функция Грина

Импульсный отклик неоднородного линейного дифференциального оператора

Если известно решение дифференциального уравнения с точечным источником и дифференциальный оператор линеен, то можно соединить их, чтобы построить решение для общего источника . ${\textstyle G(x,x')}$ ${\textstyle {\hat {L}}(x)G(x,x')=\delta (x-x')}$ ${\textstyle {\hat {L}}(x)}$ ${\textstyle u(x)=\int f(x')G(x,x')\,dx'}$ ${\textstyle {\hat {L}}(x)u(x)=f(x)}$

В математике функция Грина — это импульсная характеристика неоднородного линейного дифференциального оператора , определенного в области с заданными начальными или граничными условиями.

Это означает, что если – линейный дифференциальный оператор, то ${\displaystyle \operatorname {L} }$

• функция Грина является решением уравнения , где – дельта-функция Дирака ; ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {L} G=\delta }$ ${\displaystyle \delta }$
• решением начальной задачи является свертка ( ). ${\displaystyle \operatorname {L} y=f}$ ${\displaystyle G\ast f}$

С помощью принципа суперпозиции , учитывая линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) , можно сначала решить для каждого s и понимая, что, поскольку источником является сумма дельта-функций , решение также является суммой функций Грина, по линейности L . ${\displaystyle \operatorname {L} y=f}$ ${\displaystyle \operatorname {L} G=\delta _{s}}$

Функции Грина названы в честь британского математика Джорджа Грина , который впервые разработал эту концепцию в 1820-х годах. В современном исследовании линейных уравнений в частных производных функции Грина изучаются в основном с точки зрения фундаментальных решений .

В рамках теории многих тел этот термин также используется в физике , особенно в квантовой теории поля , аэродинамике , аэроакустике , электродинамике , сейсмологии и статистической теории поля , для обозначения различных типов корреляционных функций , даже тех, которые не соответствуют математическому определению. . В квантовой теории поля функции Грина играют роль пропагаторов .

Определение и использование

Функция Грина G ( x , s ) линейного дифференциального оператора , действующего на распределения по подмножеству евклидова пространства в точке s , представляет собой любое решение ${\displaystyle \operatorname {L} =\operatorname {L} (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

где δ — дельта-функция Дирака . Это свойство функции Грина можно использовать для решения дифференциальных уравнений вида

Если ядро ​​L нетривиально, то функция Грина не единственна . Однако на практике некоторая комбинация симметрии , граничных условий и/или других внешних критериев даст уникальную функцию Грина. Функции Грина можно классифицировать по типу удовлетворяемых граничных условий по номеру функции Грина . Кроме того, функции Грина в целом являются распределениями , а не обязательно функциями действительной переменной.

Функции Грина также являются полезными инструментами при решении волновых уравнений и уравнений диффузии . В квантовой механике функция Грина гамильтониана является ключевым понятием, имеющим важные связи с понятием плотности состояний .

Вместо этого функция Грина, используемая в физике, обычно определяется с противоположным знаком. То есть,

$${\displaystyle \operatorname {L} \,G(x,s)=\delta (x-s)~.}$$

Если оператор является трансляционно-инвариантным , то есть имеет постоянные коэффициенты по отношению к x , то функцию Грина можно считать ядром свертки , то есть ${\displaystyle \operatorname {L} }$

$${\displaystyle G(x,s)=G(x-s)~.}$$

В этом случае функция Грина аналогична импульсному отклику линейной теории систем, инвариантной ко времени .

