Исключительный объект

Платоновы тела , представленные здесь на иллюстрации из Mysterium Cosmographicum Иоганна Кеплера ( 1596), являются ранним примером исключительных объектов. Симметрии трехмерного пространства можно разделить на два бесконечных семейства — циклические и двугранные симметрии n- сторонних многоугольников — и пять исключительных типов симметрии, а именно группы симметрии Платоновых тел.

Многие разделы математики изучают объекты заданного типа и доказывают теорему классификации . Общей темой является то, что классификация приводит к ряду серий объектов и конечному числу исключений — часто с желаемыми свойствами — которые не вписываются ни в одну серию. Они известны как исключительные объекты . Во многих случаях эти исключительные объекты играют дополнительную и важную роль в предмете. Более того, исключительные объекты в одной отрасли математики часто связаны с исключительными объектами в других. ^{[1] [2] [3]}

Связанное явление — исключительный изоморфизм , когда две серии в общем различны, но совпадают для некоторых малых значений. Например, спиновые группы в низких размерностях изоморфны другим классическим группам Ли . ^[4]

Правильные многогранники

Прототипические примеры исключительных объектов возникают в классификации правильных многогранников : в двух измерениях существует ряд правильных n -угольников для n  ≥ 3. В каждом измерении выше 2 можно найти аналоги куба, тетраэдра и октаэдра. В трех измерениях можно найти еще два правильных многогранника — додекаэдр ( 12-гранник) и икосаэдр (20-гранник) — составляющие пять Платоновых тел . В четырех измерениях существует в общей сложности шесть правильных многогранников , включая 120-ячейниковый , 600-ячейниковый и 24-ячейниковый . Других правильных многогранников нет, поскольку единственными правильными многогранниками в более высоких измерениях являются серии гиперкуба , симплекса и ортоплекса . Во всех измерениях, объединенных вместе, таким образом, существует три серии и пять исключительных многогранников. ^[5]

Более того, картина становится похожей, если включить невыпуклые многогранники: в двух измерениях для каждого рационального числа существует правильный звездчатый многоугольник . ^[6] В трех измерениях существует четыре многогранника Кеплера–Пуансо , а в четырех измерениях — десять многогранников Шлефли–Гесса ; в более высоких измерениях нет невыпуклых правильных фигур. ${\displaystyle \textstyle p/q>2}$

Их можно обобщить на мозаики других пространств, особенно однородные мозаики , в частности, мозаики евклидова пространства ( соты ), которые имеют исключительные объекты, и мозаики гиперболического пространства. Существуют различные исключительные объекты в размерности ниже 6, но в размерности 6 и выше единственными правильными многогранниками/мозаиками/гиперболическими мозаиками являются симплекс, гиперкуб, кросс-политоп и решетка гиперкуба.

Треугольники Шварца

Связанные с мозаикой и правильными многогранниками, существуют исключительные треугольники Шварца (треугольники, которые заполняют сферу или, в более общем смысле, евклидову плоскость или гиперболическую плоскость посредством своей группы треугольников отражений на своих ребрах), в частности, треугольники Мёбиуса . В сфере существует 3 треугольника Мёбиуса (и 1 1-параметрическое семейство), соответствующие 3 исключительным группам платоновых тел, в то время как в евклидовой плоскости существует 3 треугольника Мёбиуса, соответствующие 3 специальным треугольникам: 60-60-60 ( равносторонний ), 45-45-90 (равнобедренный прямой) и 30-60-90 . Существуют дополнительные исключительные треугольники Шварца в сфере и евклидовой плоскости. Напротив, в гиперболической плоскости существует 3-параметрическое семейство треугольников Мёбиуса, и ни одного исключительного.

Конечные простые группы

Отношения между спорадическими группами, большинство из которых связаны с монстром.

Конечные простые группы были классифицированы на ряд серий, а также на 26 спорадических групп . ^[7] Из них 20 являются подгруппами или подфакторами группы-монстра , называемой «Счастливой семьей», в то время как 6 таковыми не являются и называются « изгоями ».

Несколько спорадических групп связаны с решеткой Лича , наиболее примечательна группа Конвея Co ₁ , которая является группой автоморфизмов решетки Лича, факторизованной по ее центру.

