Уравнение Клейна–Гордона

Релятивистское волновое уравнение в квантовой механике

Уравнение Клейна–Гордона ( уравнение Клейна–Фока–Гордона или иногда уравнение Клейна–Гордона–Фока ) — релятивистское волновое уравнение , связанное с уравнением Шредингера . Оно имеет второй порядок в пространстве и времени и явно лоренц-ковариантно . Это дифференциальная версия уравнения релятивистского соотношения энергии и импульса . ${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,}$

Заявление

Уравнение Клейна–Гордона можно записать разными способами. Само уравнение обычно относится к форме позиционного пространства, где его можно записать в терминах разделенных компонент пространства и времени или путем объединения их в четырехвектор . Путем преобразования Фурье поля в импульсное пространство решение обычно записывается в терминах суперпозиции плоских волн , энергия и импульс которых подчиняются дисперсионному соотношению энергии-импульса из специальной теории относительности . Здесь уравнение Клейна–Гордона дано для обоих двух общих соглашений о сигнатурах метрики . ${\displaystyle (t,\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)}$

Здесь — волновой оператор , а — оператор Лапласа . Скорость света и постоянная Планка часто загромождают уравнения, поэтому их часто выражают в натуральных единицах , где . ${\displaystyle \Box =\pm \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle c=\hbar =1}$

В отличие от уравнения Шредингера, уравнение Клейна–Гордона допускает два значения ω для каждого k : одно положительное и одно отрицательное. Только путем выделения положительной и отрицательной частотных частей можно получить уравнение, описывающее релятивистскую волновую функцию. Для случая, не зависящего от времени, уравнение Клейна–Гордона становится

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0,}$

что формально совпадает с однородным экранированным уравнением Пуассона . Кроме того, уравнение Клейна-Гордона можно также представить в виде: ^[1]

${\displaystyle {\hat {p}}^{\mu }{\hat {p}}_{\mu }\psi =m^{2}c^{2}\psi }$

где оператор импульса задается как: . ${\textstyle {\hat {p}}^{\mu }=\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}=\mathrm {i} \hbar \left\{{\frac {\partial }{\partial (ct)}},-{\frac {\partial }{\partial x}},-{\frac {\partial }{\partial y}},-{\frac {\partial }{\partial z}}\right\}=\{{\frac {E}{c}},\mathbf {p} \}}$

Релевантность

Уравнение следует понимать в первую очередь как классическое непрерывное скалярное уравнение поля, которое может быть квантовано. Процесс квантования затем вводит квантовое поле, кванты которого являются бесспиновыми частицами. Его теоретическая значимость аналогична уравнению Дирака . ^[2] Решения уравнения включают скалярное или псевдоскалярное поле ^{[ необходимо разъяснение ]} . В области физики элементарных частиц электромагнитные взаимодействия могут быть включены, образуя тему скалярной электродинамики , практическая полезность для частиц, таких как пионы, ограничена. ^{[nb 1] [3]} Существует вторая версия уравнения для комплексного скалярного поля, которая теоретически важна, являясь уравнением бозона Хиггса . В области конденсированного вещества его можно использовать для многих приближений квазичастиц без спина. ^{[4] [5] [nb 2]}

Уравнение можно представить в виде уравнения Шредингера. В этой форме оно выражается как два связанных дифференциальных уравнения, каждое первого порядка по времени. ^[6] Решения имеют две компоненты, отражающие степень свободы заряда в теории относительности. ^{[6] [7]} Оно допускает сохраняющуюся величину, но она не является положительно определенной. Поэтому волновая функция не может быть интерпретирована как амплитуда вероятности . Сохраняющаяся величина вместо этого интерпретируется как электрический заряд , а квадрат нормы волновой функции интерпретируется как плотность заряда . Уравнение описывает все бесспиновые частицы с положительным, отрицательным и нулевым зарядом.