Мотивация

Грубо говоря, если такую ​​функцию G можно найти для оператора , то, если мы умножим уравнение ( 1 ) для функции Грина на f ( s ) , а затем проинтегрируем по s , мы получим: ${\displaystyle \operatorname {L} }$

$${\displaystyle \int \operatorname {L} \,G(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (x-s)\,f(s)\,ds=f(x)~.}$$

Поскольку оператор линеен и действует только на переменную x (а не на переменную интегрирования s ), можно вывести оператор за пределы интегрирования, получив ${\displaystyle \operatorname {L} =\operatorname {L} (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {L} }$

$${\displaystyle \operatorname {L} \,\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)~.}$$

является решением уравнения ${\displaystyle \operatorname {L} u(x)=f(x)~.}$

Таким образом, можно получить функцию u ( x ) , зная функцию Грина в уравнении ( 1 ) и исходный член в правой части уравнения ( 2 ). Этот процесс зависит от линейности оператора . ${\displaystyle \operatorname {L} }$

Другими словами, решение уравнения ( 2 ), u ( x ) , может быть определено путем интегрирования, заданного в уравнении ( 3 ). Хотя f ( x ) известно, это интегрирование не может быть выполнено, если G также не известен. Проблема теперь заключается в нахождении функции Грина G , которая удовлетворяет уравнению ( 1 ). По этой причине функцию Грина также иногда называют фундаментальным решением , связанным с оператором . ${\displaystyle \operatorname {L} }$

Не каждый оператор допускает функцию Грина. Функцию Грина также можно рассматривать как правую обратную функцию . Помимо трудностей с нахождением функции Грина для конкретного оператора, интеграл в уравнении ( 3 ) может быть довольно сложно вычислить. Однако метод дает теоретически точный результат. ${\displaystyle \operatorname {L} }$ ${\displaystyle \operatorname {L} }$

Это можно рассматривать как разложение f в соответствии с базисом дельта-функции Дирака (проецирование f на каждую проекцию и суперпозицию решения на каждую проекцию . Такое интегральное уравнение известно как интегральное уравнение Фредгольма , изучение которого представляет собой теория . ${\displaystyle \delta (x-s)}$

Функции Грина для решения неоднородных краевых задач

Основное использование функций Грина в математике — решение неоднородных краевых задач . В современной теоретической физике функции Грина также обычно используются в качестве распространителей в диаграммах Фейнмана ; термин «функция Грина» часто далее используется для обозначения любой корреляционной функции .

Рамки

Пусть – оператор Штурма–Лиувилля , линейный дифференциальный оператор вида ${\displaystyle \operatorname {L} }$

$${\displaystyle \operatorname {L} ={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)}$$

граничных условий ${\displaystyle {\vec {\operatorname {D} }}}$

$${\displaystyle {\vec {\operatorname {D} }}\,u={\begin{bmatrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}~.}$$

Пусть – непрерывная функция в. Далее предположим, что задача ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [0,\ell ]\,.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {L} \,u&=f\\{\vec {\operatorname {D} }}\,u&={\vec {0}}\end{aligned}}}$$

x^[а] ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle u(x)=0}$

Теорема

Существует одно и только одно решение, удовлетворяющее ${\displaystyle u(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {L} \,u&=f\\{\vec {\operatorname {D} }}\,u&={\vec {0}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds~,}$$

${\displaystyle G(x,s)}$

1. ${\displaystyle G(x,s)}$непрерывен в и . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$
2. Для , . ${\displaystyle x\neq s~}$ ${\displaystyle \quad \operatorname {L} \,G(x,s)=0~}$
3. Для , . ${\displaystyle s\neq 0~}$ ${\displaystyle \quad {\vec {\operatorname {D} }}\,G(x,s)={\vec {0}}~}$
4. Производная «скачка»: . ${\displaystyle \quad G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)~}$
5. Симметрия: . ${\displaystyle \quad G(x,s)=G(s,x)~}$

Расширенные и замедленные функции Грина.