Алгебры деления

Существует только три конечномерные ассоциативные алгебры с делением над вещественными числами — вещественные числа , комплексные числа и кватернионы . Единственная неассоциативная алгебра с делением — это алгебра октонионов . Октонионы связаны с широким спектром исключительных объектов. Например, исключительная формально действительная йорданова алгебра — это алгебра Альберта самосопряженных матриц 3 на 3 над октонионами.

Простые группы Ли

Простые группы Ли образуют ряд серий ( классических групп Ли ), обозначенных A, B, C и D. Кроме того, существуют исключительные группы G 2 (группа автоморфизмов октонионов), F 4 , E 6 , E 7 , E 8 . Эти последние четыре группы можно рассматривать как группы симметрии проективных плоскостей над O , C ⊗ O , H ⊗ O и O ⊗ O , соответственно, где O — октонионы, а тензорные произведения — над действительными числами.

Классификация групп Ли соответствует классификации корневых систем , и, таким образом, исключительные группы Ли соответствуют исключительным корневым системам и исключительным диаграммам Дынкина .

Суперсимметричные алгебры

Существует несколько исключительных объектов с суперсимметрией . Классификация супералгебр Каца и Тьерри-Мига показывает, что супералгебры Ли G(3) в 31 измерении и F(4) в 40 измерениях, а также йордановы супералгебры K ₃ и K ₁₀ являются примерами исключительных объектов. ^{[8] [9]}

Унимодулярные решетки

С точностью до изометрии существует только одна четная унимодулярная решетка в 15 измерениях или меньше — решетка E 8 . До размерности 24 существует только одна четная унимодулярная решетка без корней — решетка Лича . Три спорадические простые группы были открыты Конвеем при исследовании группы автоморфизмов решетки Лича. Например, Co 1 является самой группой автоморфизмов по модулю ±1. Группы Co 2 и Co 3 , а также ряд других спорадических групп возникают как стабилизаторы различных подмножеств решетки Лича.

Коды

Некоторые коды также выделяются как исключительные объекты, в частности, совершенный двоичный код Голея, который тесно связан с решеткой Лича. Группа Матье , одна из спорадических простых групп, является группой автоморфизмов расширенного двоичного кода Голея , и еще четыре спорадические простые группы возникают как различные типы подгрупп стабилизаторов . ${\displaystyle M_{24}}$ ${\displaystyle M_{24}}$

Блочные конструкции

Исключительной блочной конструкцией является система Штейнера S(5,8,24), группа автоморфизмов которой является спорадической простой группой Матье . ${\displaystyle M_{24}}$

Кодовые слова расширенного двоичного кода Голея имеют длину 24 бита и вес 0, 8, 12, 16 или 24. Этот код может исправить до трех ошибок. Таким образом, каждое 24-битное слово с весом 5 может быть исправлено до кодового слова с весом 8. Биты 24-битного слова можно рассматривать как определение возможных подмножеств набора из 24 элементов. Таким образом, расширенный двоичный код Голея дает уникальное подмножество из 8 элементов для каждого подмножества из 5 элементов. Фактически, он определяет S(5,8,24).

Внешние автоморфизмы

Некоторые семейства групп часто имеют определенную группу внешних автоморфизмов , но в особых случаях они имеют другие исключительные внешние автоморфизмы.

Среди семейств конечных простых групп единственный пример — это автоморфизмы симметрических и знакопеременных групп : для знакопеременной группы имеется один внешний автоморфизм (соответствующий сопряжению нечетным элементом ), а для симметрической группы внешних автоморфизмов нет. Однако для существует исключительный внешний автоморфизм ( порядка 2), и соответственно, группа внешних автоморфизмов не является (группой порядка 2), а скорее , четверной группой Клейна . ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle n\geq 3,n\neq 6}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n=6,}$ ${\displaystyle S_{6}}$ ${\displaystyle A_{6}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$

Если вместо этого рассматривать как (изоморфную) проективную специальную линейную группу , то внешний автоморфизм не является исключительным; таким образом, исключительность можно рассматривать как следствие исключительного изоморфизма . Этот исключительный внешний автоморфизм реализуется внутри группы Матье и аналогично действует на множество из 12 элементов двумя различными способами. ${\displaystyle A_{6}}$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,9)}$ ${\displaystyle A_{6}\cong \operatorname {PSL} (2,9).}$ ${\displaystyle M_{12}}$ ${\displaystyle M_{12}}$

• 
  Граф Тутта–Коксетера : симметрии этого графа являются автоморфизмами S ₆ . Исключительный автоморфизм соответствует перестановке цветов синих и красных вершин. ^[10]
• Симметрии диаграммы Дынкина D ₄ соответствуют внешним автоморфизмам Spin(8) в тройственности.

