Диффеоморфизм

Изоморфизм дифференцируемых многообразий

В математике диффеоморфизм — это изоморфизм дифференцируемых многообразий . Это обратимая функция , которая отображает одно дифференцируемое многообразие в другое так, что как функция, так и обратная к ней непрерывно дифференцируемы .

Изображение прямоугольной сетки на квадрате при диффеоморфизме квадрата на себя.

Определение

Учитывая два дифференцируемых многообразия и , дифференцируемое отображение является диффеоморфизмом, если оно является биекцией и ее обратная также дифференцируема. Если эти функции раз непрерывно дифференцируемы, то называется -диффеоморфизмом . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ ${\displaystyle f^{-1}\colon N\rightarrow M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{r}}$

Два многообразия и диффеоморфны (обычно обозначаются ) , если существует диффеоморфизм от до . Два -дифференцируемых многообразия являются -диффеоморфными, если между ними существует непрерывно дифференцируемое биективное отображение, обратное которому также непрерывно дифференцируемо. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\simeq N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Диффеоморфизмы подмножеств многообразий

Учитывая подмножество многообразия и подмножество многообразия , функция называется гладкой, если для всех существует окрестность и гладкая функция , такие что ограничения совпадают: (обратите внимание, что это расширение ). Функция называется диффеоморфизмом, если она биективна, гладка и обратная к ней гладка. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g:U\to N}$ ${\displaystyle g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Местное описание

Проверка того, является ли дифференцируемое отображение диффеоморфизмом, может быть произведена локально при некоторых мягких ограничениях. Это теорема Адамара-Каччиопполи: ^[1]

Если , являются связными открытыми подмножествами такого , что является односвязным , дифференцируемое отображение является диффеоморфизмом, если оно собственное и если дифференциал является биективным (и, следовательно, линейным изоморфизмом ) в каждой точке . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle Df_{x}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$

Некоторые замечания:

Для того чтобы функция была глобально обратимой, необходимо быть односвязным (при единственном условии, что ее производная является биективным отображением в каждой точке). Например, рассмотрим «реализацию» функции комплексного квадрата. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}}$

Тогда сюръективно и удовлетворяет ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.}$

Таким образом, хотя он и биективен в каждой точке, он не обратим, поскольку не может быть инъективным (например, ). ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)}$

Поскольку дифференциал в точке (для дифференцируемой функции)

${\displaystyle Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V}$

является линейным отображением , оно имеет четко определенное обратное тогда и только тогда, когда является биекцией. Матричное представление — это матрица частных производных первого порядка , запись которой в -й строке и -м столбце равна . Эта так называемая матрица Якоби часто используется для явных вычислений. ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \partial f_{i}/\partial x_{j}}$

Диффеоморфизмы обязательно возникают между многообразиями одной и той же размерности . Представьте себе, что вы перемещаетесь из измерения в измерение . If then никогда не могло быть сюръективным, и if then никогда не могло быть инъективным. Следовательно, в обоих случаях оно не является биекцией. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n<k}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle n>k}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle Df_{x}}$

Если является биекцией в , то говорят, что это локальный диффеоморфизм (поскольку по непрерывности он также будет биективным для всех достаточно близких к ). ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Df_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Учитывая гладкое отображение из измерения в измерение , если (или, локально, ) сюръективно, говорят, что это погружение (или, локально, «локальное погружение»); и если (или, локально, ) инъективно, то говорят, что это погружение (или, локально, «локальное погружение»). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle Df_{x}}$ ${\displaystyle f}$

