В математике , особенно в алгебраической геометрии и алгебраической топологии , теорема Лефшеца о гиперплоскости представляет собой точное утверждение определенных отношений между формой алгебраического многообразия и формой его подмногообразий. Точнее, теорема говорит, что для многообразия X , вложенного в проективное пространство и гиперплоское сечение Y , гомологии , когомологии и гомотопические группы X определяют группы Y. Результат такого рода впервые был сформулирован Соломоном Лефшецем для групп гомологии комплексных алгебраических многообразий. С тех пор аналогичные результаты были получены для гомотопических групп в положительной характеристике и в других теориях гомологии и когомологии.
Далеко идущее обобщение жесткой теоремы Лефшеца дается теоремой о разложении .
Пусть – -мерное комплексное проективное алгебраическое многообразие в , и пусть – его гиперплоское сечение, гладкое. Теорема Лефшеца относится к любому из следующих утверждений: [1] [2]
Используя длинную точную последовательность , можно показать, что каждое из этих утверждений эквивалентно теореме об исчезновении для некоторых относительных топологических инвариантов. По порядку это:
Соломон Лефшец [3] использовал свою идею карандаша Лефшеца для доказательства теоремы. Вместо того, чтобы рассматривать только сечение гиперплоскости , он поместил его в семейство сечений гиперплоскости , где . Поскольку гиперплоское сечение общего положения является гладким, все его многообразия, кроме конечного числа, являются гладкими. После удаления этих точек из -плоскости и создания дополнительного конечного числа разрезов полученное семейство гиперплоских сечений будет топологически тривиальным. То есть это произведение обобщения с открытым подмножеством -плоскости . Следовательно, можно понять, если понять, как идентифицируются гиперплоские сечения через щели и в особых точках. Вдали от особых точек отождествление можно описать индуктивно. В особых точках лемма Морса предполагает выбор системы координат особенно простого вида. Эту систему координат можно использовать для прямого доказательства теоремы. [4]
Альдо Андреотти и Теодор Франкель [5] признали, что теорему Лефшеца можно переформулировать с использованием теории Морса . [6] Здесь параметр играет роль функции Морса. Основным инструментом в этом подходе является теорема Андреотти-Франкеля , которая утверждает, что комплексное аффинное многообразие комплексной размерности (и, следовательно, вещественной размерности ) имеет гомотопический тип CW-комплекса (вещественной) размерности . Это означает, что относительные группы гомологий in тривиальны в степени меньше . Тогда длинная точная последовательность относительных гомологий дает теорему.
Ни доказательство Лефшеца, ни доказательство Андреотти и Франкеля непосредственно не подразумевают теорему Лефшеца о гиперплоскости для гомотопических групп. Подход, который это делает, был найден Рене Томом не позднее 1957 года и был упрощен и опубликован Раулем Боттом в 1959 году. [7] Том и Ботт интерпретируют это как исчезающее локус в секции линейного расслоения. Применение теории Морса к этому разделу подразумевает, что их можно построить из соседних ячеек размером или более. Отсюда следует, что относительные гомологии и гомотопические группы in сосредоточены в степенях и выше, что и дает теорему.
Кунихико Кодайра и Дональд К. Спенсер обнаружили, что при определенных ограничениях можно доказать теорему типа Лефшеца для групп Ходжа . В частности, предположим, что оно гладкое и линейное расслоение достаточно. Тогда отображение ограничения является изоморфизмом, если и инъективно, если . [8] [9] По теории Ходжа эти группы когомологий равны пучковым группам когомологий и . Следовательно, теорема следует из применения теоремы об исчезновении Акизуки–Накано к длинной точной последовательности и ее использования.
Объединение этого доказательства с теоремой об универсальных коэффициентах почти дает обычную теорему Лефшеца для когомологий с коэффициентами в любом поле нулевой характеристики. Однако оно немного слабее из-за дополнительных предположений о .
Майкл Артин и Александр Гротендик нашли обобщение теоремы Лефшеца о гиперплоскости на случай, когда коэффициенты когомологий лежат не в поле, а в конструктивном пучке . Они доказывают, что для конструктивного пучка на аффинном многообразии группы когомологий всегда обращаются в нуль . [10]
Мотивацией доказательства Артина и Гротендика конструктивных пучков было дать доказательство, которое можно было бы адаптировать к условиям этальных и -адических когомологий. С точностью до некоторых ограничений на конструктивный пучок теорема Лефшеца остается верной для конструктивных пучков положительной характеристики.
Теорема также может быть обобщена на гомологию пересечений . В этом случае теорема справедлива для сильно сингулярных пространств.
Теорема типа Лефшеца справедлива и для групп Пикара . [11]
Пусть – -мерное неособое комплексное проективное многообразие в . Тогда в кольце когомологий -кратное произведение с классом когомологий гиперплоскости дает изоморфизм между и .
Это трудная теорема Лефшеца , которую Гротендик по-французски окрестил в разговорной речи Теоремой Лефшеца . [12] [13] Отсюда сразу следует часть инъективности теоремы Лефшеца о гиперплоскости.
Жесткая теорема Лефшеца фактически верна для любого компактного кэлерова многообразия с изоморфизмом в когомологиях де Рама, заданным умножением на степень класса кэлеровой формы. Это может не работать для некэлеровых многообразий: например, поверхности Хопфа имеют исчезающие вторые группы когомологий, поэтому не существует аналога второго класса когомологий гиперплоского сечения.
Жесткая теорема Лефшеца была доказана для -адических когомологий гладких проективных многообразий над алгебраически замкнутыми полями положительной характеристики Пьером Делинем (1980).