Среди групп Ли группа спинов имеет исключительно большую внешнюю группу автоморфизмов (а именно ), что соответствует исключительным симметриям диаграммы Дынкина . Это явление называется триальностью . ${\displaystyle \operatorname {Spin} (8)}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle D_{4}}$

Исключительная симметрия диаграммы также приводит к появлению групп Стейнберга . ${\displaystyle D_{4}}$

Алгебраическая топология

Инвариант Кервера — это инвариант (4 k  + 2)-мерного многообразия, который измеряет, может ли многообразие быть хирургически преобразовано в сферу. Этот инвариант оценивается как 0, если многообразие может быть преобразовано в сферу, и 1 в противном случае. Более конкретно, инвариант Кервера применяется к оснащенному многообразию , то есть к многообразию, снабженному вложением в евклидово пространство и тривиализацией нормального расслоения . Проблема инварианта Кервера — это проблема определения, в каких измерениях инвариант Кервера может быть ненулевым. Для дифференцируемых многообразий это может произойти в размерностях 2, 6, 14, 30, 62 и, возможно, 126, и ни в каких других измерениях. Последний случай размерности 126 остается открытым. ^{[13] [14]} Эти пять или шесть классов оснащенных кобордизмов многообразий, имеющих инвариант Кервера 1, являются исключительными объектами, связанными с экзотическими сферами . Первые три случая связаны с комплексными числами, кватернионами и октонионами соответственно: многообразие инварианта Кервера 1 может быть построено как произведение двух сфер, причем его экзотическое обрамление определяется нормированной алгеброй деления. ^[15]

Из-за сходства размерностей предполагается, что оставшиеся случаи (размерности 30, 62 и 126) связаны с проективными плоскостями Розенфельда , которые определены над алгебрами, построенными из октонионов. В частности, было высказано предположение, что существует конструкция, которая берет эти проективные плоскости и производит многообразие с ненулевым инвариантом Кервера в двух измерениях ниже, но это остается неподтвержденным. ^[16]

Симметричные квантовые измерения

В квантовой теории информации существуют структуры, известные как SIC-POVM или SIC, которые соответствуют максимальным наборам комплексных равноугольных линий . Некоторые из известных SIC — в векторных пространствах 2 и 3 измерений, а также некоторые решения в 8 измерениях — считаются исключительными объектами и называются «спорадическими SIC». Они отличаются от других известных SIC способами, которые включают их группы симметрии, теорию Галуа числовых значений их векторных компонент и т. д. ^[17] Спорадические SIC в размерности 8 связаны с целочисленными октонионами. ^[18]

Связи

Многочисленные связи были обнаружены между некоторыми, хотя и не всеми, из этих исключительных объектов. Наиболее распространенными являются объекты, связанные с 8 и 24 измерениями, отмечая, что 24 = 8 · 3. Напротив, группы парий стоят особняком, как следует из названия.

8 и 24 измерения

К исключительным объектам, связанным с числом 8, относятся следующие.

• Октонионы 8-мерны.
• Решетка E ₈ может быть реализована как целочисленные октонионы (с точностью до масштабного множителя).
• Исключительные группы Ли можно рассматривать как симметрии октонионов и структур, полученных из октонионов; ^[19] кроме того, алгебра E ₈ связана с решеткой E ₈ , как следует из обозначений (решетка порождается корневой системой алгебры).
• Триальность имеет место для Spin(8), который также связан с 8 · 3 = 24.

Аналогично, к исключительным объектам, связанным с числом 24, относятся следующие.

• Решетка Лича является 24-мерной.
• Большинство спорадических простых групп можно связать с решеткой Лича или, в более широком смысле, с решеткой Монстра.
• Исключительная йорданова алгебра имеет представление в виде действительных матриц 24×24 вместе с правилом жорданова произведения.

