Преобразование Гильберта

Интегральное преобразование и линейный оператор

В математике и обработке сигналов преобразование Гильберта представляет собой особый сингулярный интеграл , который принимает функцию u ( t ) действительной переменной и создает другую функцию действительной переменной H( u )( t ) . Преобразование Гильберта задается главным значением Коши свертки с функцией (см. § Определение). Преобразование Гильберта имеет особенно простое представление в частотной области : оно придает фазовый сдвиг ±90° ( π /2 радиан) каждой частотной составляющей функции, причем знак сдвига зависит от знака частоты (см. § Связь с преобразованием Фурье). Преобразование Гильберта важно при обработке сигналов, где оно является компонентом аналитического представления действительного сигнала u ( t ) . Преобразование Гильберта было впервые введено Дэвидом Гильбертом в этом контексте для решения частного случая проблемы Римана – Гильберта для аналитических функций. ${\displaystyle 1/(\pi t)}$

Определение

Преобразование Гильберта u можно рассматривать как свертку u ( t ) с функцией h ( t ) =1/π т, известное как ядро ​​Коши . Поскольку 1/ t не интегрируется по t = 0 , интеграл, определяющий свертку, не всегда сходится. Вместо этого преобразование Гильберта определяется с использованием главного значения Коши (обозначенного здесь pv ). Явно преобразование Гильберта функции (или сигнала) u ( t ) определяется выражением

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {1}{\pi }}\,\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,\mathrm {d} \tau ,}$$

при условии, что этот интеграл существует как главное значение. Это и есть свертка u с умеренным распределением p.v.1/π т. ^[1] В качестве альтернативы, путем замены переменных, интеграл главного значения можно записать явно ^[2] как

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\,\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau .}$$

Когда преобразование Гильберта применяется дважды подряд к функции u , результат:

$${\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(t)=-u(t),}$$

при условии, что интегралы, определяющие обе итерации, сходятся в подходящем смысле. В частности, обратное преобразование . Этот факт легче всего увидеть, рассмотрев влияние преобразования Гильберта на преобразование Фурье u ( t ) (см. § Связь с преобразованием Фурье ниже). ${\displaystyle \operatorname {H} ^{3}}$

Для аналитической функции в верхней полуплоскости преобразование Гильберта описывает связь между действительной и мнимой частью граничных значений. То есть, если f ( z ) аналитична в верхней полукомплексной плоскости { z  : Im { z } > 0} и u ( t ) = Re { f ( t + 0· i )} , то Im { f ( t + 0· i )} = H( u )( t ) с точностью до аддитивной константы, если это преобразование Гильберта существует.

Обозначения

В обработке сигналов преобразование Гильберта u ( t ) обычно обозначается . ^[3] Однако в математике это обозначение уже широко используется для обозначения преобразования Фурье u ( t ) . ^[4] Иногда преобразование Гильберта может обозначаться . Более того, многие источники определяют преобразование Гильберта как отрицательное по сравнению с определенным здесь. ^[5] ${\displaystyle {\hat {u}}(t)}$ ${\displaystyle {\tilde {u}}(t)}$

История

Преобразование Гильберта возникло в работе Гильберта 1905 года по проблеме, поставленной Риманом относительно аналитических функций, ^{[6] [7]} , которая стала известна как проблема Римана – Гильберта . Работа Гильберта в основном была связана с преобразованием Гильберта для функций, определенных на окружности. ^{[8] [9]} Некоторые из его более ранних работ, связанных с дискретным преобразованием Гильберта, восходят к лекциям, которые он читал в Геттингене . Результаты были позже опубликованы Германом Вейлем в его диссертации. ^[10] Шур улучшил результаты Гильберта о дискретном преобразовании Гильберта и распространил их на интегральный случай. ^[11] Эти результаты были ограничены пространствами L ² и ℓ ² . В 1928 году Марсель Рис доказал, что преобразование Гильберта может быть определено для u в ( ^{пространстве} Lp ) при 1 < p < ∞ , что преобразование Гильберта является ограниченным оператором для 1 < p < ∞ и что аналогичные результаты верны для преобразование Гильберта на окружности, а также дискретное преобразование Гильберта. ^[12] Преобразование Гильберта было мотивирующим примером для Антони Зигмунда и Альберто Кальдерона во время их изучения сингулярных интегралов . ^[13] Их исследования сыграли фундаментальную роль в современном гармоническом анализе. Различные обобщения преобразования Гильберта, такие как билинейное и трилинейное преобразования Гильберта, до сих пор являются активными областями исследований. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Гильберта является оператором умножения . ^[14] Множитель H равен σ _H ( ω ) = − i sgn( ω ) , где Signum — сигнум-функция . Поэтому:

$${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(\omega )=-i\operatorname {sgn}(\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),}$$

где обозначает преобразование Фурье . Поскольку sn( x ) = sn(2 π x ) , отсюда следует, что этот результат применим к трем общим определениям . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

По формуле Эйлера ,

$${\displaystyle \sigma _{\operatorname {H} }(\omega )={\begin{cases}~~i=e^{+i\pi /2},&{\text{for }}\omega <0,\\~~0,&{\text{for }}\omega =0,\\-i=e^{-i\pi /2},&{\text{for }}\omega >0.\end{cases}}}$$

Следовательно, H( u )( t ) приводит к сдвигу фазы отрицательных частотных составляющих u ( t ) на +90 ° ( π ⁄ 2  радиан) и фазы положительных частотных составляющих на -90 °, и i ·H( u )( t ) приводит к восстановлению положительных частотных составляющих при сдвиге отрицательных частотных составляющих еще на +90°, что приводит к их отрицанию (т. е. умножению на -1).

