Отношения Крамерса -Кронига представляют собой двунаправленные математические отношения, соединяющие действительную и мнимую части любой комплексной функции , аналитической в верхней полуплоскости . Отношения часто используются для вычисления действительной части из мнимой части (или наоборот) функций отклика в физических системах , поскольку для устойчивых систем причинность подразумевает условие аналитичности , и наоборот, аналитичность подразумевает причинность соответствующей устойчивой физической системы. . [1] Отношение названо в честь Ральфа Кронига и Ганса Крамерса . [2] [3] В математике эти соотношения известны под названиями теорема Сохоцкого–Племеля и преобразование Гильберта .
Пусть – комплексная функция комплексной переменной , где и действительны . Предположим, что эта функция аналитична в замкнутой верхней полуплоскости и стремится к при . Соотношения Крамерса – Кронига имеют вид
Доказательство начинается с применения теоремы Коши о вычетах для комплексного интегрирования. Для любой аналитической функции в закрытой верхней полуплоскости функция , где вещественная, является аналитической в (открытой) верхней полуплоскости. Теорема о вычетах, следовательно, утверждает, что
Второе слагаемое в последнем выражении получено с помощью теории вычетов [4] , точнее, теоремы Сохоцкого–Племеля . Переставляя, приходим к компактной форме соотношений Крамерса–Кронига:
Единица в знаменателе осуществляет связь вещественной и мнимой составляющих. Наконец, разделите уравнение на действительную и мнимую части, чтобы получить формы, указанные выше.
Формализм Крамерса-Кронига можно применить к функциям отклика . В некоторых линейных физических системах или в инженерных областях, таких как обработка сигналов , функция отклика описывает, как некоторое зависящее от времени свойство физической системы реагирует на импульсную силу во времени . Например, это может быть угол наклона маятника и приложенная сила. двигателя , приводящего в движение маятник. Реакция должна быть нулевой, поскольку система не может отреагировать на силу до ее применения. Можно показать (например, прибегая к теореме Титчмарша ), что из этого условия причинности следует, что преобразование Фурье аналитично в верхней полуплоскости. [5] Кроме того, если система подвергается воздействию колебательной силы с частотой, намного превышающей ее максимальную резонансную частоту, у системы почти не будет времени отреагировать до того, как сила изменит направление, и поэтому частотная характеристика будет сходиться. до нуля, поскольку становится очень большим. Из этих физических соображений получаются результаты, которые обычно удовлетворяют условиям, необходимым для соотношений Крамерса-Кронига.
Мнимая часть функции отклика описывает, как система рассеивает энергию , поскольку она находится в фазе с движущей силой . [ нужна цитата ] Соотношения Крамерса-Кронига предполагают, что наблюдения диссипативного ответа системы достаточно, чтобы определить его противофазный (реактивный) ответ, и наоборот.
Интегралы идут от до , подразумевая, что мы знаем отклик на отрицательных частотах. К счастью, в большинстве физических систем положительная частотная характеристика определяет отрицательную частотную характеристику, поскольку это преобразование Фурье вещественнозначной характеристики . В дальнейшем мы сделаем это предположение.
Как следствие, . Это означает , что оно является четной функцией частоты и является нечетным .
Используя эти свойства, мы можем свернуть диапазоны интегрирования до . Рассмотрим первое соотношение, дающее действительную часть . Преобразуем интеграл в интеграл определенной четности, умножив числитель и знаменатель подынтегральной функции на и разделив:
Поскольку нечетно, второй интеграл исчезает, и у нас остается
Тот же вывод для мнимой части дает
Это соотношения Крамерса-Кронига в форме, удобной для физически реалистичных функций отклика.
Ху [6] , Холл и Хек [7] дают похожее и, возможно, более интуитивное доказательство, позволяющее избежать контурного интегрирования. Оно основано на фактах:
Объединение формул, основанных на этих фактах, дает соотношения Крамерса – Кронига. Это доказательство немного отличается от предыдущего, поскольку оно связывает действительную и мнимую части в частотной области любой функции, которая является причинной во временной области, предлагая подход, несколько отличающийся от условия аналитичности в верхней полуплоскости частотная область.
Также доступна статья с неформальной графической версией этого доказательства. [8]
Обычная форма Крамерса-Кронига, приведенная выше, связывает действительную и мнимую часть сложной функции отклика. Связанная с этим цель — найти связь между величиной и фазой сложной функции отклика.
В целом, к сожалению, фазу нельзя однозначно предсказать по величине. [9] Простым примером этого является чистая временная задержка времени T , которая имеет амплитуду 1 на любой частоте независимо от T , но имеет фазу, зависящую от T (в частности, фаза = 2 π × T × частота).
