Двойственность Лефшеца

Топологическая двойственность

В математике двойственность Лефшеца является версией двойственности Пуанкаре в геометрической топологии , применяемой к многообразию с границей . Такая формулировка была введена Соломоном Лефшецем  (1926), одновременно вводящим относительную гомологию , для применения к теореме Лефшеца о неподвижной точке . ^[1] В настоящее время существует множество формулировок двойственности Лефшеца или двойственности Пуанкаре–Лефшеца , или двойственности Александера–Лефшеца .

Формулировки

Пусть M — ориентируемое компактное многообразие размерности n с границей , и пусть — фундаментальный класс многообразия M . Тогда произведение с z (или его двойственным классом в когомологиях) индуцирует спаривание групп (ко)гомологий M и относительных (ко)гомологий пары . Более того, это приводит к изоморфизмам с , и с для всех . ^[2] ${\displaystyle \partial (M)}$ ${\displaystyle z\in H_{n}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (M,\partial (M))}$ ${\displaystyle H^{k}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H_{k}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{n-k}(M;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle k}$

Здесь на самом деле может быть пусто, поэтому двойственность Пуанкаре представляется как частный случай двойственности Лефшеца. ${\displaystyle \partial (M)}$

Есть версия для троек. Разложим на подпространства A и B , которые сами являются компактными ориентируемыми многообразиями с общей границей Z , которая является пересечением A и B . Тогда для каждого существует изоморфизм ^[3] ${\displaystyle \partial (M)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle D_{M}\colon H^{k}(M,A;\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M,B;\mathbb {Z} ).}$

Примечания

1. Биографические мемуары сотрудников Национального исследовательского совета (1992), стр. 297.
2. Вик, Джеймс У. (1994). Теория гомологии: Введение в алгебраическую топологию . стр. 171.
3. Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Кембридж: Cambridge University Press . стр. 254. ISBN 0-521-79160-X.

Ссылки

• "Двойственность Лефшеца", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Лефшец, Соломон (1926), «Преобразования многообразий с границей», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 12 (12), Национальная академия наук: 737–739, Bibcode : 1926PNAS...12..737L, doi : 10.1073/pnas.12.12.737 , ISSN  0027-8424, JSTOR  84764, PMC  1084792 , PMID  16587146