Когда преобразование Гильберта применяется дважды, фаза отрицательной и положительной частотных составляющих u ( t ) соответственно сдвигается на +180° и -180°, что является эквивалентной величиной. Сигнал отрицается; т. е. H(H( u )) = − u , потому что

$${\displaystyle \left(\sigma _{\operatorname {H} }(\omega )\right)^{2}=e^{\pm i\pi }=-1\quad {\text{for }}\omega \neq 0.}$$

Таблица избранных преобразований Гильберта

В следующей таблице параметр частоты является реальным. ${\displaystyle \omega }$

Примечания

1. Некоторые авторы (например, Брейсвелл) используют наш -H в качестве определения прямого преобразования. В результате правый столбец этой таблицы будет отрицательным.
2. Преобразование Гильберта функций sin и cos можно определить, взяв главное значение интеграла на бесконечности. Это определение согласуется с результатом распределения преобразования Гильберта.

Доступна обширная таблица преобразований Гильберта. ^[15] Обратите внимание, что преобразование Гильберта константы равно нулю.

Область определения

Ни в коем случае не очевидно, что преобразование Гильберта вообще определено корректно, поскольку определяющий его несобственный интеграл должен сходиться в подходящем смысле. Однако преобразование Гильберта четко определено для широкого класса функций, а именно для функций 1 < p < ∞ . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Точнее, если u находится при 1 < p < ∞ , то предел, определяющий несобственный интеграл ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,d\tau }$$

существует почти для каждого t . Предельная функция также присутствует и фактически является пределом в среднем несобственного интеграла. То есть, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau \to \operatorname {H} (u)(t)}$$

при ε → 0 в норме L ^p , а также поточечно почти всюду по теореме Титчмарша. ^[16]

В случае p = 1 преобразование Гильберта по-прежнему сходится поточечно почти всюду, но само по себе может оказаться неинтегрируемым даже локально. ^[17] В частности, в этом случае сходимости в среднем вообще не происходит. Однако преобразование Гильберта функции L ¹ сходится в L ¹ -слабо, и преобразование Гильберта является ограниченным оператором из L ¹ в L ^1,w . ^[18] (В частности, поскольку преобразование Гильберта также является оператором-мультипликатором в L ² , интерполяция Марцинкевича и аргумент двойственности дают альтернативное доказательство того, что H ограничено в L ^p .)

Характеристики

Ограниченность

Если 1 < p < ∞ , то преобразование Гильберта на является ограниченным линейным оператором , что означает, что существует константа C _p такая, что ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \left\|\operatorname {H} u\right\|_{p}\leq C_{p}\left\|u\right\|_{p}}$$

для всех . ^[19] ${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )}$

Наилучшая константа имеет вид ^[20] ${\displaystyle C_{p}}$

$${\displaystyle C_{p}={\begin{cases}\tan {\frac {\pi }{2p}}&{\text{for}}~1<p\leq 2,\\[4pt]\cot {\frac {\pi }{2p}}&{\text{for}}~2<p<\infty .\end{cases}}}$$

Самый простой способ найти лучшее для того, чтобы быть степенью 2, — это использовать так называемое тождество Котлара, которое для всех действительных значений f . Те же лучшие константы справедливы и для периодического преобразования Гильберта. ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (\operatorname {H} f)^{2}=f^{2}+2\operatorname {H} (f\operatorname {H} f)}$

Из ограниченности преобразования Гильберта следует сходимость симметричного оператора частичной суммы ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle S_{R}f=\int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} \xi }$$

чтобы найти . _ ^[21] ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Антисамосопряженность

Преобразование Гильберта является антисамосопряженным оператором относительно двойственного спаривания между и двойственным пространством , где p и q являются сопряженными по Гельдеру и 1 < p , q < ∞ . Символически, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \langle \operatorname {H} u,v\rangle =\langle u,-\operatorname {H} v\rangle }$$

для и . ^[22] ${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle v\in L^{q}(\mathbb {R} )}$

Обратное преобразование

Преобразование Гильберта является антиинволюцией , ^[23] это означает, что

$${\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} \left(u\right){\bigr )}=-u}$$

при условии, что каждое преобразование четко определено. Поскольку H сохраняет пространство , это означает, в частности, что преобразование Гильберта обратимо на и что ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {H} ^{-1}=-\operatorname {H} }$$

Сложная структура

Поскольку H ² = −I (« I » — тождественный оператор ) в реальном банаховом пространстве вещественнозначных функций в , преобразование Гильберта определяет линейную комплексную структуру в этом банаховом пространстве. В частности, когда p = 2 , преобразование Гильберта дает гильбертово пространство вещественных функций в структуре комплексного гильбертова пространства. ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

(Комплексные) собственные состояния преобразования Гильберта допускают представления в виде голоморфных функций в верхней и нижней полуплоскостях пространства Харди H 2 по теореме Пэли–Винера .

