Период (алгебраическая геометрия)

Числа, выражаемые в виде интегралов от алгебраических функций

В алгебраической геометрии период — это число , которое можно выразить как интеграл от алгебраической функции в алгебраической области . Суммы и произведения периодов остаются периодами, так что периоды образуют кольцо .

Максим Концевич и Дон Загер дали обзор периодов и высказали некоторые предположения о них. ^[1] Периоды также возникают при вычислении интегралов, возникающих из диаграмм Фейнмана , и была проведена интенсивная работа, направленная на понимание связей. ^[2]

Определение

Действительное число является точкой, если оно имеет вид

${\displaystyle \int _{P(x,y,z,\ldots )\geq 0}Q(x,y,z,\ldots )\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z\ldots }$

где – многочлен и рациональная функция с рациональными коэффициентами .​ Комплексное число является периодом, если его действительная и мнимая части являются периодами. ^[3] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Альтернативное определение позволяет и быть алгебраическими функциями ; ^[4] это выглядит более общим, но эквивалентно. Коэффициенты рациональных функций и многочленов также можно обобщить до алгебраических чисел, поскольку иррациональные алгебраические числа выражаются через площади подходящих областей. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

В другом направлении можно ограничиться постоянной функцией или , заменив подынтегральную функцию интегралом от по области, определенной полиномом от дополнительных переменных. Другими словами, (неотрицательный) период — это объём региона, определяемый полиномиальным неравенством . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Примеры

Помимо алгебраических чисел, периодами являются следующие числа:

• Натуральный логарифм любого положительного алгебраического числа a , которое ${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x}$
• π ${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {4}{x^{2}+1}}\ \mathrm {d} x}$
• Эллиптические интегралы с рациональными аргументами
• Все дзета-константы ( дзета-функция Римана целого числа ) и множественные значения дзета.
• Специальные значения гипергеометрических функций при алгебраических аргументах
• Γ ( p / q ) ^q для натуральных чисел p и q .

Примером действительного числа, не являющегося периодом, является константа Чайтина Ω . Любое другое невычислимое число также является примером действительного числа, не являющегося точкой. В настоящее время не существует естественных примеров вычислимых чисел , которые, как было доказано, не являются периодами, однако можно построить искусственные примеры. ^[5] К вероятным кандидатам на числа, не являющиеся периодами, относятся e , 1/ π и константа Эйлера–Машерони γ .

Свойства и мотивация

Периоды предназначены для преодоления разрыва между алгебраическими числами и трансцендентными числами . Класс алгебраических чисел слишком узок, чтобы включать в себя многие общие математические константы , в то время как множество трансцендентных чисел не счетно , а его члены вообще не вычислимы .

Множество всех периодов счетно, и все периоды вычислимы ^[6] и, в частности, определимы .

Догадки

Многие из констант, известных как периоды, также задаются интегралами трансцендентных функций . Концевич и Загер отмечают, что «похоже, не существует универсального правила, объясняющего, почему определенные бесконечные суммы или интегралы трансцендентных функций являются периодами».

Концевич и Загер предположили, что если период задан двумя разными интегралами, то каждый интеграл можно преобразовать в другой, используя только линейность интегралов (как в подынтегральном выражении, так и в области определения), замены переменных и закон Ньютона – Лейбница. формула

${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)}$

(или, в более общем смысле, формула Стокса ).

Полезным свойством алгебраических чисел является то, что равенство между двумя алгебраическими выражениями можно определить алгоритмически. Гипотеза Концевича и Загира подразумевала бы, что равенство периодов также разрешимо: известно, что неравенство вычислимых вещественных чисел рекурсивно перечислимо ; и наоборот, если два интеграла совпадают, то алгоритм может подтвердить это, испробовав все возможные способы преобразования одного из них в другой.

Предполагается, что число Эйлера e и константа Эйлера – Маскерони γ не являются периодами.

Обобщения

Периоды можно расширить до экспоненциальных периодов , если подынтегральная функция будет произведением алгебраической функции и экспоненты алгебраической функции. Это расширение включает в себя все алгебраические степени e , гамма-функцию рациональных аргументов и значения функций Бесселя . ${\displaystyle Q}$

Концевич и Загер предполагают, что существуют «указатели» на то, что периоды можно естественным образом обобщить еще больше, включив в них константу Эйлера γ. Благодаря этому включению «все классические константы являются периодами в соответствующем смысле».

Смотрите также

• Якобианская разновидность
• Связь Гаусса – Манина
• Смешанные мотивы (математика)
• Таннакский формализм

Рекомендации

• Концевич Максим ; Загер, Дон (2001). «Периоды» (PDF) . В Энгквисте, Бьорн; Шмид, Вильфрид (ред.). Математика без ограничений — 2001 год и далее . Берлин, Нью-Йорк: Springer . стр. 771–808. ISBN 9783540669135. МР  1852188.

• Марколли, Матильда (2010). «Фейнмановские интегралы и мотивы». Европейский математический конгресс . Евро. Математика. Соц. Цюрих. стр. 293–332. arXiv : 0907.0321 .

Сноски

1. Концевич и Загер 2001.
2. Марколли 2010.
3. Концевич и Загер 2001, с. 3.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Периоды». WolframMathWorld (Wolfram Research) . Проверено 19 июня 2019 г.
5. Ёсинага, Масахико (3 мая 2008 г.). «Периоды и элементарные действительные числа». arXiv : 0805.0349 [math.AG].
6. Палатка, Катрин ; Зиглер, Мартин (2010). «Вычислимые функции действительных чисел» (PDF) . Мюнстерский математический журнал . 3 : 43–66.

дальнейшее чтение

• Белкале, Пракаш; Броснан, Патрик (2003), «Периоды и локальные дзета-функции Игузы», Международные уведомления о математических исследованиях , 2003 (49): 2655–2670, doi : 10.1155/S107379280313142X , ISSN  1073-7928, MR  2012522
• Вальдшмидт, Мишель (2006), «Трансцендентность периодов: современное состояние» (PDF) , Pure and Applied Mathematics Quarterly , 2 (2): 435–463, doi : 10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a3 , ISSN  1558-8599, МР  2251476

Внешние ссылки

• ПланетаМатематика: Период