство Пуанкаре — это пространство, сингулярный цепной комплекс которого является комплексом Пуанкаре. Это не все многообразия, но их неспособность быть многообразиями можно измерить с помощью теории препятствий .

Смотрите также

• Разложение Брюа
• Фундаментальный класс
• Группа Вейля

Рекомендации

1. Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 9780521795401. МР  1867354.
2. Пшитицкий, Юзеф Х .; Ясухара, Акира (2003), «Симметрия связей и классификация пространств линз», Geometriae Dedicata , 98 (1): 57–61, doi : 10.1023/A: 1024008222682, MR  1988423, S2CID  14601373
3. Рудяк, Юлий (1998). О спектрах Тома, ориентируемости и кобордизме . Монографии Спрингера по математике. С предисловием Хейнса Миллера . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-62043-5. МР  1627486.

дальнейшее чтение

• Бланчфилд, Ричард К. (1957), «Теория пересечения многообразий с операторами с приложениями к теории узлов», Annals of Mathematics , 65 (2): 340–356, doi : 10.2307/1969966, JSTOR  1969966, MR  0085512
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Классическая библиотека Wiley, Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9, МР  1288523

Внешние ссылки

• Форма пересечения в Атласе многообразия
• Форма связи в Атласе многообразия