Дифференциация

Формально производная преобразования Гильберта является преобразованием Гильберта производной, т.е. эти два линейных оператора коммутируют:

$${\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {H} (u)}$$

Повторяя это тождество,

$${\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {\mathrm {d} ^{k}u}{\mathrm {d} t^{k}}}\right)={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}\operatorname {H} (u)}$$

Это строго верно, как указано, при условии, что u и его первые k производные принадлежат . ^[24] Это легко проверить в частотной области, где дифференцирование превращается в умножение на ω . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Извилины

Преобразование Гильберта формально может быть реализовано как свертка с умеренным распределением ^[25]

$${\displaystyle h(t)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{\pi \,t}}}$$

Таким образом, формально

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)=h*u}$$

Однако априори это может быть определено только для распределения компактного носителя . С этим можно работать довольно строго, поскольку функции с компактным носителем (которые ^{заведомо} являются распределениями ) плотны в Lp . В качестве альтернативы можно использовать тот факт, что h ( t ) является производной по распределению функции log| т |/ π ; а именно

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{\pi }}\left(u*\log {\bigl |}\cdot {\bigr |}\right)(t)\right)}$$

Для большинства операционных целей преобразование Гильберта можно рассматривать как свертку. Например, в формальном смысле преобразование Гильберта свертки — это свертка преобразования Гильберта, примененного только к одному из факторов:

$${\displaystyle \operatorname {H} (u*v)=\operatorname {H} (u)*v=u*\operatorname {H} (v)}$$

Это строго верно, если u и v являются распределениями с компактным носителем, поскольку в этом случае

$${\displaystyle h*(u*v)=(h*u)*v=u*(h*v)}$$

Таким образом, переходя к соответствующему пределу, это также верно, если u ∈ L ^p и v ∈ L ^q, при условии, что

$${\displaystyle 1<{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}}$$

из теоремы Титчмарша. ^[26]

Инвариантность

Преобразование Гильберта обладает следующими свойствами инвариантности на . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

• Он коммутирует с переводами. То есть он коммутирует с операторами T _a f ( x ) = f ( x + a ) для всех a в ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Он коммутирует с положительными расширениями. То есть он коммутирует с операторами M _λ f ( x ) = f ( λ x ) для всех λ > 0 .
• Он антикоммутирует с отражением R f ( x ) знак равно f (− x ) .

С точностью до мультипликативной константы преобразование Гильберта является единственным ограниченным оператором в L2 ^, обладающим этими свойствами. ^[27]

На самом деле существует более широкий набор операторов, коммутирующих с преобразованием Гильберта. Группа действует унитарными операторами U _g на пространстве по формуле ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle \operatorname {U} _{g}^{-1}f(x)={\frac {1}{cx+d}}\,f\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)\,,\qquad g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}~,\qquad {\text{ for }}~ad-bc=\pm 1.}$$

Это унитарное представление является примером представления основной серии . В этом случае оно приводимо и распадается как ортогональная сумма двух инвариантных подпространств, пространства Харди и его сопряженного. Это пространства L ² граничных значений голоморфных функций на верхней и нижней полуплоскостях. а ее сопряженные состоят именно из тех L2 ^- функций, преобразования Фурье которых обращаются в нуль на отрицательной и положительной частях вещественной оси соответственно. Поскольку преобразование Гильберта равно H = − i (2 P − I) , где P является ортогональным проектором на , а I - тождественным оператором , отсюда следует, что и его ортогональное дополнение являются собственными пространствами H для собственных значений ± i . Другими словами, _H коммутирует с операторами Ug . Ограничения операторов U _g на и сопряженных с ним дают неприводимые представления – так называемый предел представлений дискретной серии . ^[28] ${\displaystyle ~{\text{SL}}(2,\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$

Расширение области определения

Преобразование Гильберта распределений

Кроме того, преобразование Гильберта можно распространить на определенные пространства распределений (Pandey 1996, глава 3). Поскольку преобразование Гильберта коммутирует с дифференцированием и является ограниченным оператором в ^Lp , H ограничивается , чтобы дать непрерывное преобразование на обратном пределе пространств Соболева :

$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}={\underset {n\to \infty }{\underset {\longleftarrow }{\lim }}}W^{n,p}(\mathbb {R} )}$$

Преобразование Гильберта затем может быть определено в двойственном пространстве к , обозначенному , состоящем из L ^p распределений. Это достигается за счет пары двойственности: Для определим : ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}'}$
${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}=\langle \operatorname {H} u,v\rangle \ \triangleq \ \langle u,-\operatorname {H} v\rangle ,\ {\text{for all}}\ v\in {\mathcal {D}}_{L^{p}}.}$$

Преобразование Гильберта можно определить и в пространстве умеренных распределений , используя подход Гельфанда и Шилова ^[29] , но требуется значительно большая осторожность из-за сингулярности интеграла.

Преобразование Гильберта ограниченных функций

Преобразование Гильберта также можно определить для функций , но оно требует некоторых модификаций и оговорок. При правильном понимании преобразование Гильберта отображается в банахово пространство классов ограниченных средних колебаний (BMO). ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$

При наивной интерпретации преобразование Гильберта ограниченной функции явно не определено. Например, при u = sn( x ) интеграл, определяющий H( u ), почти всюду расходится до ±∞ . Чтобы облегчить такие трудности, преобразование Гильберта функции L ^∞ определяется следующей регуляризованной формой интеграла

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)=\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )\left\{h(t-\tau )-h_{0}(-\tau )\right\}\,\mathrm {d} \tau }$$

где, как указано выше, h ( x ) =1/πxи

$${\displaystyle h_{0}(x)={\begin{cases}0&{\text{for}}~|x|<1\\{\frac {1}{\pi \,x}}&{\text{for}}~|x|\geq 1\end{cases}}}$$

Модифицированное преобразование H согласуется с исходным преобразованием с точностью до аддитивной константы для функций компактного носителя из общего результата Кальдерона и Зигмунда. ^[30] Кроме того, полученный интеграл сходится поточечно почти всюду и относительно нормы BMO к функции ограниченного среднего колебания.