Функция Грина не обязательно уникальна, поскольку добавление любого решения однородного уравнения к одной функции Грина приводит к другой функции Грина. Следовательно, если однородное уравнение имеет нетривиальные решения, существует несколько функций Грина. В некоторых случаях можно найти одну функцию Грина, неисчезающую только при , называемую запаздывающей функцией Грина, и другую функцию Грина, неисчезающую только при , называемую опережающей функцией Грина. В таких случаях любая линейная комбинация двух функций Грина также является допустимой функцией Грина. Терминология «передовой» и «замедленный» особенно полезна, когда переменная x соответствует времени. В таких случаях решение, обеспечиваемое использованием запаздывающей функции Грина, зависит только от прошлых источников и является причинным , тогда как решение, обеспечиваемое использованием опережающей функции Грина, зависит только от будущих источников и является акаузальным. В этих задачах часто причинное решение является физически важным. Использование опережающей и запаздывающей функций Грина особенно распространено для анализа решений неоднородного уравнения электромагнитных волн . ${\displaystyle s\leq x}$ ${\displaystyle s\geq x}$

Нахождение функций Грина

Единицы

Хотя он не определяет однозначно форму, которую примет функция Грина, выполнение анализа размерностей для определения единиц измерения, которые должна иметь функция Грина, является важной проверкой работоспособности любой функции Грина, найденной другими способами. Быстрое рассмотрение определяющего уравнения,

$${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s),}$$

${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle [[G]]=[[L]]^{-1}[[dx]]^{-1},}$$

элементом объемапространства-времени ${\displaystyle [[G]]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle dx}$

Например, если и время является единственной переменной, то: ${\displaystyle L=\partial _{t}^{2}}$

$${\displaystyle [[L]]=[[{\text{time}}]]^{-2},}$$

$${\displaystyle [[dx]]=[[{\text{time}}]],\ {\text{and}}}$$

$${\displaystyle [[G]]=[[{\text{time}}]].}$$

оператор Даламбера ${\displaystyle L=\square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}}$

$${\displaystyle [[L]]=[[{\text{length}}]]^{-2},}$$

$${\displaystyle [[dx]]=[[{\text{time}}]][[{\text{length}}]]^{3},\ {\text{and}}}$$

$${\displaystyle [[G]]=[[{\text{time}}]]^{-1}[[{\text{length}}]]^{-1}.}$$

Разложения по собственным значениям

Если дифференциальный оператор L допускает полный набор собственных векторов Ψ _n ( x ) (т. е. набор функций Ψ _n и скаляров λ _n такой, что L Ψ _n = λ _n Ψ _n ), то можно построить Функция Грина по этим собственным векторам и собственным значениям .

«Полный» означает, что набор функций {Ψ _n } удовлетворяет следующему соотношению полноты ,

$${\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x').}$$

Тогда имеет место следующее:

${\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}},}$

где представляет собой комплексное сопряжение. ${\displaystyle \dagger }$

Применение оператора L к каждой части этого уравнения приводит к предположенному соотношению полноты.

Общее исследование функции Грина, записанной в приведенной выше форме, и ее связи с функциональными пространствами, образованными собственными векторами, известно как теория Фредгольма .

Существует несколько других методов поиска функций Грина, включая метод изображений , разделение переменных и преобразования Лапласа . ^[1]

Объединение функций Грина

Если дифференциальный оператор можно факторизовать как, то функцию Грина можно построить из функций Грина для и : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L=L_{1}L_{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$

$${\displaystyle G(x,s)=\int G_{2}(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,ds_{1}.}$$

обратимого линейного оператора ${\displaystyle G(x,s)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$ ${\displaystyle C_{i,j}}$

Дальнейшее тождество следует для дифференциальных операторов, которые являются скалярными полиномами производной . Основная теорема алгебры в сочетании с тем фактом, что она коммутирует сама с собой , гарантирует, что многочлен можно факторизовать, придав ему форму: ${\displaystyle L=P_{N}(\partial _{x})}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle L=\prod _{i=1}^{N}(\partial _{x}-z_{i}),}$$

Фурье ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle P_{N}(z)}$ ${\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle {\widehat {G}}(k_{x},k_{s})={\frac {\delta (k_{x}-k_{s})}{\prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.}$$