Однако в частном случае системы с минимальной фазой существует уникальное соотношение амплитуды и фазы , [9] которое иногда называют соотношением усиления и фазы Боде . Термины «отношения Баярда-Боде» и «теорема Баярда-Боде» после работ Марселя Баярда (1936) и Хендрика Уэйда Боде (1945) также используются либо для соотношений Крамерса-Кронига в целом, либо для отношения амплитуда-фаза в частности, в частности. в области телекоммуникаций и теории управления . [10] [11]
Соотношения Крамерса – Кронига используются для связи действительной и мнимой частей комплексного показателя преломления среды, где – коэффициент экстинкции . [12] Следовательно, по сути, это также применимо к комплексной относительной диэлектрической проницаемости и электрической восприимчивости . [13]
Соотношения Крамерса-Кронига устанавливают связь между оптической вращающейся дисперсией и круговым дихроизмом .
Соотношения Крамерса–Кронига позволяют точно решать нетривиальные задачи рассеяния, которые находят приложения в магнитооптике. [14]
В спектроскопии потерь энергии электронов анализ Крамерса-Кронига позволяет рассчитать энергетическую зависимость как реальной, так и мнимой частей световой оптической проницаемости образца , а также других оптических свойств, таких как коэффициент поглощения и отражательная способность . [15]
Короче говоря, измеряя количество электронов высокой энергии (например, 200 кэВ), которые теряют заданное количество энергии при прохождении очень тонкого образца (приближение однократного рассеяния), можно вычислить мнимую часть диэлектрической проницаемости при этой энергии. Используя эти данные вместе с анализом Крамерса-Кронига, можно также рассчитать действительную часть диэлектрической проницаемости (как функцию энергии).
Это измерение производится с помощью электронов, а не света, и может быть выполнено с очень высоким пространственным разрешением. Таким образом, можно, например, искать полосы поглощения ультрафиолетового (УФ) излучения в лабораторном образце межзвездной пыли с поперечником менее 100 нм, то есть слишком маленькими для УФ-спектроскопии. Хотя электронная спектроскопия имеет худшее энергетическое разрешение, чем световая спектроскопия , данные о свойствах в видимом, ультрафиолетовом и мягком рентгеновском диапазонах спектра могут быть записаны в одном и том же эксперименте.
В фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением соотношения Крамерса-Кронига можно использовать для связи реальной и мнимой частей собственной энергии электронов . Это характерно для многочастичного взаимодействия, которое электрон испытывает в материале. Яркими примерами являются высокотемпературные сверхпроводники , где в зонной дисперсии наблюдаются изломы, соответствующие действительной части собственной энергии, а также наблюдаются изменения ширины МДП, соответствующие мнимой части собственной энергии. [16]
Соотношения Крамерса-Кронига также используются под названием «интегральные дисперсионные соотношения» в отношении адронного рассеяния. [17] В данном случае функцией является амплитуда рассеяния. Затем с помощью оптической теоремы мнимая часть амплитуды рассеяния связана с полным сечением , которое является физически измеримой величиной.
Подобно рассеянию адронов, соотношения Крамерса-Кронига используются в рассеянии электронов высоких энергий . В частности, они входят в вывод правила сумм Герасимова–Дрелла–Хирна . [18]
Для распространения сейсмических волн соотношение Крамера-Кронига помогает найти правильную форму добротности в затухающей среде. [19]
Тест Крамерса-Кронига используется в аккумуляторах и топливных элементах ( диэлектрическая спектроскопия ) для проверки линейности , причинности и стационарности . Поскольку на практике получить данные во всем диапазоне частот, как того требует формула Крамерса-Кронига, не представляется возможным, обязательно проводятся аппроксимации.
На высоких частотах (> 1 МГц) обычно можно с уверенностью предположить, что в импедансе преобладает омическое сопротивление электролита, хотя часто наблюдаются артефакты индуктивности .
На низких частотах тест КК можно использовать для проверки достоверности экспериментальных данных. В аккумуляторной практике данные, полученные в ходе экспериментов продолжительностью менее одной минуты, обычно не выдерживают испытания на частотах ниже 10 Гц. Поэтому следует проявлять осторожность при интерпретации таких данных. [20]
В электрохимической практике из-за конечного диапазона частот экспериментальных данных вместо соотношений Крамерса-Кронига используется соотношение Z-HIT . В соответствии с принципом Крамерса-Кронига (который написан для бесконечного диапазона частот), интеграция Z-HIT требует только конечного диапазона частот. Кроме того, Z-HIT более устойчив к ошибкам Re и Im импеданса, поскольку его точность зависит главным образом от точности фазовых данных.