Эти объекты связаны с различными другими явлениями в математике, которые можно считать удивительными, но сами по себе не «исключительными». Например, в алгебраической топологии 8-кратная действительная периодичность Ботта может рассматриваться как происходящая из октонионов. В теории модулярных форм 24-мерная природа решетки Лича лежит в основе присутствия 24 в формулах для функции Дедекинда эта и модульного дискриминанта , связь которых углубляется Monstrous moonshine , развитием, которое связывает модулярные функции с группой Monster. ^[20]

Физика

В теории струн и теории суперструн мы часто обнаруживаем, что определенные измерения выделяются в результате исключительных алгебраических явлений. Например, теория бозонных струн требует пространства-времени размерности 26, что напрямую связано с наличием 24 в эта-функции Дедекинда . Аналогично, возможные измерения супергравитации связаны с размерностями алгебр деления . ^[21]

Чудовищный самогон

Было обнаружено, что многие исключительные объекты в математике и физике связаны друг с другом. Такие разработки, как гипотезы о чудовищном лунном свете, показывают, как, например, группа монстров связана с теорией струн . Теория модулярных форм показывает, как алгебра E ₈ связана с группой монстров. (На самом деле, задолго до доказательства гипотезы о чудовищном лунном свете была обнаружена эллиптическая j -функция , кодирующая представления E ₈ . ^{[2] [22] [23]} ) Другие интересные связи включают в себя то, как решетка Лича связана через код Голея с матрицей смежности додекаэдра ( еще один исключительный объект). Ниже приведена ментальная карта, показывающая, как связаны некоторые исключительные объекты в математике и математической физике.

Связи можно частично объяснить, представляя алгебры как башню решетчатых вершинных операторных алгебр . Так уж получилось, что вершинные алгебры внизу настолько просты, что они изоморфны знакомым невершинным алгебрам. Таким образом, связи можно рассматривать просто как следствие того, что некоторые решетки являются подрешетками других.

Суперсимметрии

Йордановы супералгебры — это параллельный набор исключительных объектов с суперсимметрией . Это супералгебры Ли , которые связаны с лоренцевыми решетками. Эта тема изучена меньше, а связи между объектами установлены меньше. Существуют новые гипотезы, параллельные гипотезам о чудовищном лунном свете для этих суперобъектов, включающие различные спорадические группы. ^{[ требуется ссылка ]}

Необычные объекты

Патологии

«Исключительный» объект зарезервирован для объектов, которые являются необычными, то есть редкими, исключением, а не для неожиданных или нестандартных объектов. Эти неожиданные, но типичные (или обычные) явления обычно называют патологическими , такими как нигде не дифференцируемые функции , или «экзотическими», как в экзотических сферах — существуют экзотические сферы в произвольно высокой размерности (не только конечный набор исключений), и во многих измерениях большинство (дифференциальных структур) сфер являются экзотическими.

Экстремальные объекты

Исключительные объекты следует отличать от экстремальных объектов: те, которые попадают в семейство и являются наиболее экстремальным примером по какой-то мере, представляют интерес, но не являются необычными в том смысле, в котором являются исключительные объекты. Например, золотое сечение φ имеет простейшую аппроксимацию непрерывной дробью и, соответственно, его труднее всего аппроксимировать рациональными числами ; однако, это всего лишь одно из бесконечного множества таких квадратичных чисел (непрерывных дробей).

Аналогично, треугольник Шварца (2,3,7) является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца, а связанная с ним группа треугольников (2,3,7) представляет особый интерес, будучи универсальной группой Гурвица , и, таким образом, будучи связанной с кривыми Гурвица , максимально симметричными алгебраическими кривыми. Однако он попадает в семейство таких треугольников ((2,4,7), (2,3,8), (3,3,7) и т. д.), и хотя он наименьший, он не является исключительным или непохожим на другие.