разложение на частичные дроби ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L=(\partial _{x}+\gamma )(\partial _{x}+\alpha )^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{(\alpha -\gamma )^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{(\alpha -\gamma )^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\,(x-s)e^{-\alpha (x-s)}\\[5pt]&=\int \Theta (x-s_{1})(x-s_{1})e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Таблица функций Грина

В следующей таблице дан обзор функций Грина часто встречающихся дифференциальных операторов, где , , — ступенчатая функция Хевисайда , — функция Бесселя , — модифицированная функция Бесселя первого рода и — модифицированная функция Бесселя второго рода . ^[2] Там, где время ( t ) появляется в первом столбце, указана запаздывающая (причинная) функция Грина. ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ ${\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle \Theta (t)}$ ${\textstyle J_{\nu }(z)}$ ${\textstyle I_{\nu }(z)}$ ${\textstyle K_{\nu }(z)}$

Функции Грина для лапласиана

Функции Грина для линейных дифференциальных операторов, включающих лапласиан, можно легко использовать, используя второе из тождеств Грина .

Чтобы вывести теорему Грина, начните с теоремы о дивергенции (также известной как теорема Гаусса ):

$${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot {\vec {A}}\ dV=\int _{S}{\vec {A}}\cdot d{\widehat {\sigma }}~.}$$

Пусть и подставим в закон Гаусса. ${\displaystyle {\vec {A}}=\varphi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \varphi }$

Вычислите и примените правило произведения для оператора ∇: ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\vec {A}}&=\nabla \cdot (\varphi \,\nabla \psi \;-\;\psi \,\nabla \varphi )\\&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\varphi .\end{aligned}}}$$

Подставляя это в теорему о дивергенции, получаем теорему Грина :

$${\displaystyle \int _{V}(\varphi \,\nabla ^{2}\psi -\psi \,\nabla ^{2}\varphi )\,dV=\int _{S}(\varphi \,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi )\cdot d{\widehat {\sigma }}.}$$

Предположим, что линейный дифференциальный оператор L является лапласианом ∇ ² и что для лапласиана существует функция Грина G. Определяющее свойство функции Грина сохраняется:

$${\displaystyle LG(x,x')=\nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x').}$$

Пусть во втором тождестве Грина см. тождества Грина . Затем, ${\displaystyle \psi =G}$

$${\displaystyle \int _{V}\left[\varphi (x')\delta (x-x')-G(x,x')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (x')\right]\ d^{3}x'=\int _{S}\left[\varphi (x')\,{\nabla '}G(x,x')-G(x,x')\,{\nabla '}\varphi (x')\right]\cdot d{\widehat {\sigma }}'.}$$

Используя это выражение, можно решить уравнение Лапласа ∇ ² φ ( x ) = 0 или уравнение Пуассона ∇ ² φ ( x ) = − ρ ( x ), с учетом граничных условий Неймана или Дирихле . Другими словами, мы можем найти φ ( x ) везде внутри объема, где либо (1) значение φ ( x ) задано на ограничивающей поверхности объема (граничные условия Дирихле), либо (2) нормальная производная φ ( x ) задается на ограничивающей поверхности (граничные условия Неймана) .

Предположим, что задача состоит в том, чтобы найти φ ( x ) внутри региона. Тогда интеграл

$${\displaystyle \int _{V}\varphi (x')\delta (x-x')\,d^{3}x'}$$

φxдельта-функции Дирака,

$${\displaystyle \varphi (x)=-\int _{V}G(x,x')\rho (x')\ d^{3}x'+\int _{S}\left[\varphi (x')\,\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\,\nabla '\varphi (x')\right]\cdot d{\widehat {\sigma }}'.}$$

Эта форма выражает известное свойство гармонических функций : если на ограничивающей поверхности известно значение или нормальная производная, то значение функции внутри объема известно всюду .