Глубокий результат работы Феффермана ^[31] состоит в том, что функция имеет ограниченное среднее колебание тогда и только тогда, когда она имеет вид f + H( g ) для некоторого . ${\displaystyle f,g\in L^{\infty }(\mathbb {R} )}$

Сопряженные функции

Преобразование Гильберта можно понимать в терминах пары функций f ( x ) и g ( x ) таких, что функция

$${\displaystyle F(x)=f(x)+i\,g(x)}$$

функции F ( z )^[32]fg

Предположим, что Тогда по теории интеграла Пуассона f допускает единственное гармоническое расширение в верхнюю полуплоскость, и это расширение задается формулой ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ).}$

$${\displaystyle u(x+iy)=u(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {y}{(x-s)^{2}+y^{2}}}\;\mathrm {d} s}$$

что является сверткой f с ядром Пуассона

$${\displaystyle P(x,y)={\frac {y}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}}$$

Кроме того, существует единственная гармоническая функция v , определенная в верхней полуплоскости такая, что F ( z ) = u ( z ) + iv ( z ) голоморфна и

$${\displaystyle \lim _{y\to \infty }v\,(x+i\,y)=0}$$

Эта гармоническая функция получается из f путем свертки с сопряженным ядром Пуассона

$${\displaystyle Q(x,y)={\frac {x}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}.}$$

Таким образом

$${\displaystyle v(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {x-s}{\,(x-s)^{2}+y^{2}\,}}\;\mathrm {d} s.}$$

Действительно, действительная и мнимая части ядра Коши равны

$${\displaystyle {\frac {i}{\pi \,z}}=P(x,y)+i\,Q(x,y)}$$

так что F = u + iv голоморфно по интегральной формуле Коши .

Функция v , полученная из u таким образом, называется гармонически сопряженной к u . (Некасательный) граничный предел v ( x , y ) при y → 0 является преобразованием Гильберта f . Таким образом, вкратце,

$${\displaystyle \operatorname {H} (f)=\lim _{y\to 0}Q(-,y)\star f}$$

Теорема Титчмарша

Теорема Титчмарша (названная в честь Э. К. Титчмарша , который включил ее в свою работу 1937 года) уточняет связь между граничными значениями голоморфных функций в верхней полуплоскости и преобразованием Гильберта. ^[33] Он дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы комплекснозначная функция F ( x ) интегрируемая с квадратом на вещественной прямой была граничным значением функции в пространстве Харди H ² ( U ) голоморфных функций в верхней половине -плоскость У. _

Теорема утверждает, что следующие условия для комплекснозначной функции, интегрируемой с квадратом, эквивалентны: ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

• F ( x ) — предел при z → x голоморфной функции F ( z ) в верхней полуплоскости такой, что
  $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|F(x+i\,y)|^{2}\;\mathrm {d} x<K}$$
• Действительная и мнимая части F ( x ) являются преобразованиями Гильберта друг друга.
• Преобразование Фурье исчезает при x < 0 . ${\displaystyle {\mathcal {F}}(F)(x)}$

Более слабый результат верен для функций класса L p при p > 1 . ^[34] В частности, если F ( z ) — голоморфная функция такая, что

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|F(x+i\,y)|^{p}\;\mathrm {d} x<K}$$

для всех y , то существует комплексная функция F ( x ) в такая, что F ( x + iy ) → F ( x ) в норме Lp ^при y → 0 (а также выполняется поточечно почти всюду ). Более того, ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle F(x)=f(x)-i\,g(x)}$$

где f — вещественная функция в, а g — преобразование Гильберта (класса L ^p ) функции f . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Это неверно в случае p = 1 . Фактически, преобразование Гильберта функции L ¹ f не обязательно сходится в среднем к другой функции L ¹ . Тем не менее ^[35] преобразование Гильберта функции f сходится почти всюду к конечной функции g такой, что

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {|g(x)|^{p}}{1+x^{2}}}\;\mathrm {d} x<\infty }$$

Этот результат прямо аналогичен результату Андрея Колмогорова для функций Харди в диске. ^[36] Хотя этот результат обычно называют теоремой Титчмарша, он объединяет многие работы других, в том числе Харди, Пэли и Винера (см. теорему Пэли-Винера ), а также работы Рисса, Хилле и Тамаркина ^[37]

Проблема Римана – Гильберта

Одна из форм проблемы Римана–Гильберта направлена ​​на идентификацию пар функций F ₊ и F ₋ таких, что F ₊ голоморфен в верхней полуплоскости, а F ₋ голоморфен в нижней полуплоскости, так что для x вдоль действительной полуплоскости ось,

$${\displaystyle F_{+}(x)-F_{-}(x)=f(x)}$$

где f ( x ) — некоторая заданная вещественная функция от . Левую часть этого уравнения можно понимать либо как разность пределов F _± от соответствующих полуплоскостей, либо как распределение гиперфункций . Две функции такого вида являются решением проблемы Римана–Гильберта. ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Формально, если F _± решить задачу Римана–Гильберта

$${\displaystyle f(x)=F_{+}(x)-F_{-}(x)}$$

тогда преобразование Гильберта f ( x ) определяется формулой ^[38]

$${\displaystyle H(f)(x)=-i{\bigl (}F_{+}(x)+F_{-}(x){\bigr )}.}$$

Преобразование Гильберта на окружности

Для периодической функции f определено круговое преобразование Гильберта:

$${\displaystyle {\tilde {f}}(x)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\operatorname {p.v.} \int _{0}^{2\pi }f(t)\,\cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)\,\mathrm {d} t}$$

Круговое преобразование Гильберта используется при описании пространства Харди и при изучении сопряженной функции в ряду Фурье. Ядро,

$${\displaystyle \cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)}$$

ядро ​​Гильберта^[8]

Ядро Гильберта (для кругового преобразования Гильберта) можно получить, сделав ядро ​​Коши 1 ⁄ x периодическим. Точнее, при x ≠ 0

$${\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}\cot \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+2n\pi }}+{\frac {1}{\,x-2n\pi \,}}\right)}$$

Многие результаты о круговом преобразовании Гильберта могут быть получены из соответствующих результатов для преобразования Гильберта из этого соответствия.