Смотрите также

• Исключительный изоморфизм

Ссылки

1. Стиллвелл, Джон (1998). «Исключительные объекты». The American Mathematical Monthly . 105 (9): 850–858. doi :10.2307/2589218. JSTOR  2589218.
2. He, Yang-Hui; McKay, John (25 мая 2015 г.). «Спорадическое и исключительное». arXiv : 1505.06742 [math.AG].
3. Джойс, Хелен (1 января 2005 г.). «Вездесущие октонионы». Плюс журнал . Проверено 6 августа 2017 г.
4. "исключительный изоморфизм в nLab". ncatlab.org . Получено 29.11.2019 .
5. Баез, Джон К. (12 ноября 2006 г.). «Платоновы тела во всех измерениях». math.ucr.edu . Получено 07.08.2017 .
6. Weisstein, Eric W. "Star Polygon". mathworld.wolfram.com . Получено 29.11.2019 .
7. "Огромная теорема: классификация конечных простых групп". plus.maths.org . 2006-12-07 . Получено 2019-11-29 .
8. Кац, В. Г. (1977-01-01). «Классификация простых z-градуированных супералгебр Ли и простых йордановых супералгебр». Сообщения по алгебре . 5 (13): 1375–1400. doi :10.1080/00927877708822224. ISSN  0092-7872.
9. Thierry-Mieg, Jean (1984). "Неприводимые представления основных классических супералгебр Ли SU(m/n) ; SU(n/n)/U(1) ; OSp(m/2n) ; D(2/1 ; α ) ; G(3) ; F(4)". Group Theoretical Methods in Physics . Lecture Notes in Physics. Vol. 201. Springer, Berlin, Heidelberg. pp. 94–98. doi :10.1007/bfb0016126. ISBN 978-3-540-13335-3.
10. Baez, John C. (17 августа 2015 г.). «Излом в математической Вселенной». Кафе n-Category . Получено 06.08.2017 .
11. "ATLAS: Знакопеременная группа A6, Линейная группа L2(9), Симплектическая группа S4(2)', Группа Матье M10'". Атлас представлений конечных групп . Получено 2017-08-06 .
12. Уилсон, Роберт (2009-12-14). Конечные простые группы. Springer Science & Business Media. стр. 19. ISBN 9781848009875.
13. Кларрайх, Эрика (20 июля 2009 г.). «Математики решают 45-летнюю головоломку с инвариантами Кервера». Фонд Саймонса . Получено 06.08.2017 .
14. Миллер, Хейнс (5 июня 2012 г.). «Инвариант Кервера один [по М. А. Хиллу, М. Дж. Хопкинсу и Д. К. Равенелу]». arXiv : 1104.4523 [math.AT].
15. Ranicki, Andrew (2011). "Комментарий к "О параллелизуемости сфер" Р. Ботта и Дж. Милнора и "О несуществовании элементов инварианта Хопфа" Дж. Ф. Адамса". Бюллетень Американского математического общества . 48 (4): 509–511. doi : 10.1090/s0273-0979-2011-01345-3 . ISSN  0273-0979.
16. Белмонт, Ева (16.05.2016). "Talbot 2016: Эквивариантная гомотопическая теория и проблема инварианта Кервера один" (PDF) . math.northwestern.edu . Получено 18.04.2020 .
17. Appleby, Marcus; Flammia, Steven; McConnell, Gary; Yard, Jon (2017-08-01). "SICs and Algebraic Number Theory". Foundations of Physics . 47 (8): 1042–1059. arXiv : 1701.05200 . Bibcode :2017FoPh...47.1042A. doi :10.1007/s10701-017-0090-7. ISSN  0015-9018. S2CID  119334103.
18. Стейси, Блейк К. (01.08.2017). «Спорадические SIC и нормированные алгебры деления». Основы физики . 47 (8): 1060–1064. arXiv : 1605.01426 . Bibcode : 2017FoPh...47.1060S. doi : 10.1007/s10701-017-0087-2. ISSN  0015-9018. S2CID  118438232.
19. Баез, Джон С. (23 июля 1997 г.). «Находки этой недели в математической физике: неделя 106». math.ucr.edu . Получено 07.08.2017 .
20. Борчердс, Ричард Э. (1998). «Что такое Moonshine?». Documenta Mathematica . ICM 1: 607–615. arXiv : math/9809110 . Bibcode :1998math......9110B.
21. Baez, John C.; Huerta, John (октябрь 2011 г.). «Алгебры с делением и суперсимметрия II». Advances in Theoretical and Mathematical Physics . 15 (5): 1373–1410. arXiv : 1003.3436 . doi :10.4310/atmp.2011.v15.n5.a4. ISSN  1095-0761. S2CID  10270325.
22. Кац, В. Г. (1980). «Разъяснение «Бесконечномерных алгебр… и очень странной формулы». E(1)8 и кубический корень модулярного инварианта j». Advances in Mathematics . 35 (3): 264–273. doi : 10.1016/0001-8708(80)90052-3 .
23. Кац, В. Г. (1978). «Бесконечномерные алгебры, η-функция Дедекинда, классическая функция Мёбиуса и очень странная формула». Успехи математики . 30 (2): 85–136. doi :10.1016/0001-8708(78)90033-6.