Любое решение свободного уравнения Дирака является для каждого из его четырех компонентов решением свободного уравнения Клейна–Гордона. Несмотря на то, что исторически оно было изобретено как уравнение одной частицы, уравнение Клейна–Гордона не может стать основой последовательной квантовой релятивистской одночастичной теории, любая релятивистская теория подразумевает рождение и уничтожение частиц за пределами определенного энергетического порога. ^{[8] [nb 3]}

Решение для свободной частицы

Здесь уравнение Клейна–Гордона в натуральных единицах, , с метрической сигнатурой решается с помощью преобразования Фурье. Вставка преобразования Фурье и использование ортогональности комплексных экспонент дает дисперсионное соотношение Это ограничивает импульсы теми, которые лежат на оболочке , давая положительные и отрицательные энергетические решения Для нового набора констант решение становится Обычно обрабатывается положительные и отрицательные энергетические решения путем выделения отрицательных энергий и работы только с положительными : На последнем этапе было переименовано. Теперь мы можем выполнить -интегрирование, выбрав положительную частотную часть только из дельта-функции: ${\displaystyle (\Box +m^{2})\psi (x)=0}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$ $${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{-ip\cdot x}\psi (p)}$$ $${\displaystyle p^{2}=(p^{0})^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}}$$ $${\displaystyle p^{0}=\pm E(\mathbf {p} )\quad {\text{where}}\quad E(\mathbf {p} )={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}.}$$ ${\displaystyle C(p)}$ $${\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}e^{ip\cdot x}C(p)\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2}).}$$ ${\displaystyle p^{0}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(p)e^{+ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\=&\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(-p)e^{+ip^{0}x^{0}-ip^{i}x^{i}}\right)\theta (p^{0})\\\rightarrow &\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\delta ((p^{0})^{2}-E(\mathbf {p} )^{2})\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle B(p)\rightarrow B(-p)}$ ${\displaystyle p^{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {\delta (p^{0}-E(\mathbf {p} ))}{2E(\mathbf {p} )}}\left(A(p)e^{-ip\cdot x}+B(p)e^{+ip\cdot x}\right)\theta (p^{0})\\&=\int \left.{\frac {\mathrm {d} ^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{2E(\mathbf {p} )}}\left(A(\mathbf {p} )e^{-ip\cdot x}+B(\mathbf {p} )e^{+ip\cdot x}\right)\right|_{p^{0}=+E(\mathbf {p} )}.\end{aligned}}}$$

Это обычно принимается как общее решение свободного уравнения Клейна–Гордона. Обратите внимание, что поскольку начальное преобразование Фурье содержало лоренц-инвариантные величины, такие как только , последнее выражение также является лоренц-инвариантным решением уравнения Клейна–Гордона. Если не требуется лоренц-инвариантность, можно поглотить -фактор в коэффициенты и . ${\displaystyle p\cdot x=p_{\mu }x^{\mu }}$ ${\displaystyle 1/2E(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle A(p)}$ ${\displaystyle B(p)}$

История

Уравнение было названо в честь физиков Оскара Клейна ^[9] и Уолтера Гордона ^[10] , которые в 1926 году предположили, что оно описывает релятивистские электроны. Владимир Фок также открыл уравнение независимо в 1926 году немного позже работы Клейна ^[11] в том, что статья Клейна была получена 28 апреля 1926 года, статья Фока была получена 30 июля 1926 года, а статья Гордона 29 сентября 1926 года. Другие авторы, сделавшие аналогичные заявления в том же году, включают Иоганна Кудара, Теофиля де Дондера и Франса-Х. ван ден Дунгена , а также Луи де Бройля . Хотя оказалось, что моделирование спина электрона требует уравнения Дирака , уравнение Клейна–Гордона правильно описывает бесспиновые релятивистские составные частицы , такие как пион . 4 июля 2012 года Европейская организация по ядерным исследованиям (CERN) объявила об открытии бозона Хиггса . Поскольку бозон Хиггса является частицей со спином ноль, он является первой наблюдаемой, по-видимому, элементарной частицей , описываемой уравнением Клейна–Гордона. Для того чтобы определить, является ли наблюдаемый бозон Хиггса частицей Стандартной модели или более экзотической, возможно, составной формой, необходимы дальнейшие эксперименты и анализ.