Другая, более прямая связь, обеспечивается преобразованием Кэли C ( x ) = ( x – i ) / ( x + i ) , которое переносит действительную линию на круг, а верхнюю полуплоскость на единичный круг. Это индуцирует унитарное отображение

$${\displaystyle U\,f(x)={\frac {1}{(x+i)\,{\sqrt {\pi }}}}\,f\left(C\left(x\right)\right)}$$

L ² ( T ) на . Оператор U переводит пространство Харди H ² ( T ) в пространство Харди . ^[39] ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$

Преобразование Гильберта в обработке сигналов

Теорема Бедросяна

Теорема Бедросяна утверждает, что преобразование Гильберта произведения низкочастотного и высокочастотного сигналов с неперекрывающимися спектрами определяется произведением низкочастотного сигнала и преобразования Гильберта высокочастотного сигнала, или

$${\displaystyle \operatorname {H} \left(f_{\text{LP}}(t)\cdot f_{\text{HP}}(t)\right)=f_{\text{LP}}(t)\cdot \operatorname {H} \left(f_{\text{HP}}(t)\right),}$$

где f _LP и f _HP — сигналы нижних и верхних частот соответственно. ^[40] Категория сигналов связи, к которым это применимо, называется моделью узкополосного сигнала. Членом этой категории является амплитудная модуляция высокочастотной синусоидальной «несущей»:

$${\displaystyle u(t)=u_{m}(t)\cdot \cos(\omega t+\varphi ),}$$

где um ( t ) — сигнал «сообщения» _с узкой полосой пропускания, например голос или музыка. Тогда по теореме Бедросяна: ^[41]

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\begin{cases}+u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi ),&\omega >0,\\-u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi ),&\omega <0.\end{cases}}}$$

Аналитическое представление

Конкретным типом сопряженной функции является :

$${\displaystyle u_{a}(t)\triangleq u(t)+i\cdot H(u)(t),}$$

известное как аналитическое представление. Название отражает его математическую доступность, во многом благодаря формуле Эйлера . Применяя теорему Бедросяна к узкополосной модели, аналитическое представление выглядит следующим образом : ^[42] ${\displaystyle u(t).}$

Свойство преобразования Фурье указывает на то, что эта сложная _{гетеродинная} операция может сдвинуть все отрицательные частотные компоненты um ( t ) выше 0 Гц. В этом случае мнимая часть результата представляет собой преобразование Гильберта действительной части. Это косвенный способ создания преобразований Гильберта.

Угловая (фазовая/частотная) модуляция

Форма: ^[43]

$${\displaystyle u(t)=A\cdot \cos(\omega t+\varphi _{m}(t))}$$

называется угловой модуляцией , которая включает в себя как фазовую , так и частотную модуляцию . Мгновенная частота При     достаточно большом ω по сравнению с : ${\displaystyle \omega +\varphi _{m}^{\prime }(t).}$ ${\displaystyle \varphi _{m}^{\prime }}$

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)\approx A\cdot \sin(\omega t+\varphi _{m}(t))}$$

$${\displaystyle u_{a}(t)\approx A\cdot e^{i(\omega t+\varphi _{m}(t))}.}$$

Однополосная модуляция (SSB)

Когда um ( t ) в  уравнении 1 _также является аналитическим представлением (формы сигнала сообщения), то есть:

$${\displaystyle u_{m}(t)=m(t)+i\cdot {\widehat {m}}(t)}$$

в результате получается однополосная модуляция:

$${\displaystyle u_{a}(t)=(m(t)+i\cdot {\widehat {m}}(t))\cdot e^{i(\omega t+\varphi )}}$$

передаваемый компонент которого: ^{[44] [45]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&=\operatorname {Re} \{u_{a}(t)\}\\&=m(t)\cdot \cos(\omega t+\varphi )-{\widehat {m}}(t)\cdot \sin(\omega t+\varphi )\end{aligned}}}$$

Причинность

Функция представляет собой две проблемы, связанные с причинно-следственной связью, для практической реализации в свертке (в дополнение к ее неопределенному значению в 0): ${\displaystyle h(t)=1/(\pi t)}$

• Его длительность бесконечна (технически бесконечная поддержка ). Окно конечной длины уменьшает эффективный частотный диапазон преобразования; более короткие окна приводят к большим потерям на низких и высоких частотах. См. также квадратурный фильтр .
• Это непричинный фильтр . Поэтому требуется отложенная версия . Соответствующий выходной сигнал впоследствии задерживается на . При создании мнимой части аналитического сигнала источник (действительная часть) также должен задерживаться на . ${\displaystyle h(t-\tau ),}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$

Дискретное преобразование Гильберта

Рисунок 1. Фильтр, частотная характеристика которого ограничена примерно 95 % частоты Найквиста.

Рисунок 2. Фильтр преобразования Гильберта с высокочастотной характеристикой.

Рисунок 3 .

Рисунок 4 . Преобразование Гильберта cos( ωt ) равно sin( ωt ) . На этом рисунке показаны sin(ωt) и два приближенных преобразования Гильберта, вычисленные с помощью библиотечной функции MATLAB hilbert().

