Комплексное многообразие

Голоморфные карты

В дифференциальной геометрии и комплексной геометрии комплексное многообразие — это многообразие с атласом карт открытого единичного диска ^[1] в , такое, что отображения перехода голоморфны . $\mathbb {C} ^{n}$

Термин «комплексное многообразие» по-разному используется для обозначения комплексного многообразия в указанном выше смысле (которое можно определить как интегрируемое комплексное многообразие) и почти комплексного многообразия .

Последствия сложной структуры

Поскольку голоморфные функции гораздо более жесткие, чем гладкие функции , теории гладких и комплексных многообразий имеют совершенно разные оттенки: компактные комплексные многообразия гораздо ближе к алгебраическим многообразиям , чем к дифференцируемым многообразиям.

Например, теорема вложения Уитни говорит нам, что любое гладкое n -мерное многообразие может быть вложено как гладкое подмногообразие R ^{2 n} , тогда как комплексное многообразие «редко» имеет голоморфное вложение в C ⁿ . Рассмотрим, например, любое компактное связное комплексное многообразие M : любая голоморфная функция на нем постоянна по принципу максимума модуля . ^{Теперь, если бы у} нас было голоморфное вложение M в Cn , то координатные функции Cn ограничились бы непостоянными голоморфными функциями на M , что противоречило бы компактности, за исключением случая, когда ^M — просто точка. Комплексные многообразия, которые можно вложить в Cn ^, называются многообразиями Штейна и образуют особый класс многообразий, включающий, например, гладкие комплексные аффинные алгебраические многообразия.

Классификация комплексных многообразий гораздо более тонкая, чем классификация дифференцируемых многообразий. Например, хотя в размерностях, отличных от четырех, данное топологическое многообразие имеет не более конечного числа гладких структур , топологическое многообразие, поддерживающее сложную структуру, может поддерживать и часто поддерживает бесчисленное множество сложных структур. Важным примером этого явления являются римановы поверхности , двумерные многообразия, обладающие сложной структурой, которые топологически классифицируются по родам . Множество комплексных структур на данной ориентируемой поверхности по модулю биголоморфной эквивалентности само образует комплексное алгебраическое многообразие, называемое пространством модулей , структура которого остается областью активных исследований.

Поскольку отображения перехода между картами биголоморфны, комплексные многообразия, в частности, гладкие и канонически ориентированные (а не просто ориентируемые : биголоморфное отображение в (подмножество) C ⁿ дает ориентацию, поскольку биголоморфные отображения сохраняют ориентацию).

Примеры комплексных многообразий

Римановы поверхности .
Многообразия Калаби–Яу .
Декартово произведение двух комплексных многообразий.
Прообраз любого некритического значения голоморфного отображения.

Гладкие комплексные алгебраические многообразия

Гладкие комплексные алгебраические многообразия представляют собой комплексные многообразия, в том числе:

Комплексные векторные пространства.
Комплексные проективные пространства , ^[2] P ⁿ ( C ).
Комплексные грассманианы .
Комплексные группы Ли, такие как GL( n , C ) или Sp( n , C ).

Просто подключено

Односвязные одномерные комплексные многообразия изоморфны либо:

Δ, единичный круг в C
C , комплексная плоскость
Ĉ , сфера Римана

Обратите внимание, что между ними есть включения как ∆ ⊆ C ⊆ Ĉ , но по теореме Лиувилля нет непостоянных голоморфных отображений в другом направлении .

Диск против пространства против полидиска

Следующие пространства отличаются от комплексных многообразий, демонстрируя более жесткий геометрический характер комплексных многообразий (по сравнению с гладкими):

сложное пространство . $\mathbb {C} ^{n}$
единичный диск или открытый шар

\left\{z\in \mathbb {C} ^{n}:\|z\|<1\right\}.

полидиск _

\left\{z=(z_{1},\dots,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:\vert z_{j}\vert <1\ \forall j= 1,\точки,n\вправо\}.

Почти сложные конструкции

Почти комплексная структура на вещественном 2n-многообразии является GL( n , C )-структурой (в смысле G-структур ) – то есть касательное расслоение снабжено линейной комплексной структурой .

