stringtranslate.com

Исключительный изоморфизм

В математике исключительный изоморфизм , также называемый случайным изоморфизмом , — это изоморфизм между элементами a i и b j двух семейств, обычно бесконечных, математических объектов, который является случайным, поскольку не является примером общей модели таких изоморфизмов. [примечание 1] Эти совпадения иногда считаются пустяками, [1] но в других отношениях они могут привести к вытекающим явлениям, таким как исключительные объекты . [1] Далее совпадения организованы в соответствии со структурами, в которых они происходят.

Группы

Конечные простые группы

Исключительные изоморфизмы между сериями конечных простых групп в основном включают проективные специальные линейные группы и знакопеременные группы и следующие: [2]

Знакопеременные группы и симметричные группы

Соединение пяти тетраэдров выражает исключительный изоморфизм между хиральной икосаэдрической группой и чередующейся группой из пяти букв.

Имеются совпадения между симметричными/переменными группами и малыми группами типа Ли / полиэдральными группами : [3]

Все это можно объяснить систематическим образом, используя линейную алгебру (и действие S n на аффинном n пространстве) для определения изоморфизма, идущего с правой стороны на левую сторону. (Вышеуказанные изоморфизмы для A 8 и S 8 связаны посредством исключительного изоморфизма SL 4  /  μ 2 ≅ SO 6 .)

Имеются также некоторые совпадения с симметриями правильных многогранников : знакопеременная группа A 5 согласуется с хиральной икосаэдрической группой (которая сама по себе является исключительным объектом), а двойное покрытие знакопеременной группы A 5 представляет собой бинарную икосаэдрическую группу .

Тривиальная группа

Тривиальная группа возникает многочисленными способами. Тривиальная группа часто опускается из начала классического семейства. Например:

Сферы

Сферы S 0 , S 1 и S 3 допускают групповые структуры, которые можно описать многими способами:

Спиновые группы

В дополнение к Spin(1), Spin(2) и Spin(3), указанным выше, существуют изоморфизмы для групп спинов более высокой размерности :

Кроме того, Spin(8) имеет исключительный автоморфизм триальности порядка 3 .

Диаграммы Кокстера–Дынкина

Существуют некоторые исключительные изоморфизмы диаграмм Дынкина , дающие изоморфизмы соответствующих групп Коксетера и многогранников, реализующих симметрии, а также изоморфизмы алгебр Ли, корневые системы которых описываются теми же диаграммами. Это:

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Поскольку эти серии объектов представлены по-разному, они не являются идентичными объектами (не имеют идентичных описаний), но оказываются описывающими один и тот же объект, поэтому это называют изоморфизмом, а не равенством (тождеством).

Ссылки

  1. ^ ab Wilson 2009, Глава 1: Введение
  2. ^ Уилсон 2009, Глава 1: Введение
  3. ^ Уилсон 2009, Глава 3