Уравнение Клейна–Гордона было впервые рассмотрено как квантовое волновое уравнение Эрвином Шрёдингером в его поисках уравнения, описывающего волны де Бройля . Уравнение найдено в его записных книжках с конца 1925 года, и он, по-видимому, подготовил рукопись, применяющую его к атому водорода. Тем не менее, поскольку оно не учитывает спин электрона, уравнение неверно предсказывает тонкую структуру атома водорода, включая переоценку общей величины картины расщепления в ⁠ раз4 н/2 н − 1⁠ для n -го уровня энергии. Однако релятивистский спектр уравнения Дирака легко восстанавливается, если заменитьквантовое число орбитального импульса l на квантовое число полного углового момента j . ^[12] В январе 1926 года Шредингер представил для публикации вместо этого свое уравнение, нерелятивистское приближение, которое предсказывает боровские уровни энергии водорода без тонкой структуры .

В 1926 году, вскоре после введения уравнения Шредингера, Владимир Фок написал статью о его обобщении для случая магнитных полей , где силы зависели от скорости , и независимо вывел это уравнение. И Клейн, и Фок использовали метод Калуцы и Клейна. Фок также определил калибровочную теорию для волнового уравнения . Уравнение Клейна–Гордона для свободной частицы имеет простое решение в виде плоской волны .

Вывод

Нерелятивистское уравнение для энергии свободной частицы имеет вид

${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.}$

Квантуя это, мы получаем нерелятивистское уравнение Шредингера для свободной частицы:

${\displaystyle {\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}}\psi ,}$

где

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }$

— оператор импульса ( где ∇ — оператор del ), а

${\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$

является энергетическим оператором .

Уравнение Шредингера страдает от того, что оно не является релятивистски инвариантным , то есть оно несовместимо со специальной теорией относительности .

Естественно попытаться использовать тождество из специальной теории относительности, описывающее энергию:

${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E.}$

Тогда, просто подставляя квантово-механические операторы для импульса и энергии, получаем уравнение

${\displaystyle {\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\,\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .}$

Квадратный корень дифференциального оператора можно определить с помощью преобразований Фурье , но из-за асимметрии пространственных и временных производных Дирак обнаружил, что невозможно включить внешние электромагнитные поля релятивистски инвариантным образом. Поэтому он искал другое уравнение, которое можно было бы модифицировать для описания действия электромагнитных сил. Кроме того, это уравнение в его нынешнем виде является нелокальным (см. также Введение в нелокальные уравнения).

Вместо этого Клейн и Гордон начали с квадрата приведенного выше тождества, т.е.

${\displaystyle \mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2},}$

что при квантовании дает

${\displaystyle \left((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\psi ,}$

что упрощается до

${\displaystyle -\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi .}$

Перестановка терминов дает

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}$

Поскольку из этого уравнения исключены все ссылки на мнимые числа, его можно применять как к полям с действительными значениями , так и к полям с комплексными значениями .

Переписывая первые два члена, используя обратную метрику Минковского diag(− c ² , 1, 1, 1) и явно записывая соглашение Эйнштейна о суммировании, получаем

${\displaystyle -\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }\psi \equiv \sum _{\mu =0}^{3}\sum _{\nu =0}^{3}-\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{0}^{2}\psi -\sum _{\nu =1}^{3}\partial _{\nu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi .}$

Таким образом, уравнение Клейна–Гордона можно записать в ковариантной нотации. Это часто означает сокращение в виде

${\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi =0,}$

где

${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }},}$

и

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.}$

Этот оператор называется волновым оператором .