Конкретно, это эндоморфизм касательного расслоения , квадрат которого равен − I ; этот эндоморфизм аналогичен умножению на мнимое число i и обозначается J (во избежание путаницы с единичной матрицей I ). Почти комплексное многообразие обязательно четномерно.

Почти сложная структура слабее сложной: любое комплексное многообразие имеет почти сложную структуру, но не всякая почти сложная структура возникает из сложной структуры. Обратите внимание, что каждое четномерное вещественное многообразие имеет почти сложную структуру, определяемую локально из карты локальных координат. Вопрос в том, можно ли определить эту почти сложную структуру глобально. Почти сложная структура, возникающая из сложной структуры, называется интегрируемой , и когда кто-то хочет определить сложную структуру в отличие от почти сложной структуры, говорят об интегрируемой сложной структуре. Для интегрируемых комплексных структур исчезает так называемый тензор Нийенхейса . Этот тензор определяется на парах векторных полей X , Y следующим образом:

N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]\ .

Например, 6-мерная сфера S 6 имеет естественную почти сложную структуру, возникающую из-за того, что она является ортогональным дополнением i в единичной ^сфере октонионов , но это не сложная структура. (Вопрос о том, имеет ли оно комплексную структуру , известен как проблема Хопфа в честь Хайнца Хопфа [ ^3] ). Используя почти комплексную структуру, мы можем разобраться в голоморфных отображениях и задаться вопросом о существовании голоморфных координат на многообразии. Существование голоморфных координат эквивалентно утверждению, что многообразие является комплексным (именно это и говорит определение карты).

Тензорируя касательное расслоение комплексными числами, мы получаем комплексифицированное касательное расслоение, умножение которого на комплексные числа имеет смысл (даже если мы начали с вещественного многообразия). Собственные значения почти комплексной структуры равны ± i , а собственные пространства образуют подрасслоения, обозначаемые T ^0,1M и T ^1,0M . Теорема Ньюлендера -Ниренберга показывает, что почти комплексная структура на самом деле является комплексной структурой именно тогда, когда эти подрасслоения инволютивны , т. е. замкнуты относительно скобки Ли векторных полей, и такая почти комплексная структура называется интегрируемой .

Многообразия Кэлера и Калаби–Яу

Можно определить аналог римановой метрики для комплексных многообразий, называемый эрмитовой метрикой . Подобно римановой метрике, эрмитова метрика состоит из плавно меняющегося положительно определенного скалярного произведения на касательном расслоении, которое является эрмитовым относительно комплексной структуры касательного пространства в каждой точке. Как и в римановом случае, такие метрики всегда существуют в изобилии на любом комплексном многообразии. Если кососимметричная часть такой метрики симплектическая , т. е. замкнутая и невырожденная, то метрика называется кэлеровой . Структуры Кэлера гораздо сложнее найти, и они гораздо более жесткие.

Примеры кэлеровых многообразий включают гладкие проективные многообразия и, в более общем смысле, любое комплексное подмногообразие кэлерова многообразия. Многообразия Хопфа являются примерами комплексных многообразий, не являющихся кэлеровыми. Чтобы построить его, возьмите комплексное векторное пространство за вычетом начала координат и рассмотрим действие группы целых чисел в этом пространстве путем умножения на exp( n ). Фактор представляет собой комплексное многообразие, первое число Бетти которого равно единице, поэтому по теории Ходжа оно не может быть кэлером.

Многообразие Калаби–Яу можно определить как компактное Риччи-плоское кэлерово многообразие или, что то же самое, то, у которого первый класс Чженя обращается в нуль.

Смотрите также

Сноски

^ В качестве модельного пространства необходимо использовать открытый единичный диск, а не потому, что они не изоморфны, в отличие от реальных многообразий. $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$
^ Это означает, что все комплексные проективные пространства ориентируемы , в отличие от реального случая
^ Агрикола, Илька ; Баццони, Джованни; Герчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «К истории проблемы Хопфа». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . doi :10.1016/j.difgeo.2017.10.014. S2CID 119297359.