Дифференцируемая биекция не обязательно является диффеоморфизмом. , например, не является диффеоморфизмом из в себя, поскольку его производная обращается в нуль в точке 0 (и, следовательно, ее обратная функция не дифференцируема в точке 0). Это пример гомеоморфизма , который не является диффеоморфизмом. ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Когда есть отображение между дифференцируемыми многообразиями, диффеоморфное является более сильным условием, чем гомеоморфное . Для диффеоморфизма и обратного ему необходимо быть дифференцируемыми ; для гомеоморфизма, и его обратный должен быть только непрерывным . Каждый диффеоморфизм является гомеоморфизмом, но не всякий гомеоморфизм является диффеоморфизмом. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f:M\to N}$является диффеоморфизмом, если в координатных картах он удовлетворяет приведенному выше определению. Точнее: выберите любое покрытие по совместимым координатным картам и проделайте то же самое для . Пусть и – графики соответственно и , с и as соответственно изображениями и . Тогда отображение является диффеоморфизмом, как в приведенном выше определении, всякий раз, когда . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi f\phi ^{-1}:U\to V}$ ${\displaystyle f(\phi ^{-1}(U))\subseteq \psi ^{-1}(V)}$

Примеры

Поскольку любое многообразие может быть локально параметризовано, мы можем рассмотреть некоторые явные отображения из в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• Позволять

${\displaystyle f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).}$

Мы можем вычислить матрицу Якобиана:

${\displaystyle J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.}$

Матрица Якобиана имеет нулевой определитель тогда и только тогда, когда . Мы видим, что это может быть только диффеоморфизм вдали от -оси и -оси. Однако не является биективным, так как и, следовательно, не может быть диффеоморфизмом. ${\displaystyle xy=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x,y)=f(-x,y)}$

• Позволять

${\displaystyle g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)}$

где и — произвольные действительные числа , а опущенные члены имеют степень не ниже двух по x и y . Мы можем вычислить матрицу Якобиана в 0 : ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle b_{i,j}}$

${\displaystyle J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.}$

Мы видим, что g является локальным диффеоморфизмом в точке 0 тогда и только тогда, когда

${\displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,}$

т.е. линейные члены в компонентах g линейно независимы как полиномы .

• Позволять

${\displaystyle h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).}$

Мы можем вычислить матрицу Якобиана:

${\displaystyle J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.}$

Матрица Якобиана везде имеет нулевой определитель! Фактически мы видим, что образ h — это единичный круг .

Деформации поверхности

В механике преобразование, вызванное напряжением, называется деформацией и может быть описано диффеоморфизмом. Диффеоморфизм между двумя поверхностями и имеет матрицу Якоби , которая является обратимой матрицей . Фактически требуется, чтобы при существовала окрестность , в которой якобиан оставался неособым . Предположим, что на карте поверхности ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle f(x,y)=(u,v).}$

Полный дифференциал u равен _

${\displaystyle du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy}$, и аналогично для v .

Тогда образ представляет собой линейное преобразование , фиксирующее начало координат и выражаемое как действие комплексного числа определенного типа. Когда ( dx ,  dy ) также интерпретируется как комплексное число этого типа, действие представляет собой комплексное умножение в соответствующей плоскости комплексных чисел. Таким образом, существует тип угла ( евклидов , гиперболический или наклонный ), который сохраняется при таком умножении. Поскольку Df обратим, тип комплексного числа однороден по всей поверхности. Следовательно, поверхностная деформация или диффеоморфизм поверхностей обладает конформным свойством сохранения (соответствующего типа) углов. ${\displaystyle (du,dv)=(dx,dy)Df}$

Группа диффеоморфизмов

Пусть – дифференцируемое многообразие, счетное по секундам и хаусдорфово . Группа диффеоморфизмов — это группа всех диффеоморфизмов самого себя, обозначаемая или, если это понимать, . Это «большая» группа в том смысле, что — если она не нульмерна — она не является локально компактной . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}^{r}(M)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Топология

Группа диффеоморфизмов имеет две естественные топологии : слабую и сильную (Hirsch 1997). Когда многообразие компактно , эти две топологии согласуются. Слабая топология всегда метризуема . Когда многообразие некомпактно, сильная топология отражает поведение функций «на бесконечности» и не метризуема. Однако это все еще Бэр .