Сегодня эта форма интерпретируется как релятивистское уравнение поля для частиц со спином -0. ^[6] Более того, любой компонент любого решения свободного уравнения Дирака (для частицы со спином 1/2 ) автоматически является решением свободного уравнения Клейна–Гордона. Это обобщается на частицы любого спина благодаря уравнениям Баргмана–Вигнера . Более того, в квантовой теории поля каждый компонент каждого квантового поля должен удовлетворять свободному уравнению Клейна–Гордона, ^[13] делая уравнение общим выражением квантовых полей.

Уравнение Клейна–Гордона в потенциале

Уравнение Клейна–Гордона можно обобщить для описания поля в некотором потенциале следующим образом ^[14] ${\displaystyle V(\psi )}$

${\displaystyle \Box \psi +{\frac {\partial V}{\partial \psi }}=0.}$

Тогда имеет место уравнение Клейна–Гордона . ${\displaystyle V(\psi )=M^{2}{\bar {\psi }}\psi }$

Другим распространенным выбором потенциала, который возникает во взаимодействующих теориях, является потенциал для реального скалярного поля ${\displaystyle \phi ^{4}}$ ${\displaystyle \phi ,}$

${\displaystyle V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+\lambda \phi ^{4}.}$

сектор Хиггса

Чистый сектор бозона Хиггса Стандартной модели моделируется полем Клейна–Гордона с потенциалом, обозначенным для этого раздела. Стандартная модель является калибровочной теорией, и поэтому, хотя поле преобразуется тривиально под действием группы Лоренца, оно преобразуется как -значный вектор под действием части калибровочной группы. Поэтому, хотя это векторное поле , его все равно называют скалярным полем, поскольку скаляр описывает его преобразование (формально, представление) под действием группы Лоренца. Это также обсуждается ниже в разделе скалярной хромодинамики. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} ^{2}}$

Поле Хиггса моделируется потенциалом

${\displaystyle V(H)=-m^{2}H^{\dagger }H+\lambda (H^{\dagger }H)^{2}}$,

который можно рассматривать как обобщение потенциала , но имеет важное отличие: он имеет круг минимумов. Это наблюдение является важным в теории спонтанного нарушения симметрии в Стандартной модели. ${\displaystyle \phi ^{4}}$

Сохраняемый ток U(1)

Уравнение Клейна–Гордона (и действие) для комплексного поля допускает симметрию. То есть, при преобразованиях ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle \psi (x)\mapsto e^{i\theta }\psi (x),}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)\mapsto e^{-i\theta }{\bar {\psi }}(x),}$

уравнение Клейна–Гордона инвариантно, как и действие (см. ниже). По теореме Нётер для полей, соответствующих этой симметрии, существует ток, определяемый как ${\displaystyle J^{\mu }}$

${\displaystyle J^{\mu }(x)={\frac {e}{2m}}\left(\,{\bar {\psi }}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\psi (x)\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}(x)\,\right).}$

который удовлетворяет уравнению сохранения. Форму сохраняющегося тока можно вывести систематически, применяя теорему Нётер к симметрии. Мы не будем этого делать здесь, а просто проверим, что этот ток сохраняется. ${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0.}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

Из уравнения Клейна–Гордона для комплексного поля массы , записанного в ковариантной нотации и в основном с положительной сигнатурой, ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (\square +m^{2})\psi (x)=0}$

и его комплексно сопряженное

${\displaystyle (\square +m^{2}){\bar {\psi }}(x)=0.}$

Умножая слева соответственно на и (и опуская для краткости явную зависимость), ${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(\square +m^{2})\psi =0,}$

${\displaystyle \psi (\square +m^{2}){\bar {\psi }}=0.}$

Вычитая первое из второго, получаем

${\displaystyle {\bar {\psi }}\square \psi -\psi \square {\bar {\psi }}=0,}$

или в индексной записи,

${\displaystyle {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial _{\mu }\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}=0.}$

Применяя это к производной тока, находим ${\displaystyle J^{\mu }(x)\equiv \psi ^{*}(x)\partial ^{\mu }\psi (x)-\psi (x)\partial ^{\mu }\psi ^{*}(x),}$