Рисунок 5 . Дискретное преобразование Гильберта косинусоидальной функции с использованием кусочной свертки

Для дискретной функции с дискретным преобразованием Фурье ( DTFT ) и дискретным преобразованием Гильберта DTFT в области − π < ω < π определяется выражением : ${\displaystyle u[n]}$ ${\displaystyle U(\omega )}$ ${\displaystyle {\hat {u}}[n]}$ ${\displaystyle {\hat {u}}[n]}$

${\displaystyle \operatorname {DTFT} ({\hat {u}})=U(\omega )\cdot (-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )).}$

Обратное DTFT с использованием теоремы о свертке выглядит так: ^[46]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {u}}[n]&={\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(U(\omega ))\ *\ {\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\\&=u[n]\ *\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \\&=u[n]\ *\ \underbrace {{\frac {1}{2\pi }}\left[\int _{-\pi }^{0}i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega -\int _{0}^{\pi }i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \right]} _{h[n]},\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle h[n]\ \triangleq \ {\begin{cases}0,&{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}}&{\text{for }}n{\text{ odd}},\end{cases}}}$

что представляет собой бесконечную импульсную характеристику (БИХ). Когда свертка выполняется численно, КИХ- аппроксимация заменяется на h [ n ] , как показано на рисунке 1 . КИХ-фильтр с нечетным числом антисимметричных коэффициентов называется Типом III, который по своей сути демонстрирует отклик нулевой величины на частотах 0 и Найквиста, что в данном случае приводит к форме полосового фильтра. Схема типа IV (четное число антисимметричных коэффициентов) показана на рисунке 2 . Поскольку амплитудная характеристика на частоте Найквиста не выпадает, он немного лучше аппроксимирует идеальный преобразователь Гильберта, чем нечетный фильтр. Однако

• Типичная (т.е. правильно отфильтрованная и дискретизированная) последовательность u [ n ] не имеет полезных компонентов на частоте Найквиста.
• Импульсная характеристика типа IV требует сдвига выборки на 1/2 в последовательности h [ n ] . Это приводит к тому, что коэффициенты с нулевым значением становятся ненулевыми, как показано на рисунке 2 . Таким образом, конструкция типа III потенциально в два раза эффективнее типа IV.
• Групповая задержка конструкции типа III представляет собой целое число выборок, что облегчает согласование для создания аналитического сигнала . Групповая задержка типа IV находится на полпути между двумя выборками. ${\displaystyle {\hat {u}}[n]}$ ${\displaystyle u[n],}$

Функция MATLAB , hilbert(u,N) , ^[47] свертывает последовательность au[n] с периодическим суммированием : ^[A]

${\displaystyle h_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN]}$   ^{[ДО Н.Э ]}

и возвращает один цикл ( N выборок) периодического результата в мнимой части комплекснозначной выходной последовательности. Свертка реализуется в частотной области как произведение массива     с выборками распределения − i sgn( ω ) (все действительные и мнимые компоненты которого равны 0 или  ±1 ). На рисунке 3 сравнивается полупериод h _N [ n ] с частью эквивалентной длины h [ n ] . Учитывая КИХ-аппроксимацию для обозначенных путем замены образцов - i sgn( ω ), результатом является КИХ-версия свертки. ${\displaystyle {\scriptstyle \mathrm {DFT} }\left(u[n]\right)}$ ${\displaystyle h[n],}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}[n],}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \mathrm {DFT} }\left({\tilde {h}}[n]\right)}$

Действительная часть выходной последовательности — это исходная входная последовательность, так что комплексный выход является аналитическим представлением u [ n ] . Когда входными данными является сегмент чистого косинуса, результирующая свертка для двух разных значений N изображена на рисунке 4 (красный и синий графики). Краевые эффекты не позволяют результату быть чистой синусоидальной функцией (зеленый график). Поскольку h _N [ n ] не является FIR-последовательностью, теоретическая степень эффектов — это вся выходная последовательность. Но отличия от синусоидальной функции уменьшаются по мере удаления от краев. Параметр N — длина выходной последовательности. Если она превышает длину входной последовательности, входные данные изменяются путем добавления элементов с нулевым значением. В большинстве случаев это уменьшает величину различий. Но их длительность определяется собственным временем нарастания и спада импульсной характеристики h [ n ] .

Оценка краевых эффектов важна, когда метод, называемый сохранением перекрытия , используется для выполнения свертки длинной последовательности u [ n ] . Сегменты длины N свернуты с периодической функцией:

${\displaystyle {\tilde {h}}_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\tilde {h}}[n-mN].}$

Когда продолжительность ненулевых значений is, выходная последовательность включает N - M + 1 выборку из M - 1 выходных данных отбрасывается из каждого блока N , а входные блоки перекрываются на это количество, чтобы предотвратить пробелы. ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$ ${\displaystyle M<N,}$ ${\displaystyle {\hat {u}}.}$

Рисунок 5 представляет собой пример использования как БИХ-функции Гильберта(·), так и КИХ-аппроксимации. В этом примере синусоидальная функция создается путем вычисления дискретного преобразования Гильберта косинусной функции, которая была обработана в четырех перекрывающихся сегментах и ​​снова собрана воедино. Как показывает результат БИХ (синий), искажения, видимые в результате БИХ (красный), не вызваны разницей между h [ n ] и h _N [ n ] (зеленый и красный на рисунке 3 ). Тот факт, что h _N [ n ] имеет конусообразную форму ( оконный ), действительно полезен в этом контексте. Настоящая проблема в том, что в нем недостаточно окон. Фактически, M = N , тогда как метод сохранения перекрытия требует M < N .