При фиксировании римановой метрики на слабой топологией называется топология, индуцированная семейством метрик ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d_{K}(f,g)=\sup \nolimits _{x\in K}d(f(x),g(x))+\sum \nolimits _{1\leq p\leq r}\sup \nolimits _{x\in K}\left\|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)\right\|}$

как изменяется по компактным подмножествам . Действительно, поскольку -компактно , существует последовательность компактных подмножеств , объединение которых равно . Затем: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d(f,g)=\sum \nolimits _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}.}$

Группа диффеоморфизмов, оснащенная своей слабой топологией, локально гомеоморфна пространству векторных полей (Лесли, 1967). Над компактным подмножеством это следует путем фиксации римановой метрики и использования экспоненциального отображения для этой метрики. Если конечно и многообразие компактно, то пространство векторных полей является банаховым пространством . Более того, отображения перехода от одной карты этого атласа к другой являются гладкими, что превращает группу диффеоморфизмов в банахово многообразие с гладкими правыми сдвигами; левые сдвиги и инверсии являются только непрерывными. Если , то пространство векторных полей является пространством Фреше . Более того, отображения перехода гладкие, что превращает группу диффеоморфизмов в многообразие Фреше и даже в регулярную группу Ли Фреше . Если многообразие -компактно и некомпактно, полная группа диффеоморфизмов не является локально стягиваемой ни для одной из двух топологий. Чтобы получить группу диффеоморфизмов, которая является многообразием, необходимо ограничить группу, контролируя отклонение от идентичности вблизи бесконечности; см. (Мичор и Мамфорд, 2013). ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=\infty }$ ${\displaystyle \sigma }$

Алгебра Ли

Алгебра Ли группы диффеоморфизмов состоит из всех векторных полей , снабженных скобкой Ли векторных полей . Несколько формально это можно увидеть, внося небольшое изменение координаты в каждой точке пространства: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)}$

поэтому бесконечно малые генераторы - это векторные поля

${\displaystyle L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.}$

Примеры

• Когда группа Ли , существует естественное включение в ее собственную группу диффеоморфизмов посредством левого перевода. Пусть обозначает группу диффеоморфизмов , тогда существует расщепление , где – подгруппа , фиксирующая единицу группы. ${\displaystyle M=G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G)\simeq G\times {\text{Diff}}(G,e)}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G,e)}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(G)}$
• Группа диффеоморфизмов евклидова пространства состоит из двух компонентов, состоящих из диффеоморфизмов, сохраняющих и обращающих ориентацию. Фактически, общая линейная группа является деформационным ретрактом подгруппы диффеоморфизмов, фиксирующих начало координат при отображении . В частности, общая линейная группа также является деформационным ретрактом полной группы диффеоморфизмов. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(\mathbb {R} ^{n},0)}$ ${\displaystyle f(x)\to f(tx)/t,t\in (0,1]}$
• Для конечного набора точек группа диффеоморфизмов — это просто симметрическая группа . Аналогично, если есть какое-либо многообразие, то существует групповое расширение . Вот подгруппа , которая сохраняет все компоненты , и группа перестановок набора (компоненты ). Более того, образ отображения — это биекции, сохраняющие классы диффеоморфизма. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0\to {\text{Diff}}_{0}(M)\to {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}_{0}(M)}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Sigma (\pi _{0}(M))}$ ${\displaystyle \pi _{0}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))}$ ${\displaystyle \pi _{0}(M)}$

Транзитивность

Для связного многообразия группа диффеоморфизмов действует на нем транзитивно . В более общем смысле группа диффеоморфизмов действует транзитивно в конфигурационном пространстве . Если группа диффеоморфизмов хотя бы двумерна, она действует транзитивно в конфигурационном пространстве , а действие на многократно транзитивно (Баньяга 1997, стр. 29). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{k}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F_{k}M}$ ${\displaystyle M}$

Расширения диффеоморфизмов

В 1926 году Тибор Радо спросил, дает ли гармоническое расширение любого гомеоморфизма или диффеоморфизма единичной окружности до единичного круга диффеоморфизм на открытом диске. Элегантное доказательство было вскоре предоставлено Хельмутом Кнезером . В 1945 году Гюстав Шоке , видимо, не зная об этом результате, привел совершенно другое доказательство.