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0.}$

Эта симметрия является глобальной симметрией, но ее также можно калибровать для создания локальной или калибровочной симметрии: см. ниже скалярную КЭД. Название калибровочной симметрии несколько вводит в заблуждение: на самом деле это избыточность, в то время как глобальная симметрия является подлинной симметрией. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

Формулировка Лагранжа

Уравнение Клейна–Гордона можно также вывести вариационным методом, возникая как уравнение Эйлера–Лагранжа действия

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-\hbar ^{2}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\,\partial _{\nu }\psi -M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x,}$

В натуральных единицах, с подписью в основном минус , действия принимают простую форму

Действие Клейна–Гордона для действительного скалярного поля

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right)}$

для реального скалярного поля массы , и ${\displaystyle m}$

Действие Клейна–Гордона для комплексного скалярного поля

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left(\partial ^{\mu }\psi \partial _{\mu }{\bar {\psi }}-M^{2}\psi {\bar {\psi }}\right)}$

для комплексного скалярного поля массы . ${\displaystyle M}$

Применяя формулу для тензора энергии-импульса к плотности Лагранжа (величина внутри интеграла), мы можем вывести тензор энергии-импульса скалярного поля. Он равен

${\displaystyle T^{\mu \nu }=\hbar ^{2}\left(\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }+\eta ^{\mu \beta }\eta ^{\nu \alpha }-\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\psi }}\,\partial _{\beta }\psi -\eta ^{\mu \nu }M^{2}c^{2}{\bar {\psi }}\psi .}$

и в натуральных единицах,

${\displaystyle T^{\mu \nu }=2\partial ^{\mu }{\bar {\psi }}\partial ^{\nu }\psi -\eta ^{\mu \nu }(\partial ^{\rho }{\bar {\psi }}\partial _{\rho }\psi -M^{2}{\bar {\psi }}\psi )}$

Интегрируя компонент времени-времени T ⁰⁰ по всему пространству, можно показать, что как положительно-, так и отрицательно-частотные решения плоской волны могут быть физически связаны с частицами с положительной энергией. Это не относится к уравнению Дирака и его тензору энергии-импульса. ^[6]

Тензор энергии напряжения представляет собой набор сохраняющихся токов, соответствующих инвариантности уравнения Клейна–Гордона относительно пространственно-временных трансляций . Поэтому каждый компонент сохраняется, то есть (это справедливо только для on-shell , то есть когда выполняются уравнения Клейна–Гордона). Из этого следует, что интеграл от по пространству является сохраняющейся величиной для каждого . Они имеют физическую интерпретацию полной энергии для и полного импульса для с . ${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+c^{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle T^{0\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle \nu =i}$ ${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$

Нерелятивистский предел

Классическое поле

Принятие нерелятивистского предела ( v ≪ c ) классического поля Клейна–Гордона ψ ( x , t ) начинается с анзаца, факторизующего колебательный член энергии массы покоя ,

${\displaystyle \psi (\mathbb {x} ,t)=\phi (\mathbb {x} ,t)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\quad {\textrm {where}}\quad \phi (\mathbb {x} ,t)=u_{E}(x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}E't}.}$

Определение кинетической энергии в нерелятивистском пределе , и, следовательно , ${\displaystyle E'=E-mc^{2}={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}p^{2}}}-mc^{2}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle E'\ll mc^{2}}$ ${\displaystyle v=p/m\ll c}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=E'\phi \ll mc^{2}\phi \quad {\textrm {and}}\quad (i\hbar )^{2}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=(E')^{2}\phi \ll (mc^{2})^{2}\phi .}$

Применение этого дает нерелятивистский предел второй производной по времени , ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi +{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi -{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}\right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

Подставляя в свободное уравнение Клейна–Гордона, получаем ${\displaystyle c^{-2}\partial _{t}^{2}\psi =\nabla ^{2}\psi -({\frac {mc}{\hbar }})^{2}\psi }$

${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx \left(\nabla ^{2}-\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right)\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}}$

что (путем деления экспоненты и вычитания массового члена) упрощается до

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi .}$

Это классическое поле Шредингера .

Квантовое поле

Аналогичный предел квантового поля Клейна–Гордона осложняется некоммутативностью оператора поля. В пределе v ≪ c операторы рождения и уничтожения расцепляются и ведут себя как независимые квантовые поля Шредингера .

Скалярная электродинамика

Существует способ заставить комплексное поле Клейна–Гордона взаимодействовать с электромагнетизмом калибровочно -инвариантным образом. Мы можем заменить (частичную) производную калибровочно-ковариантной производной. При локальном калибровочном преобразовании поля преобразуются как ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

${\displaystyle \psi \mapsto \psi '=e^{i\theta (x)}\psi ,}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}'=e^{-i\theta (x)}{\bar {\psi }},}$

где — функция пространства-времени, что делает ее локальным преобразованием, в отличие от константы по всему пространству-времени, которая была бы глобальным преобразованием. Тонкий момент заключается в том, что глобальные преобразования могут возникать как локальные, когда функция принимается за постоянную функцию. ${\displaystyle \theta (x)=\theta (t,{\textbf {x}})}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle \theta (x)}$

Хорошо сформулированная теория должна быть инвариантной относительно таких преобразований. А именно, это означает, что уравнения движения и действия (см. ниже) инвариантны. Чтобы добиться этого, обычные производные должны быть заменены калибровочно-ковариантными производными , определяемыми как ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ ${\displaystyle D_{\mu }}$

${\displaystyle D_{\mu }\psi =(\partial _{\mu }-ieA_{\mu })\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }{\bar {\psi }}=(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }){\bar {\psi }}}$

где 4-потенциал или калибровочное поле преобразуется при калибровочном преобразовании как ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A'_{\mu }=A_{\mu }+{\frac {1}{e}}\partial _{\mu }\theta }$.

При этих определениях ковариантная производная преобразуется как

${\displaystyle D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\theta }D_{\mu }\psi }$

В натуральных единицах уравнение Клейна–Гордона, таким образом, принимает вид

${\displaystyle D_{\mu }D^{\mu }\psi -M^{2}\psi =0.}$

Поскольку некалиброванная симметрия присутствует только в комплексной теории Клейна–Гордона, эта связь и переход к калиброванной симметрии совместимы только с комплексной теорией Клейна–Гордона, а не с реальной теорией Клейна–Гордона. ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

В натуральных единицах и в основном с минусовой подписью имеем

Скалярное действие КЭД

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,\left(-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+D^{\mu }\psi D_{\mu }{\bar {\psi }}-M^{2}\psi {\bar {\psi }}\right)}$

где известна как тензор Максвелла, напряженность поля или кривизна в зависимости от точки зрения. ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$

Эту теорию часто называют скалярной квантовой электродинамикой или скалярной КЭД, хотя все обсуждаемые здесь аспекты являются классическими.

Скалярная хромодинамика

Это можно распространить на неабелеву калибровочную теорию с калибровочной группой , где мы связываем скалярное действие Клейна–Гордона с лагранжианом Янга–Миллса . Здесь поле фактически векторнозначно, но все еще описывается как скалярное поле: скаляр описывает свое преобразование при преобразованиях пространства-времени , но не свое преобразование под действием калибровочной группы. ${\displaystyle G}$

Для конкретности мы фиксируем , чтобы быть , специальная унитарная группа для некоторых . При калибровочном преобразовании , которое может быть описано как функция , скалярное поле преобразуется как вектор ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle N\geq 2}$ ${\displaystyle U(x)}$ ${\displaystyle U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{SU}}(N),}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

${\displaystyle \psi (x)\mapsto U(x)\psi (x)}$

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(x)\mapsto \psi ^{\dagger }(x)U^{\dagger }(x)}$.

Ковариантная производная равна

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi -igA_{\mu }\psi }$

${\displaystyle D_{\mu }\psi ^{\dagger }=\partial _{\mu }\psi ^{\dagger }+ig\psi ^{\dagger }A_{\mu }^{\dagger }}$

где калибровочное поле или связь преобразуется как

${\displaystyle A_{\mu }\mapsto UA_{\mu }U^{-1}-{\frac {i}{g}}\partial _{\mu }UU^{-1}.}$

Это поле можно рассматривать как матричнозначное поле, действующее в векторном пространстве . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

Наконец, определим напряженность или кривизну хромомагнитного поля,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+g(A_{\mu }A_{\nu }-A_{\nu }A_{\mu }),}$

мы можем определить действие.

Скалярное действие КХД

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,\left(-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+D^{\mu }\psi ^{\dagger }D_{\mu }\psi -M^{2}\psi ^{\dagger }\psi \right)}$

Клейн–Гордон об искривленном пространстве-времени

В общей теории относительности мы включаем эффект гравитации, заменяя частные производные ковариантными производными , и уравнение Клейна–Гордона становится (в основном в положительной сигнатуре ) ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }(\partial _{\nu }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,\end{aligned}}}$

или эквивалентно,

${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0,}$

где g ^αβ — обратная величина метрического тензора , представляющая собой гравитационное потенциальное поле, g — определитель метрического тензора, ∇ _μ — ковариантная производная , а Γ ^σ _μν — символ Кристоффеля , представляющий собой гравитационное силовое поле .

С натуральными единицами это становится

Уравнение Клейна–Гордона на искривленном пространстве-времени для действительного скалярного поля

${\displaystyle \nabla ^{a}\nabla _{a}\Phi -m^{2}\Phi =0}$

Это также допускает формулировку действия на пространственно-временном (лоренцевом) многообразии . Используя абстрактную индексную нотацию и в основном плюсовую сигнатуру, это ${\displaystyle M}$

Действие Клейна–Гордона в искривленном пространстве-времени для реального скалярного поля

${\displaystyle S=\int _{M}d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left(-{\frac {1}{2}}g^{ab}\nabla _{a}\Phi \nabla _{b}\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{2}\right)}$

или

Действие Клейна–Гордона в искривленном пространстве-времени для комплексного скалярного поля

${\displaystyle S=\int _{M}d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left(-g^{ab}\nabla _{a}\Psi \nabla _{b}{\bar {\Psi }}-M^{2}\Psi {\bar {\Psi }}\right)}$

Смотрите также

• Квантовая теория поля
• Квартальное взаимодействие
• Релятивистские волновые уравнения
• Уравнение Дирака (спин 1/2)
• Действие Proca (вращение 1)
• Уравнение Рариты – Швингера (спин 3/2)
• Теория скалярного поля
• Уравнение синуса–Гордона

Замечания

1. Обычные бесспиновые частицы, такие как пионы , нестабильны и также испытывают сильное взаимодействие (с неизвестным членом взаимодействия в гамильтониане )
2. Уравнение синус-Гордона является важным примером интегрируемой системы.
3. Для примирения квантовой механики со специальной теорией относительности необходима теория множественных частиц и, следовательно, квантовая теория поля , в которой уравнение Клейна–Гордона вновь возникает как уравнение, которому подчиняются компоненты всех ^{[ требуется разъяснение ]} свободных квантовых полей.
   Стивен Вайнберг подчеркивает это. Он полностью опускает рассмотрение релятивистской волновой механики в своем в остальном полном введении в современные приложения квантовой механики, объясняя: «Мне кажется, что способ, которым это обычно представлено в книгах по квантовой механике, глубоко вводит в заблуждение». (Из предисловия к Lectures on Quantum Mechanics , ссылаясь на рассмотрение уравнения Дирака в его первоначальном виде.)
   Другие, как это делает Уолтер Грейнер в своей серии по теоретической физике, дают полный отчет об историческом развитии и взгляде на релятивистскую квантовую механику, прежде чем они перейдут к современной интерпретации, с обоснованием того, что с педагогической точки зрения крайне желательно или даже необходимо выбрать длинный путь. В квантовой теории поля решения свободных (невзаимодействующих) версий исходных уравнений по-прежнему играют роль. Они необходимы для построения гильбертова пространства ( пространства Фока ) и для выражения квантовых полей с использованием полных наборов (охватывающих наборов гильбертова пространства) волновых функций.