Теоретико-числовое преобразование Гильберта

Теоретико-числовое преобразование Гильберта является расширением ^[50] дискретного преобразования Гильберта до целых чисел по модулю соответствующего простого числа. При этом следует обобщение дискретного преобразования Фурье на теоретико-числовые преобразования. Теоретико-числовое преобразование Гильберта можно использовать для генерации наборов ортогональных дискретных последовательностей. ^[51]

Смотрите также

• Аналитический сигнал
• Гармоническое сопряжение
• Гильбертова спектроскопия
• Преобразование Гильберта в комплексной плоскости
• Преобразование Гильберта – Хуанга
• Отношение Крамерса – Кронига
• Преобразование Рисса
• Однополосный сигнал
• Сингулярные интегральные операторы типа свертки

Примечания

1. см. § Периодическая свертка , уравнение 4b.
2. Версия в закрытой форме для четных значений : ^[48] ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$
   $${\displaystyle h_{N}[n]={\begin{cases}{\frac {2}{N}}\cot(\pi n/N)&{\text{for }}n{\text{ odd}},\\0&{\text{for }}n{\text{ even}}.\end{cases}}}$$
3. Версия в закрытой форме для нечетных значений : ^[49] ${\displaystyle h_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$
   $${\displaystyle h_{N}[n]={\frac {1}{N}}\left(\cot(\pi n/N)-{\frac {\cos(\pi n)}{\sin(\pi n/N)}}\right).}$$

Цитаты страниц

1. По мнению Шварца, 1950; см. Pandey 1996, глава 3.
2. Зигмунд 1968, §XVI.1.
3. Например, Брандвуд 2003, с. 87.
4. Например, Штейн и Вайс 1971.
5. Например, Брейсвелл 2000, с. 359.
6. Кресс 1989.
7. Бицадзе 2001.
8. Хведелидзе 2001.
9. Гильберт 1953.
10. Харди, Литтлвуд и Полиа 1952, §9.1.
11. Харди, Литтлвуд и Полиа 1952, §9.2.
12. Рисс 1928.
13. Кальдерон и Зигмунд 1952.
14. Дуоандикоэчеа 2000, Глава 3.
15. Король 2009б.
16. Титчмарш 1948, Глава 5.
17. Титчмарш 1948, §5.14.
18. Штейн и Вайс 1971, Лемма V.2.8.
19. Эта теорема принадлежит Риссу 1928, VII; см. также Титчмарш 1948, теорема 101.
20. Этот результат получен Пихоридом 1972; см. также Grafakos 2004, замечание 4.1.8.
21. См., например, Duoandikoetxea 2000, стр. 59.
22. Титчмарш 1948, Теорема 102.
23. Титчмарш 1948, с. 120.
24. Панди 1996, §3.3.
25. Дуистермаат и Колк 2010, с. 211.
26. Титчмарш 1948, Теорема 104.
27. Штейн 1970, §III.1.
28. См. Баргманн 1947, Ланг 1985 и Сугиура 1990.
29. Гельфанд и Шилов 1968.
30. Кальдерон и Зигмунд 1952; см. Фефферман 1971.
31. Фефферман 1971; Фефферман и Штейн, 1972 г.
32. Титчмарш 1948, Глава V.
33. Титчмарш 1948, Теорема 95.
34. Титчмарш 1948, Теорема 103.
35. Титчмарш 1948, Теорема 105.
36. Дюрен 1970, Теорема 4.2.
37. см. King 2009a, § 4.22.
38. Панди 1996, Глава 2.
39. Розенблюм и Ровняк 1997, с. 92.
40. Шрайер и Шарф 2010, 14.
41. Бедросян 1962.
42. Осгуд, с. 320
43. Осгуд, с. 320
44. Фрэнкс 1969, с. 88
45. Треттер 1995, с. 80 (7,9)
46. Рабинер 1975
47. Математика. «Гильберт - аналитический сигнал дискретного времени с использованием преобразования Гильберта». Документация MATLAB Signal Processing Toolbox . Проверено 06 мая 2021 г.
48. Йоханссон, с. 24
49. Йоханссон, с. 25
50. Как 1970.
51. Как 2014.

Рекомендации

• Баргманн, В. (1947). «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца». Анна. математики . 48 (3): 568–640. дои : 10.2307/1969129. JSTOR  1969129.
• Бедросян, Э. (декабрь 1962 г.). Теорема о произведении преобразований Гильберта (PDF) (Отчет). Корпорация Рэнд. РМ-3439-ПР.
• Бицадзе, А.В. (2001) [1994], "Краевые задачи аналитической теории функций", Энциклопедия математики , EMS Press
• Брейсвелл, Р. (2000). Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-116043-4.
• Брандвуд, Дэвид (2003). Преобразования Фурье в радиолокации и обработке сигналов . Бостон: Артех Хаус. ISBN 9781580531740.
• Кальдерон, AP ; Зигмунд, А. (1952). «О существовании некоторых сингулярных интегралов». Акта Математика . 88 (1): 85–139. дои : 10.1007/BF02392130 .
• Дуоандикоэчеа, Дж. (2000). Фурье-анализ . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2172-5.
• Дуйстермаат, Джей-Джей; Колк, JAC (2010). Распределения . Биркхойзер. дои : 10.1007/978-0-8176-4675-2. ISBN 978-0-8176-4672-1.
• Дюрен, П. (1970). Теория пространств H^p . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press.
• Фефферман, К. (1971). «Характеристики ограниченного среднего колебания». Бюллетень Американского математического общества . 77 (4): 587–588. дои : 10.1090/S0002-9904-1971-12763-5 . МР  0280994.
• Фефферман, К.; Штейн, Э.М. (1972). «H^p пространства нескольких переменных». Акта Математика . 129 : 137–193. дои : 10.1007/BF02392215 . МР  0447953.
• Фрэнкс, Л.Е. (сентябрь 1969 г.). Томас Кайлат (ред.). Теория сигналов . Теория информации. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл. ISBN 0138100772.
• Гельфанд, И.М. ; Шилов, Г.Е. (1968). Обобщенные функции . Том. 2. Академическая пресса. стр. 153–154. ISBN 0-12-279502-4.
• Графакос, Лукас (2004). Классический и современный анализ Фурье . Пирсон Образование. стр. 253–257. ISBN 0-13-035399-Х.
• Харди, штат Джорджия ; Литтлвуд, JE ; Полиа, Г. (1952). Неравенства . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-35880-9.
• Гильберт, Дэвид (1953) [1912]. Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen [ Основы общей теории линейных интегральных уравнений ] (на немецком языке). Лейпциг и Берлин, Германия (1912 г.); Нью-Йорк, штат Нью-Йорк (1953): Б. Г. Тойбнер (1912); Паб Челси. Ко (1953). ISBN 978-3-322-00681-3. OCLC  988251080 . Получено 18 декабря 2020 г. - через archive.org.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
• Йоханссон, Матиас. «Преобразование Гильберта, магистерская диссертация» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 5 февраля 2012 г.; также http://www.fuchs-braun.com/media/d9140c7b3d5004fbffff8007fffffff0.pdf

• Как, Субхаш (1970). «Дискретное преобразование Гильберта». Учеб. ИИЭЭ . 58 (4): 585–586. дои : 10.1109/PROC.1970.7696.
• Как, Субхаш (2014). «Теоретико-числовое преобразование Гильберта». Схемы, системы и обработка сигналов . 33 (8): 2539–2548. arXiv : 1308.1688 . дои : 10.1007/s00034-014-9759-8. S2CID  21226699.
• Хведелидзе, Б.В. (2001) [1994], «Преобразование Гильберта», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Кинг, Фредерик В. (2009a). Преобразования Гильберта . Том. 1. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
• Кинг, Фредерик В. (2009b). Преобразования Гильберта . Том. 2. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 453. ИСБН 978-0-521-51720-1.
• Кресс, Райнер (1989). Линейные интегральные уравнения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 91. ИСБН 3-540-50616-0.
• Ланг, Серж (1985). СЛ(2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Тексты для аспирантов по математике. Том. 105. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96198-4.
• Осгуд, Брэд, Преобразование Фурье и его приложения (PDF) , Стэнфордский университет , получено 30 апреля 2021 г.
• Панди, Дж. Н. (1996). Преобразование Гильберта распределений Шварца и его приложения . Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-03373-1.
• Пихорид, С. (1972). «О наилучшем значении констант в теоремах Рисса, Зигмунда и Колмогорова». Студия Математика . 44 (2): 165–179. дои : 10.4064/см-44-2-165-179 .
• Рабинер, Лоуренс Р.; Голд, Бернард (1975). «Глава 2.27, уравнение 2.195» . Теория и применение цифровой обработки сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 71. ИСБН 0-13-914101-4.
• Рисс, Марсель (1928). «О сопряженных функциях». Mathematische Zeitschrift (на французском языке). 27 (1): 218–244. дои : 10.1007/BF01171098. S2CID  123261514.
• Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1997). Классы Харди и теория операторов . Дувр. ISBN 0-486-69536-0.
• Шварц, Лоран (1950). Теория распределений . Париж, Франция: Германн.
• Шрайер, П.; Шарф, Л. (2010). Статистическая обработка сигналов комплексных данных: Теория несобственных и нециклических сигналов . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
• Смит, Дж.О. (2007). «Аналитические сигналы и фильтры преобразования Гильберта в математике дискретного преобразования Фурье (ДПФ) с аудиоприложениями» (2-е изд.) . Проверено 29 апреля 2021 г.; также https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html

• Штейн, Элиас (1970). Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08079-8.
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971). Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08078-Х.
• Сугиура, Мицуо (1990). Унитарные представления и гармонический анализ: Введение . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 44 (2-е изд.). Эльзевир. ISBN 0444885935.
• Титчмарш, Э. (1986) [1948]. Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.). Оксфорд, Великобритания: Clarendon Press. ISBN 978-0-8284-0324-5.
• Треттер, Стивен А. (1995). Р.В. Лаки (ред.). Проектирование систем связи с использованием алгоритмов DSP . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0306450321.
• Зигмунд, Антони (1988) [1968]. Тригонометрическая серия (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-35885-9.

дальнейшее чтение

• Бенедетто, Джон Дж. (1996). Гармонический анализ и его приложения. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 0849378796.
• Карлсон; Крилли и Ратледж (2002). Системы связи (4-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-011127-8.
• Голд, Б.; Оппенгейм, А.В.; Рейдер, CM (1969). «Теория и реализация дискретного преобразования Гильберта» (PDF) . Материалы симпозиума Бруклинского политехнического института 1969 года . Нью-Йорк . Проверено 13 апреля 2021 г.
• Графакос, Лукас (1994). «Элементарное доказательство квадратичной суммируемости дискретного преобразования Гильберта». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 101 (5): 456–458. дои : 10.2307/2974910. JSTOR  2974910.
• Титчмарш, Э. (1926). «Формулы взаимности с участием рядов и интегралов». Mathematische Zeitschrift . 25 (1): 321–347. дои : 10.1007/BF01283842. S2CID  186237099.

Внешние ссылки

• Вывод ограниченности преобразования Гильберта.
• Преобразование Гильберта Mathworld — Содержит таблицу преобразований.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Титчмарша». Математический мир .
• «GS256 Лекция 3: Преобразование Гильберта» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 27 февраля 2012 г.введение начального уровня в преобразование Гильберта.