Группа диффеоморфизмов окружности (сохраняющая ориентацию) линейно связна. В этом можно убедиться, заметив, что любой такой диффеоморфизм можно поднять до диффеоморфизма действительных чисел, удовлетворяющих ; это пространство выпукло и, следовательно, линейно связно. Гладкий, в конечном счете постоянный путь к тождеству дает второй, более элементарный способ расширения диффеоморфизма от круга до открытого единичного круга (частный случай трюка Александера ) . Более того, группа диффеоморфизмов окружности имеет гомотопический тип ортогональной группы . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [f(x+1)=f(x)+1]}$ ${\displaystyle O(2)}$

Соответствующая проблема расширения диффеоморфизмов сфер более высокой размерности широко изучалась в 1950-х и 1960-х годах, при заметном вкладе Рене Тома , Джона Милнора и Стивена Смейла . Препятствием таким расширениям является конечная абелева группа , « группа скрученных сфер », определяемая как факторгруппа абелевой компоненты группы диффеоморфизмов по подгруппе классов, расширяющихся до диффеоморфизмов шара . ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ ${\displaystyle B^{n}}$

Связность

Для многообразий группа диффеоморфизмов обычно не связна. Его группа компонентов называется группой классов отображения . В размерности 2 (т. е. поверхности ) группа классов отображений представляет собой конечно определенную группу , порожденную поворотами Дена ; это доказали Макс Ден , WBR Ликориш и Аллен Хэтчер ). ^{[ нужна цитата ]} Макс Ден и Якоб Нильсен показали, что его можно отождествить с внешней группой автоморфизмов фундаментальной группы поверхности.

Уильям Терстон уточнил этот анализ, разделив элементы группы классов отображения на три типа: эквивалентные периодическому диффеоморфизму; эквивалентные диффеоморфизму, оставляющему инвариант простой замкнутой кривой; и эквивалентные псевдоаносовским диффеоморфизмам . В случае тора группа классов отображений представляет собой просто модульную группу , и классификация становится классической в ​​терминах эллиптических , параболических и гиперболических матриц. Терстон завершил свою классификацию, заметив, что группа классов отображений естественным образом действует на компактификацию пространства Тейхмюллера ; поскольку это расширенное пространство было гомеоморфно замкнутому шару, стала применимой теорема Брауэра о неподвижной точке . Смейл предположил , что если — ориентированное гладкое замкнутое многообразие, то единичная компонента группы диффеоморфизмов, сохраняющих ориентацию, проста . Впервые это было доказано Мишелем Херманом для продукта кружков; в полной общности это было доказано Тёрстоном. ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle M}$

Гомотопические типы

• Группа диффеоморфизмов имеет гомотопический тип подгруппы . Это доказал Стив Смейл. ^[2] ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle O(3)}$
• Группа диффеоморфизмов тора имеет гомотопический тип своих линейных автоморфизмов : . ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\times {\text{GL}}(2,\mathbb {Z} )}$
• Группы диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей рода имеют гомотопический тип своих групп классов отображений (т. е. компоненты стягиваемы). ${\displaystyle g>1}$
• Гомотопический тип групп диффеоморфизмов 3-многообразий довольно хорошо понятен благодаря работам Иванова, Хэтчера, Габая и Рубинштейна, хотя есть несколько выдающихся открытых случаев (в первую очередь 3-многообразия с конечными фундаментальными группами ).
• Гомотопический тип групп диффеоморфизмов -многообразий для мало изучен. Например, остается открытой проблема, имеет ли он более двух компонентов. Однако через Милнора, Кана и Антонелли известно, что при условии , не имеет гомотопического типа конечного CW-комплекса . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>3}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(S^{4})}$ ${\displaystyle n>6}$ ${\displaystyle {\text{Diff}}(S^{n})}$

Гомеоморфизм и диффеоморфизм

Поскольку всякий диффеоморфизм является гомеоморфизмом, то для пары многообразий, диффеоморфных друг другу, они, в частности, гомеоморфны друг другу. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Хотя найти гомеоморфизмы, не являющиеся диффеоморфизмами, легко, труднее найти пару гомеоморфных многообразий, которые не являются диффеоморфными. В размерностях 1, 2 и 3 любая пара гомеоморфных гладких многообразий диффеоморфна. В размерности 4 и выше существуют примеры гомеоморфных, но не диффеоморфных пар. Первый такой пример был построен Джоном Милнором в размерности 7. Он построил гладкое 7-мерное многообразие (называемое теперь сферой Милнора ), которое гомеоморфно стандартной 7-сфере, но не диффеоморфно ей. Фактически существует 28 классов ориентированных диффеоморфизмов многообразий, гомеоморфных 7-сфере (каждый из них представляет собой полное пространство расслоения над 4-сферой с 3-сферой в качестве слоя).

Более необычные явления происходят для 4-многообразий . В начале 1980-х годов комбинация результатов Саймона Дональдсона и Майкла Фридмана привела к открытию экзотики : существует несчетное множество попарно недиффеоморфных открытых подмножеств, каждое из которых гомеоморфно , а также существует несчетное множество попарно недиффеоморфных открытых подмножеств, каждое из которых гомеоморфно . диффеоморфные дифференцируемые многообразия, гомеоморфные этому, не вкладываются гладко в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Смотрите также

• Диффеоморфизм Аносова , такой как карта кошки Арнольда
• Аномалия Диффео, также известная как гравитационная аномалия , тип аномалии в квантовой механике.
• Диффеология , гладкая параметризация на множестве, образующая диффеологическое пространство.
• Диффеоморфометрия , метрическое исследование формы и формы в вычислительной анатомии.
• Этальный морфизм
• Большой диффеоморфизм
• Локальный диффеоморфизм
• Супердиффеоморфизм

Примечания

1. Стивен Г. Кранц; Гарольд Р. Паркс (2013). Теорема о неявной функции: история, теория и приложения . Спрингер. п. Теорема 6.2.4. ISBN 978-1-4614-5980-4.
2. Смейл (1959). «Диффеоморфизмы 2-сферы». Учеб. амер. Математика. Соц . 10 (4): 621–626. дои : 10.1090/s0002-9939-1959-0112149-8 .

Рекомендации

• Кранц, Стивен Г.; Паркс, Гарольд Р. (2013). Теорема о неявной функции: история, теория и приложения . Современная классика Биркхойзера. Бостон. ISBN 978-1-4614-5980-4.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Чаудхури, Шьямоли; Каваи, Хикару; Тай, С.-Х. Генри (15 августа 1987 г.). «Формулировка замкнутых струн, интегральная по траекториям» (PDF) . Физический обзор D . 36 (4): 1148–1168. Бибкод : 1987PhRvD..36.1148C. doi :10.1103/physrevd.36.1148. ISSN  0556-2821. PMID  9958280. S2CID  41709882. Архивировано (PDF) из оригинала 21 июля 2018 г.
• Баньяга, Огюстен (1997), Структура классических групп диффеоморфизмов , Математика и ее приложения, том. 400, Клювер Академик, ISBN 0-7923-4475-8
• Дюрен, Питер Л. (2004), Гармонические отображения на плоскости , Cambridge Mathematical Tracts, vol. 156, Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-64121-7
• «Диффеоморфизм», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Хирш, Моррис (1997), Дифференциальная топология , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90148-0
• Кригль, Андреас; Михор, Питер (1997), Удобная настройка глобального анализа , Математические обзоры и монографии, том. 53, Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-0780-3
• Лесли, Дж. А. (1967), «О дифференциальной структуре группы диффеоморфизмов», Топология , 6 (2): 263–271, doi : 10.1016/0040-9383(67)90038-9 , ISSN  0040-9383, MR  0210147
• Михор, Питер В.; Мамфорд, Дэвид (2013), «Зоопарк групп диффеоморфизмов на R ⁿ .», Annals of Global Analysis and Geometry , 44 (4): 529–540, arXiv : 1211.5704 , doi : 10.1007/s10455-013-9380-2 , S2CID  118624866
• Милнор, Джон В. (2007), Собрание сочинений, том. III, Дифференциальная топология , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4230-0
• Омори, Хидеки (1997), Бесконечномерные группы Ли , Переводы математических монографий, том. 158, Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-4575-6
• Кнезер, Хельмут (1926), «Lösung der Aufgabe 41.», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 35 (2): 123