Примечания

1. Грейнер, Уолтер (2013-06-29). Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-03425-5.
2. Гросс 1993.
3. Грейнер и Мюллер 1994.
4. Bandyopadhyay, AK; Ray, PC; Gopalan, Venkatraman (2006). «Подход к уравнению Клейна–Гордона для динамического исследования сегнетоэлектрических материалов». Journal of Physics: Condensed Matter . 18 (16): 4093–4099. doi :10.1088/0953-8984/18/16/016. PMID  21690761.
5. Варро, Шандор (2014). «Новый класс точных решений уравнения Клейна–Гордона заряженной частицы, взаимодействующей с плоской электромагнитной волной в среде». Laser Physics Letters . 11 : 016001. arXiv : 1306.0097 . doi :10.1088/1612-2011/11/1/016001.
6. Greiner 2000, Гл. 1.
7. Фешбах и Вилларс 1958.
8. Вайнберг, Стивен. "Гл. I и II". Квантовая теория полей I.
9. О. Клейн, ZS. f. Phys. 37, 895, 1926
10. W. Gordon, Z. Phys., 40 (1926–1927) стр. 117–133
11. В. Фок, ZS. f. Phys.39, 226, 1926
12. См. Itzykson, C.; Zuber, J.-B. (1985). Квантовая теория поля . McGraw-Hill. стр. 73–74. ISBN 0-07-032071-3.Уравнение 2.87 идентично уравнению 2.86, за исключением того, что в нем вместо l используется j .
13. Вайнберг 2002, Гл. 5.
14. Тонг, Дэвид (2006). "Лекции по квантовой теории поля, Лекция 1, Раздел 1.1.1" . Получено 16.01.2012 .
15. Фуллинг, С.А. (1996). Аспекты квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени . Cambridge University Press. стр. 117. ISBN 0-07-066353-X.

Ссылки

• Давыдов, А.С. (1976). Квантовая механика, 2-е издание . Pergamon Press . ISBN 0-08-020437-6.
• Фешбах, Х.; Вилларс, Ф. (1958). «Элементарная релятивистская волновая механика частиц со спином 0 и спином 1/2». Reviews of Modern Physics . 30 (1): 24–45. Bibcode : 1958RvMP...30...24F. doi : 10.1103/RevModPhys.30.24.
• Гордон, Уолтер (1926). «Комптонэффект на теорию Шредингера». Zeitschrift für Physik . 40 (1–2): 117. Бибкод : 1926ZPhy...40..117G. дои : 10.1007/BF01390840. S2CID  122254400.
• Грейнер, В. (2000). Релятивистская квантовая механика. Волновые уравнения (3-е изд.). Springer Verlag . ISBN 3-5406-74578.
• Greiner, W.; Müller, B. (1994). Квантовая механика: Симметрии (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3540580805.
• Гросс, Ф. (1993). Релятивистская квантовая механика и теория поля (1-е изд.). Wiley-VCH . ISBN 978-0471591139.
• Кляйн, О. (1926). «Квантовая теория и многомерная теория относительности». Zeitschrift für Physik . 37 (12): 895. Бибкод : 1926ZPhy...37..895K. дои : 10.1007/BF01397481.
• Сакурай, Дж. Дж. (1967). Advanced Quantum Mechanics . Эддисон Уэсли . ISBN 0-201-06710-2.
• Вайнберг, С. (2002). Квантовая теория полей . Том I. Cambridge University Press . ISBN 0-521-55001-7.

Внешние ссылки

• «Уравнение Клейна–Гордона», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Клейна-Гордона». Математический мир .
• Линейное уравнение Клейна–Гордона в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Нелинейное уравнение Клейна–Гордона в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Введение в нелокальные уравнения.