В электростатике φ ( x ) интерпретируется как электрический потенциал , ρ ( x ) — как плотность электрического заряда , а нормальная производная — как нормальная составляющая электрического поля. ${\displaystyle \nabla \varphi (x')\cdot d{\widehat {\sigma }}'}$

Если задача состоит в решении краевой задачи Дирихле, функцию Грина следует выбирать так, чтобы G ( x , x ′) обращалась в нуль, когда x или x ′ находятся на ограничивающей поверхности. Таким образом, из двух членов поверхностного интеграла остается только одно. Если задача состоит в решении краевой задачи Неймана, то может показаться логичным выбрать функцию Грина так, чтобы ее нормальная производная обращалась в нуль на ограничивающей поверхности. Однако применение теоремы Гаусса к дифференциальному уравнению, определяющему функцию Грина, дает

$${\displaystyle \int _{S}\nabla 'G(x,x')\cdot d{\widehat {\sigma }}'=\int _{V}\nabla '^{2}G(x,x')d^{3}x'=\int _{V}\delta (x-x')d^{3}x'=1~,}$$

Gxx^[3]

Самая простая форма, которую может принять нормальная производная, — это константа, а именно 1/ S , где S — площадь поверхности. Поверхностный член в решении становится

$${\displaystyle \int _{S}\varphi (x')\,\nabla 'G(x,x')\cdot d{\widehat {\sigma }}'=\langle \varphi \rangle _{S}}$$

${\displaystyle \langle \varphi \rangle _{S}}$

Без граничных условий функция Грина для лапласиана ( функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными ) равна

$${\displaystyle G(x,x')=-{\dfrac {1}{4\pi |x-x'|}}.}$$

Если предположить, что ограничивающая поверхность стремится к бесконечности, и подставить это выражение для функции Грина, в конечном итоге получим стандартное выражение для электрического потенциала через плотность электрического заряда как

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{V}{\dfrac {\rho (x')}{4\pi \varepsilon |x-x'|}}\,d^{3}x'~.}$

Пример

Найдите функцию Грина для следующей задачи, номер функции Грина которой равен X11:

$${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)=0.\end{aligned}}}$$

Первый шаг: функция Грина для рассматриваемого линейного оператора определяется как решение

Если , то дельта-функция дает ноль, и общее решение есть ${\displaystyle x\neq s}$

$${\displaystyle G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.}$$

При граничное условие при подразумевает ${\displaystyle x<s}$ ${\displaystyle x=0}$

$${\displaystyle G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0}$$

если и . ${\displaystyle x<s}$ ${\displaystyle s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}}$

При граничное условие при подразумевает ${\displaystyle x>s}$ ${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2k}}}$

$${\displaystyle G\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}$$

Уравнение опущено по тем же причинам. ${\displaystyle G(0,s)=0}$

Подводя итоги на данный момент:

$${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}$$

Второй шаг: Следующая задача – определить и . ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$

Обеспечение непрерывности функции Грина при подразумевает ${\displaystyle x=s}$

$${\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}$$

Можно обеспечить надлежащий разрыв первой производной, интегрируя определяющее дифференциальное уравнение (т. е . уравнение * ) от до и переходя к пределу при стремлении к нулю. Обратите внимание, что мы интегрируем только вторую производную, поскольку оставшийся член будет непрерывным по построению. ${\displaystyle x=s-\varepsilon }$ ${\displaystyle x=s+\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1}$$

Два уравнения (дис)непрерывности можно решить для и получить ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$

$${\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}$$

Итак, функция Грина для этой задачи:

$${\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}}$$

Дальнейшие примеры

• Пусть n = 1 и пусть подмножество представляет собой все R . Пусть Л будет . Тогда ступенчатая функция Хевисайда H ( x − x ₀ ) является функцией Грина L в точке x ₀ . ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$
• Пусть n = 2 , и пусть подмножеством является четвертьплоскость {( x , y ) : x , y ≥ 0} , а L — лапласиан . Кроме того, предположим, что граничное условие Дирихле наложено в точке x = 0 , а граничное условие Неймана — в точке y = 0 . Тогда функция Грина X10Y20 равна
  $${\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\,\right].\end{aligned}}}$$
• Пусть , и все три являются элементами действительных чисел. Тогда для любой функции с -й производной, интегрируемой на интервале : ${\displaystyle a<x<b}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [a,b]}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\end{aligned}}~.}$$
  Функция Грина в приведенном выше уравнении не уникальна. Как изменится уравнение, если добавить к , где удовлетворяет всем (например, при )? Кроме того, сравните приведенное выше уравнение с формой ряда Тейлора с центром в . ${\displaystyle G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)}$ ${\displaystyle g(x-s)}$ ${\displaystyle G(x,s)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0}$ ${\displaystyle x\in [a,b]}$ ${\displaystyle g(x)=-x/2}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle x=a}$

Смотрите также

• Бессель потенциал
• Дискретные функции Грина , определенные на графиках и сетках.
• Импульсная характеристика - аналог функции Грина при обработке сигналов.
• Функция передачи
• Фундаментальное решение
• Функция Грина в теории многих тел
• Корреляционная функция
• Распространитель
• Личности Грина
• Параметрикс
• Интегральное уравнение Вольтерра
• Резольвентный формализм
• Келдыш формализм
• Спектральная теория
• Многомасштабная функция Грина

Сноски

1. На техническом жаргоне «регулярность» означает, что для однородной задачи ( ) существует только тривиальное решение ( ). ${\displaystyle u(x)=0}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

Рекомендации

1. (Коул 2011)
2. некоторые примеры взяты из книги Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Франкфурт-на-Майне: Deutsch, 2001. ISBN  3-8171-1661-6 (немецкий)
3. Джексон, Джон Дэвид (14 августа 1998 г.). Классическая электродинамика . Джон Уайли и сыновья. п. 39.

• Баин, СС (2006). Математические методы в науке и технике . Уайли. Главы 18 и 19.
• Эйгес, Леонард (1972). Классическое электромагнитное поле . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-63947-9.
  Глава 5 содержит очень доступное описание использования функций Грина для решения краевых задач электростатики.
• Полянин А.Д.; Зайцев, В.Ф. (2003). Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
• Полянин А.Д. (2002). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых . Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.). Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN 0-8053-7002-1.
• Фолланд, ГБ Анализ Фурье и его приложения . Математическая серия. Уодсворт и Брукс/Коул.
• Коул, К.Д.; Бек, СП; Хаджи-Шейх, А.; Литкуи, Б. (2011). «Методы получения функций Грина». Теплопроводность с использованием функций Грина . Тейлор и Фрэнсис. стр. 101–148. ISBN 978-1-4398-1354-6.
• Грин, Дж. (1828). Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма . Ноттингем, Англия: Т. Уилхаус. страницы 10-12.
• Фарьяд и, М.; Лахтакия, А. (2018). Диадические функции Грина в бесконечном пространстве в электромагнетизме. Лондон, Великобритания / Сан-Рафаэль, Калифорния: IoP Science (Великобритания) / Морган и Клейпул (США). Бибкод : 2018idgf.book.....F.

• В.Д. Шеремет: «Справочник по функциям и матрицам Грина», WIT Press, ISBN 978-1-85312-933-9 (2002).

Внешние ссылки

• «Зеленая функция», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Грина». Математический мир .
• Функция Грина для дифференциального оператора в PlanetMath .
• Функция Грина в PlanetMath .
• Зеленые функции и конформное отображение в PlanetMath .
• Введение в метод неравновесной функции Грина Келдыша А.П. Джаухо
• Библиотека функций Грина
• Учебник по функциям Грина
• Метод граничных элементов (для получения некоторого представления о том, как функции Грина могут использоваться с методом граничных элементов для численного решения потенциальных проблем)
• В Ситиндиуме
• Видеолекция MIT о функции Грина
• Боули, Роджер. «Джордж Грин и функции Грина». Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .