Функция Грина (теория многих тел)

Корреляторы полевых операторов

В теории многих тел термин «функция Грина» (или функция Грина ) иногда используется взаимозаменяемо с корреляционной функцией , но относится конкретно к корреляторам операторов поля или операторам рождения и уничтожения .

Название происходит от функций Грина , используемых для решения неоднородных дифференциальных уравнений , с которыми они слабо связаны. (В частности, только двухточечные «функции Грина» в случае невзаимодействующей системы являются функциями Грина в математическом смысле; линейный оператор, который они инвертируют, является гамильтоновым оператором , который в невзаимодействующем случае является квадратичным в поля.)

Пространственно однородный случай

Основные определения

Мы рассматриваем теорию многих тел с оператором поля (оператором уничтожения, записанным в позиционном базисе) . ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$

Операторы Гейзенберга можно записать в терминах операторов Шрёдингера как и оператор рождения равен , где – великий канонический гамильтониан. $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=e^{iKt}\psi (\mathbf {x} )e^{-iKt},}$$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=[\psi (\mathbf {x} ,t)]^{\dagger }}$ ${\displaystyle K=H-\mu N}$

Аналогично, для операторов мнимого времени : [Обратите внимание, что оператор создания мнимого времени не является эрмитовым сопряжением оператора уничтожения .] $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=e^{K\tau }\psi (\mathbf {x} )e^{-K\tau }}$$ $${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )=e^{K\tau }\psi ^{\dagger }(\mathbf {x} )e^{-K\tau }.}$$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )}$

В реальном времени функция Грина -точки определяется тем , где мы использовали сокращенную запись, в которой означает и означает . Оператор обозначает упорядочение по времени и указывает, что следующие за ним операторы полей должны быть упорядочены так, чтобы их аргументы времени увеличивались справа налево. ${\displaystyle 2n}$ $${\displaystyle G^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=i^{n}\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} _{j},t_{j})}$ ${\displaystyle j'}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} _{j}',t_{j}')}$ ${\displaystyle T}$

В мнимом времени соответствующее определение звучит так : где означает . (Переменные мнимого времени ограничены диапазоном от до обратной температуры .) $${\displaystyle {\mathcal {G}}^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=\langle T\psi (1)\ldots \psi (n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,}$$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{j},\tau _{j}}$ ${\displaystyle \tau _{j}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\textstyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$

Примечание относительно знаков и нормализации, используемых в этих определениях: Знаки функций Грина выбраны таким образом, чтобы преобразование Фурье двухточечной ( ) тепловой функции Грина для свободной частицы было , а запаздывающей функции Грина было где – частота Мацубары . ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{-i\omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}},}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\mathbf {k} }}},}$$ $${\displaystyle \omega _{n}={\frac {[2n+\theta (-\zeta )]\pi }{\beta }}}$$

Везде обозначает бозоны и фермионы и обозначает либо коммутатор , либо антикоммутатор , в зависимости от обстоятельств. ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle [\ldots ,\ldots ]=[\ldots ,\ldots ]_{-\zeta }}$

(Подробнее см. ниже.)

Двухточечные функции

Функция Грина с одной парой аргументов ( ) называется двухточечной функцией или пропагатором . При наличии как пространственной, так и временной трансляционной симметрии она зависит только от разницы ее аргументов. Преобразование Фурье относительно пространства и времени дает сумму по соответствующим частотам Мацубары (и интеграл, как обычно, включает в себя неявный коэффициент ). ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} \tau \mid \mathbf {x} '\tau ')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} {\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-i\omega _{n}(\tau -\tau ')},}$$ ${\displaystyle (L/2\pi )^{d}}$

В режиме реального времени мы будем явно указывать упорядоченную по времени функцию с помощью верхнего индекса T: $${\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} \int {\frac {d\omega }{2\pi }}G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-i\omega (t-t')}.}$$

Двухточечная функция Грина реального времени может быть записана в терминах «запаздывающих» и «продвинутых» функций Грина, которые, как окажется, обладают более простыми свойствами аналитичности. Замедленная и расширенная функции Грина определяются и соответственно. $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=-i\langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t-t')}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=i\langle [\psi (\mathbf {x} ,t),{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t'-t),}$$

Они связаны с упорядоченной по времени функцией Грина соотношением где – функция распределения Бозе-Эйнштейна или Ферми-Дирака . $${\displaystyle G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )=[1+\zeta n(\omega )]G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )-\zeta n(\omega )G^{\mathrm {A} }(\mathbf {k} ,\omega ),}$$ $${\displaystyle n(\omega )={\frac {1}{e^{\beta \omega }-\zeta }}}$$

Упорядочение во мнимом времени и β -периодичность

Термические функции Грина определяются только тогда, когда оба аргумента мнимого времени находятся в диапазоне до . Двухточечная функция Грина обладает следующими свойствами. (Аргументы позиции или импульса в этом разделе опущены.) ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \beta }$

Во-первых, это зависит только от разницы мнимых времен: аргумент может работать от до . $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau ,\tau ')={\mathcal {G}}(\tau -\tau ').}$$ ${\displaystyle \tau -\tau '}$ ${\displaystyle -\beta }$ ${\displaystyle \beta }$

Во-вторых, является (анти)периодическим при сдвигах . Из-за небольшой области определения функции это означает только для . Для этого свойства решающее значение имеет упорядочение по времени, что можно доказать непосредственно, используя цикличность операции трассировки. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )}$ ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau -\beta )=\zeta {\mathcal {G}}(\tau ),}$$ ${\displaystyle 0<\tau <\beta }$

Эти два свойства допускают представление преобразования Фурье и его обратное, $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})=\int _{0}^{\beta }d\tau \,{\mathcal {G}}(\tau )\,e^{i\omega _{n}\tau }.}$$

Наконец, обратите внимание, что имеет разрыв в ; это согласуется с поведением . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\tau )}$ ${\displaystyle \tau =0}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})\sim 1/|\omega _{n}|}$

Спектральное представление

Пропагаторы в реальном и мнимом времени могут быть связаны со спектральной плотностью (или спектральным весом), определяемой где | α ⟩ относится к (многочастичному) собственному состоянию гранд-канонического гамильтониана H − µN с собственным значением E _α . $${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}2\pi \delta (E_{\alpha }-E_{\alpha '}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}\left(e^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta e^{-\beta E_{\alpha }}\right),}$$

Тогда пропагатор мнимого времени определяется как , а пропагатор с запаздыванием - где подразумевается предел as . $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-i\omega _{n}+\omega '}}~,}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-(\omega +i\eta )+\omega '}},}$$ ${\displaystyle \eta \to 0^{+}}$

Расширенный пропагатор задается тем же выражением, но со знаменателем. ${\displaystyle -i\eta }$

Упорядоченную по времени функцию можно найти через и . Как утверждалось выше, они обладают простыми свойствами аналитичности: первая (вторая) имеет все свои полюса и разрывы в нижней (верхней) полуплоскости. ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\omega )}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }(\omega )}$

Тепловой распространитель имеет все полюса и разрывы на мнимой оси. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\omega _{n})}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$

Спектральную плотность можно найти очень непосредственно из , используя теорему Сохацкого-Вейерштрасса , где P обозначает главную часть Коши . Это дает ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ $${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\eta }}=P{\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$ $${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\operatorname {Im} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ).}$$

Кроме того, это означает, что между его действительной и мнимой частями существует следующее соотношение: где обозначает главное значение интеграла. ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )}$ $${\displaystyle \operatorname {Re} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=-2P\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\operatorname {Im} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ')}{\omega -\omega '}},}$$ ${\displaystyle P}$

Спектральная плотность подчиняется правилу сумм, которое имеет вид . $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}\rho (\mathbf {k} ,\omega )=1,}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\omega )\sim {\frac {1}{|\omega |}}}$$ ${\displaystyle |\omega |\to \infty }$

Преобразование Гильберта

Сходство спектральных представлений функций Грина в мнимом и реальном времени позволяет нам определить функцию, которая связана с и через и Аналогичное выражение, очевидно, справедливо для . $${\displaystyle G(\mathbf {k} ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,x)}{-z+x}},}$$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=G(\mathbf {k} ,i\omega _{n})}$$ $${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=G(\mathbf {k} ,\omega +i\eta ).}$$ ${\displaystyle G^{\mathrm {A} }}$

Связь между и называется преобразованием Гильберта . ${\displaystyle G(\mathbf {k} ,z)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,x)}$

Доказательство спектрального представления

Демонстрируем доказательство спектрального представления пропагатора в случае тепловой функции Грина, определяемой как $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {x} ',\tau ')=\langle T\psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {x} ',\tau ')\rangle .}$$

Из-за трансляционной симметрии необходимо учитывать только , заданное Вставка полного набора собственных состояний дает ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)}$ ${\displaystyle \tau >0}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid {\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .}$$

Поскольку и являются собственными состояниями , операторы Гейзенберга можно переписать в терминах операторов Шредингера, давая Выполнение преобразования Фурье тогда дает ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\alpha '\rangle }$ ${\displaystyle H-\mu N}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau |\mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}e^{\tau (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {0} )\mid \alpha '\rangle .}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha '}}{\frac {1-\zeta e^{\beta (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}}{-i\omega _{n}+E_{\alpha }-E_{\alpha '}}}\int _{\mathbf {k} '}d\mathbf {k} '\langle \alpha \mid \psi (\mathbf {k} )\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} ')\mid \alpha \rangle .}$$

Сохранение импульса позволяет записать последний член в виде (с точностью до возможных множителей объема), что подтверждает выражения для функций Грина в спектральном представлении. $${\displaystyle |\langle \alpha '\mid \psi ^{\dagger }(\mathbf {k} )\mid \alpha \rangle |^{2},}$$

Правило сумм можно доказать, рассмотрев математическое ожидание коммутатора, а затем вставив полный набор собственных состояний в оба члена коммутатора: $${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha }\langle \alpha \mid e^{-\beta (H-\mu N)}[\psi _{\mathbf {k} },\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }]_{-\zeta }\mid \alpha \rangle ,}$$ $${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}e^{-\beta E_{\alpha }}\left(\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \rangle -\zeta \langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha \rangle \right).}$$

Тогда замена меток в первом члене дает то, что и есть результат интегрирования ρ . $${\displaystyle 1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\left(e^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta e^{-\beta E_{\alpha }}\right)|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle |^{2}~,}$$

Невзаимодействующий случай

В невзаимодействующем случае – собственное состояние с (большо-канонической) энергией , где – одночастичный закон дисперсии, измеренный относительно химического потенциала. Таким образом, спектральная плотность становится ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle }$ ${\displaystyle E_{\alpha '}+\xi _{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \xi _{\mathbf {k} }=\epsilon _{\mathbf {k} }-\mu }$ $${\displaystyle \rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\,2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega )\sum _{\alpha '}\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle (1-\zeta e^{-\beta \xi _{\mathbf {k} }})e^{-\beta E_{\alpha '}}.}$$

Из коммутационных соотношений снова с возможными коэффициентами объема. Сумма, которая включает в себя термическое среднее числового оператора, дает просто , оставляя $${\displaystyle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha '\rangle =\langle \alpha '\mid (1+\zeta \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\psi _{\mathbf {k} })\mid \alpha '\rangle ,}$$ ${\displaystyle [1+\zeta n(\xi _{\mathbf {k} })]{\mathcal {Z}}}$ $${\displaystyle \rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega ).}$$

Таким образом, пропагатор мнимого времени , а запаздывающий пропагатор $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-i\omega _{n}+\xi _{\mathbf {k} }}}}$$ $${\displaystyle G_{0}^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\mathbf {k} }}}.}$$

Предел нулевой температуры

При β → ∞ спектральная плотность становится такой, что α = 0 соответствует основному состоянию. Обратите внимание, что только первый (второй) член дает вклад, когда ω положительное (отрицательное). $${\displaystyle \rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \sum _{\alpha }\left[\delta (E_{\alpha }-E_{0}-\omega )\left|\left\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid 0\right\rangle \right|^{2}-\zeta \delta (E_{0}-E_{\alpha }-\omega )\left|\left\langle 0\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dagger }\mid \alpha \right\rangle \right|^{2}\right]}$$

Общий случай

Основные определения

Мы можем использовать «операторы поля», как указано выше, или операторы рождения и уничтожения, связанные с другими одночастичными состояниями, возможно, собственными состояниями (невзаимодействующей) кинетической энергии. Затем мы используем где – оператор уничтожения для одночастичного состояния и – волновую функцию этого состояния в базисе позиции. Это дает аналогичное выражение для . $${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,\tau )=\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )\psi _{\alpha }(\tau ),}$$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}|\beta _{1}\ldots \beta _{n}}^{(n)}(\tau _{1}\ldots \tau _{n}|\tau _{1}'\ldots \tau _{n}')=\langle T\psi _{\alpha _{1}}(\tau _{1})\ldots \psi _{\alpha _{n}}(\tau _{n}){\bar {\psi }}_{\beta _{n}}(\tau _{n}')\ldots {\bar {\psi }}_{\beta _{1}}(\tau _{1}')\rangle }$$ ${\displaystyle G^{(n)}}$

Двухточечные функции

Они зависят только от разницы их временных аргументов, так что и $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\frac {1}{\beta }}\sum _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})\,e^{-i\omega _{n}(\tau -\tau ')}}$$ $${\displaystyle G_{\alpha \beta }(t\mid t')=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}\,G_{\alpha \beta }(\omega )\,e^{-i\omega (t-t')}.}$$

Мы снова можем определить замедленные и продвинутые функции очевидным образом; они связаны с упорядоченной по времени функцией так же, как указано выше.

Те же свойства периодичности, которые описаны выше, применимы и к . Конкретно и для . ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau -\tau ')}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau )={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau +\beta ),}$$ ${\displaystyle \tau <0}$

Спектральное представление

В данном случае где и – многочастичные состояния. $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (E_{n}-E_{m}-\omega )\;\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle \left(e^{-\beta E_{m}}-\zeta e^{-\beta E_{n}}\right),}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Выражения для функций Грина модифицируются очевидным образом: и $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-i\omega _{n}+\omega '}}}$$ $${\displaystyle G_{\alpha \beta }^{\mathrm {R} }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-(\omega +i\eta )+\omega '}}.}$$

Их свойства аналитичности идентичны свойствам и определены в трансляционно-инвариантном случае. Доказательство повторяет те же шаги, за исключением того, что два матричных элемента больше не являются комплексно-сопряженными. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})}$ ${\displaystyle G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )}$

Невзаимодействующий случай

Если выбранные конкретные одночастичные состояния являются «собственными одночастичными энергетическими состояниями», то есть тогда для собственного состояния: так есть : и так есть : $${\displaystyle [H-\mu N,\psi _{\alpha }^{\dagger }]=\xi _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\dagger },}$$ ${\displaystyle |n\rangle }$ $${\displaystyle (H-\mu N)\mid n\rangle =E_{n}\mid n\rangle ,}$$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }\mid n\rangle }$ $${\displaystyle (H-\mu N)\psi _{\alpha }\mid n\rangle =(E_{n}-\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }\mid n\rangle ,}$$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle }$ $${\displaystyle (H-\mu N)\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle =(E_{n}+\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }^{\dagger }\mid n\rangle .}$$

Поэтому мы имеем $${\displaystyle \langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\delta _{E_{n},E_{m}+\xi _{\alpha }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle .}$$

Затем мы переписываем использование и тот факт, что термическое среднее числового оператора дает функцию распределения Бозе-Эйнштейна или Ферми-Дирака. $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m,n}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle e^{-\beta E_{m}}\left(1-\zeta e^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}$$ $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{m}2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }e^{-\beta (H-\mu N)}\mid m\rangle \left(1-\zeta e^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),}$$ $${\displaystyle \langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dagger }\mid m\rangle =\delta _{\alpha ,\beta }\langle m\mid \zeta \psi _{\alpha }^{\dagger }\psi _{\alpha }+1\mid m\rangle }$$

Наконец, спектральную плотность упрощают, так что тепловая функция Грина равна , а запаздывающая функция Грина равна Обратите внимание, что невзаимодействующая функция Грина является диагональной, но это не будет верно во взаимодействующем случае. $${\displaystyle \rho _{\alpha \beta }=2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\alpha \beta },}$$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-i\omega _{n}+\xi _{\beta }}}}$$ $${\displaystyle G_{\alpha \beta }(\omega )={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-(\omega +i\eta )+\xi _{\beta }}}.}$$

Смотрите также

• Теорема о флуктуациях
• Отношения Грина-Кубо
• Функция линейного отклика
• Уравнение Линдблада
• Распространитель
• Корреляционная функция (квантовая теория поля)
• Численное аналитическое продолжение

Рекомендации

Книги

• Бонч-Бруевич В.Л., Тябликов С.В. (1962): Метод функции Грина в статистической механике. Издательская компания Северной Голландии.
• Абрикосов А.А., Горьков Л.П. и Дзялошинский И.Е. (1963): Методы квантовой теории поля в статистической физике Энглвуд Клиффс: Прентис-Холл.
• Негеле Дж. В. и Орланд Х. (1988): Квантовые многочастичные системы Аддисон-Уэсли.
• Зубарев Д.Н. , Морозов В., Ропке Г. (1996): Статистическая механика неравновесных процессов: основные понятия, Кинетическая теория (Том 1). Джон Уайли и сыновья. ISBN  3-05-501708-0 .
• Мэттук Ричард Д. (1992), Путеводитель по диаграммам Фейнмана в задаче многих тел , Dover Publications, ISBN 0-486-67047-3 . 

Статьи

• Боголюбов Н.Н. , Тябликов С.В. Запаздывающие и опережающие функции Грина в статистической физике, Доклады физ. 4 , с. 589 (1959).
• Зубарев Д. Н. , Двойные функции Грина в статистической физике, Успехи физики 3 (3), 320–345 (1960).

Внешние ссылки

• Функции линейного отклика в Еве Паварини, Эрике Кохе, Дитере Фоллхардте и Александре Лихтенштейне (ред.): DMFT в 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN 978-3-89336-953-9