В математике , особенно в дифференциальной топологии , существуют две теоремы вложения Уитни, названные в честь Хасслера Уитни :
Слабое вложение Уитни доказывается с помощью проекционного аргумента.
Когда многообразие компактно , можно сначала использовать покрытие конечным числом локальных карт, а затем уменьшить размерность с помощью подходящих проекций. [1] : Гл. 1 §3 [2] : Гл. 6 [3] : Гл. 5 §3
Общая схема доказательства состоит в том, чтобы начать с погружения с поперечными самопересечениями. Их существование известно из более ранних работ Уитни по теореме слабого погружения . Трансверсальность двойных точек следует из аргументов общего положения. Идея состоит в том, чтобы потом каким-то образом убрать все самопересечения. Если M имеет границу, можно удалить самопересечения, просто изотопируя M в себя (изотопия находится в области f ) в подмногообразие M , которое не содержит двойных точек. Таким образом, мы быстро приходим к случаю, когда M не имеет границы. Иногда невозможно удалить двойные точки с помощью изотопии — рассмотрим, например, погружение круга в плоскость в форме восьмерки. В этом случае необходимо ввести локальную двойную точку.
Если у человека есть две противоположные двойные точки, он строит замкнутый контур, соединяющий их, давая замкнутый путь в Поскольку просто связан , можно предположить, что этот путь ограничивает диск, и при условии 2 m > 4 можно дополнительно предположить (по слабой теореме вложения Уитни ), что диск вложен в так , что он пересекает образ M только на его границе. Затем Уитни использует диск для создания однопараметрического семейства погружений, фактически перемещая M по диску, удаляя при этом две двойные точки. В случае погружения в форме восьмерки с введенной двойной точкой перемещение поперек довольно простое (на фото).
Этот процесс устранения двойных точек противоположного знака путем перемещения многообразия по диску называется трюком Уитни .
Чтобы ввести локальную двойную точку, Уитни создала погружения , которые приблизительно линейны за пределами единичного шара, но содержат одну двойную точку. Для m = 1 такое погружение определяется формулой
Обратите внимание: если α рассматривается как отображение в следующимобразом
тогда двойную точку можно разрешить вложением:
Обратите внимание: β( t , 0) = α( t ) , а для a ≠ 0 тогда как функция от t β ( t , a ) является вложением.
Для более высоких размерностей m существуют α m , которые могут быть решены аналогичным образом в . Например , для вложения в определим
Этот процесс в конечном итоге приводит к определению:
где
Ключевыми свойствами α m является то, что это вложение, за исключением двойной точки α m (1, 0, ..., 0) = α m (−1, 0, ..., 0) . Более того, для |( т 1 , ... , т м )| большой, это примерно линейное вложение (0, t 1 , 0, t 2 , ... , 0, t m ) .
Уловка Уитни была использована Стивеном Смейлом для доказательства теоремы о h -кобордизме ; откуда следует гипотеза Пуанкаре в размерностях m ≥ 5 и классификация гладких структур на дисках (также в размерностях 5 и выше). Это обеспечивает основу теории хирургии , которая классифицирует многообразия в размерности 5 и выше.
Учитывая два ориентированных подмногообразия дополнительных размерностей в односвязном многообразии размерности ≥ 5, можно применить изотопию к одному из подмногообразий так, чтобы все точки пересечения имели одинаковый знак.
Говорят (довольно неожиданно) , что доказательство Хасслером Уитни теоремы вложения для гладких многообразий стало первым полным изложением концепции многообразия именно потому, что оно объединило и объединило различные концепции многообразий того времени: уже не существовала ли какая-либо путаница относительно того, были ли абстрактные многообразия, внутренне определенные через карты, более или менее общими, чем многообразия, внешне определяемые как подмногообразия евклидова пространства. См. также историю многообразий и разновидностей для контекста.
Хотя любое n -многообразие вкладывается в , часто можно добиться большего. Пусть e ( n ) обозначает наименьшее целое число, так что все компактные связные n -многообразия вкладываются в Сильная теорема вложения Уитни e ( n ) ≤ 2 n . Для n = 1, 2 имеем e ( n ) = 2n , как показывают окружность и бутылка Клейна . В более общем смысле, для n = 2 k мы имеем e ( n ) = 2 n , как показывает 2 k -мерное реальное проективное пространство . Результат Уитни можно улучшить до e ( n ) ≤ 2 n − 1, если только n не является степенью 2. Это результат Андре Хефлигера и Морриса Хирша (для n > 4 ) и CTC Wall (для n = 3 ); эти авторы использовали важные предварительные результаты и частные случаи, доказанные Хиршем, Уильямом С. Мэсси , Сергеем Новиковым и Владимиром Рохлиным . [4] В настоящее время функция e не известна в замкнутой форме для всех целых чисел (сравните с теоремой погружения Уитни , где известно аналогичное число).
Усилить результаты можно, наложив на многообразие дополнительные ограничения. Например, n -сфера всегда вкладывается в – что является наилучшим возможным (замкнутые n -многообразия не могут вкладываться в ) . Любая компактная ориентируемая поверхность и любая компактная поверхность с непустой границей вкладывается в , хотя любая замкнутая неориентируемая поверхность требует
Если N — компактное ориентируемое n -мерное многообразие, то N вкладывается в ( для n, не являющегося степенью 2, условие ориентируемости является излишним). Для n степени 2 это результат Андре Хефлигера и Морриса Хирша (для n > 4 ) и Фуцюана Фанга (для n = 4 ); эти авторы использовали важные предварительные результаты, доказанные Жаком Боша и Хефлигером, Саймоном Дональдсоном , Хиршем и Уильямом С. Мэсси . [4] Хефлигер доказал, что если N — компактное n -мерное k -связное многообразие, то N вкладывается в при условии 2 k + 3 ⩽ n . [4]
Относительно «простой» результат — доказать, что любые два вложения 1-многообразия в изотопны (см. Теория узлов#Высшие измерения ). Это доказывается с использованием общего положения, которое также позволяет показать, что любые два вложения n -многообразия в изотопны . Этот результат представляет собой изотопическую версию слабой теоремы вложения Уитни.
Ву доказал, что при n ≥ 2 любые два вложения n -многообразия в изотопны . Этот результат представляет собой изотопическую версию сильной теоремы вложения Уитни.
В качестве изотопической версии своего результата о вложении Хэфлигер доказал, что если N — компактное n -мерное k -связное многообразие, то любые два вложения N в изотопны при условии, что 2 k + 2 ≤ n . Ограничение размерности 2 k + 2 ≤ n является точным: Хефлигер далее привел примеры нетривиально вложенных 3-сфер в ( и, в более общем смысле, (2 d − 1) -сфер в ) . См. дальнейшие обобщения.