Мультиплет

В физике , и особенно в физике элементарных частиц , мультиплет — это пространство состояний для «внутренних» степеней свободы частицы, то есть степеней свободы, связанных с самой частицей, в отличие от «внешних» степеней свободы, таких как положение частицы в пространстве. Примерами таких степеней свободы являются спиновое состояние частицы в квантовой механике или цветовое , изоспиновое и гиперзарядовое состояние частиц в Стандартной модели физики элементарных частиц. Формально мы описываем это пространство состояний векторным пространством , которое несет действие группы непрерывных симметрий.

Математическая формулировка

Математически мультиплеты описываются с помощью представлений группы Ли или соответствующей ей алгебры Ли и обычно используются для обозначения неприводимых представлений (сокращенно IRREPS).

На групповом уровне это триплет, где ${\displaystyle (V,G,\rho )}$

• ${\displaystyle V}$— это векторное пространство над полем (в алгебраическом смысле) , обычно принимаемое за или ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle G}$— группа Ли. Часто это компактная группа Ли.
• ${\displaystyle \rho }$является гомоморфизмом групп , то есть отображением из группы в пространство обратимых линейных отображений на . Это отображение должно сохранять структуру группы: поскольку мы имеем . ${\displaystyle G\rightarrow {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G,}$ ${\displaystyle \rho (g_{1}\cdot g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2})}$

На уровне алгебры это триплет , где ${\displaystyle (V,{\mathfrak {g}},\rho )}$

• ${\displaystyle V}$все как прежде.
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$— алгебра Ли. Часто это конечномерная алгебра Ли над или . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \rho }$является гомоморфизмом алгебры Ли . Это линейное отображение, которое сохраняет скобку Ли: поскольку мы имеем . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2}\in {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle \rho ([X_{1},X_{2}])=[\rho (X_{1}),\rho (X_{2})]}$

Этот символ используется как для алгебр Ли, так и для групп Ли, поскольку, по крайней мере в конечной размерности, существует хорошо понятная связь между группами Ли и алгебрами Ли. ${\displaystyle \rho }$

В математике гомоморфизм обычно называют представлением, например, в предложении «рассмотреть представление », а векторное пространство называют «пространством представления». В физике иногда векторное пространство называют представлением, например, в предложении «мы моделируем частицу как преобразующуюся в синглетном представлении», или даже ссылаются на квантовое поле, которое принимает значения в таком представлении, и физические частицы, которые моделируются таким квантовым полем. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V}$

Для неприводимого представления an -plet относится к размерному неприводимому представлению. Как правило , группа может иметь несколько неизоморфных представлений одной и той же размерности, поэтому это не полностью характеризует представление. Исключением является , которая имеет ровно одно неприводимое представление размерности для каждого неотрицательного целого числа . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Например, рассмотрим реальное трехмерное пространство, . Группа трехмерных вращений SO(3) действует естественным образом на этом пространстве как группа матриц. Эта явная реализация группы вращений известна как фундаментальное представление , поэтому является пространством представления. Полные данные представления таковы . Поскольку размерность этого пространства представления равна 3, это известно как триплетное представление для , и его принято обозначать как . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \rho _{\text{fund}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},{\text{SO(3)}},\rho _{\text{fund}})}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbf {3} }$

Применение в теоретической физике

Для приложений к теоретической физике мы можем ограничить наше внимание теорией представления нескольких физически важных групп. Многие из них имеют хорошо понятую теорию представления:

• ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$: Часть калибровочной группы Стандартной модели и калибровочной группы для теорий электромагнетизма. Все Irrep являются одномерными и индексируются целыми числами , явно заданными с помощью . Индекс можно понимать как номер обмотки карты. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \rho _{n}:{\text{U}}(1)\rightarrow {\text{GL}}(\mathbb {C} );e^{i\theta }\mapsto e^{in\theta }}$
• ${\displaystyle {\text{SU}}(2)\cong {\text{Spin}}(3)}$: Часть калибровочной группы Стандартной модели. Irreps индексируются неотрицательными целыми числами в , описывающими размерность представления или, при соответствующей нормализации, наибольший вес представления. В физике принято обозначать их полуцелыми числами. См. Теория представлений SU(2) . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$: Группа вращений трехмерного пространства. Irreps — это нечетномерные Irreps ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$
• ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$: Часть калибровочной группы Стандартной модели. Irreps — это индексированные пары неотрицательных целых чисел , описывающие наибольший вес представления. См. коэффициенты Клебша-Гордана для SU(3) . ${\displaystyle (m,n)}$
• ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$: Группа Лоренца , линейные симметрии плоского пространства-времени. Все представления возникают как представления соответствующей им спиновой группы. См. Теория представлений группы Лоренца .
• ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\cong {\text{Spin}}(1,3)}$: Спиновая группа . Irrep индексируются парами неотрицательных целых чисел , индексирующих размерность представления. ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$ ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$
• ${\displaystyle {\text{E}}(1,3)\cong \mathbb {R} ^{1,3}\rtimes {\text{SO}}(1,3)}$: Группа Пуанкаре изометрий плоского пространства-времени. Это можно понять в терминах теории представлений групп, указанных выше. См. классификацию Вигнера .

Все эти группы появляются в теории Стандартной модели. Для теорий, которые расширяют эти симметрии, можно рассмотреть теорию представления некоторых других групп:

• Конформная симметрия: Для псевдоевклидова пространства симметрии описываются конформной группой . ${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q)\cong O(p,q)/\mathbb {Z} _{2}}$
• Суперсимметрия: симметрия, описываемая супергруппой.
• Теории великого объединения: Калибровочные группы, которые содержат калибровочную группу Стандартной модели как подгруппу. Предлагаемые кандидаты включают и . ${\displaystyle {\text{SU}}(5),{\text{SO}}(10)}$ ${\displaystyle {\text{E}}_{6}}$

Физика

Квантовая теория поля

В квантовой физике математическое понятие обычно применяется к представлениям калибровочной группы . Например, калибровочная теория будет иметь мультиплеты, которые являются полями , представление которых определяется единственным полуцелым числом , изоспином. Поскольку неприводимые представления изоморфны симметрической степени фундаментального представления th, каждое поле имеет симметризованные внутренние индексы. ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle s=:n/2}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Поля также преобразуются по представлениям группы Лоренца , или, в более общем смысле, ее спиновой группы , которая может быть отождествлена ​​с из-за исключительного изоморфизма . Примерами являются скалярные поля , обычно обозначаемые , которые преобразуются в тривиальном представлении, векторные поля (строго говоря , это может быть более точно обозначено как ковекторное поле), которые преобразуются как 4-вектор, и спинорные поля, такие как спиноры Дирака или Вейля, которые преобразуются в представлениях . Правый спинор Вейля преобразуется в фундаментальном представлении , . ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\text{Spin}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Помните, что помимо группы Лоренца поле может преобразовываться под действием калибровочной группы. Например, скалярное поле , где — точка пространства-времени, может иметь изоспиновое состояние, принимающее значения в фундаментальном представлении . Тогда — векторная функция пространства-времени, но все равно называется скалярным полем, поскольку оно тривиально преобразуется под действием преобразований Лоренца. ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

В квантовой теории поля различные частицы соответствуют один к одному с калиброванными полями, преобразующимися в неприводимые представления внутренней и Лоренцевой группы. Таким образом, мультиплет также стал описывать набор субатомных частиц, описываемых этими представлениями.

Примеры

Наиболее известным примером является спиновый мультиплет , который описывает симметрии группового представления подгруппы SU(2) алгебры Лоренца , которая используется для определения квантования спина. Спиновый синглет является тривиальным представлением, спиновый дублет является фундаментальным представлением , а спиновый триплет находится в векторном представлении или присоединенном представлении .

В КХД кварки находятся в мультиплете SU(3) , а именно в трехмерном фундаментальном представлении.

Другие применения

Спектроскопия

В спектроскопии, особенно гамма-спектроскопии и рентгеновской спектроскопии , мультиплет представляет собой группу связанных или неразрешимых спектральных линий . Когда число неразрешенных линий невелико, их часто называют дублетными или триплетными пиками, в то время как мультиплет используется для описания групп пиков в любом количестве.

Ссылки

• Georgi, H. (1999). Алгебры Ли в физике элементарных частиц: от изоспина до единых теорий (1-е изд.). CRC Press. https://doi.org/10.1201/9780429499210

Смотрите также

• Гиперзаряд
• Изоспин
• Спин (физика)
• Групповое представительство
• Множественность (химия)