В математике тройственность — это отношение между тремя векторными пространствами , аналогичное отношению двойственности между дуальными векторными пространствами . Чаще всего оно описывает особые свойства диаграммы Дынкина D 4 и связанной с ней группы Ли Spin(8) , двойного покрытия 8-мерной группы вращений SO(8) , возникающие из-за того, что группа имеет внешний автоморфизм порядка три. Существует геометрическая версия тройственности, аналогичная двойственности в проективной геометрии .
Из всех простых групп Ли , Spin(8) имеет самую симметричную диаграмму Дынкина, D 4 . Диаграмма имеет четыре узла, один из которых расположен в центре, а остальные три присоединены симметрично. Группа симметрии диаграммы — это симметрическая группа S 3 , которая действует путем перестановки трех ножек. Это приводит к группе S 3 внешних автоморфизмов Spin(8). Эта группа автоморфизмов переставляет три 8-мерных неприводимых представления Spin(8); это векторное представление и два хиральных спиновых представления. Эти автоморфизмы не проецируются на автоморфизмы SO(8). Векторные представления — естественное действие SO(8) (отсюда Spin(8)) на F8 — состоят из действительных чисел евклидовых 8-векторов и обычно называются «определяющим модулем», в то время как представления хирального спина также известны как «представления полуспиновые» , и все три из них являются фундаментальными представлениями .
Никакая другая связная диаграмма Дынкина не имеет группы автоморфизмов порядка больше 2; для других D n (соответствующих другим четным группам Spin, Spin(2 n )) все еще существует автоморфизм, соответствующий переключению двух полуспиновых представлений, но они не изоморфны векторному представлению.
Грубо говоря, симметрии диаграммы Дынкина приводят к автоморфизмам здания Титса , связанного с группой. Для специальных линейных групп получается проективная двойственность. Для Spin(8) обнаруживается любопытное явление, включающее 1-, 2- и 4-мерные подпространства 8-мерного пространства, исторически известное как «геометрическая триальность».
Исключительная 3-кратная симметрия диаграммы D 4 также приводит к появлению группы Стейнберга 3 D 4 .
Двойственность между двумя векторными пространствами над полем F — это невырожденная билинейная форма
т.е. для каждого ненулевого вектора v в одном из двух векторных пространств сопряжение с v является ненулевым линейным функционалом в другом.
Аналогично, тройственность между тремя векторными пространствами над полем F является невырожденной трилинейной формой
т. е. каждый ненулевой вектор в одном из трех векторных пространств индуцирует двойственность между двумя другими.
Выбирая векторы e i в каждом V i , на которых трилинейная форма оценивается как 1, мы обнаруживаем, что все три векторных пространства изоморфны друг другу и своим дуальным. Обозначая это общее векторное пространство через V , триальность может быть перевыражена как билинейное умножение
где каждый e i соответствует единичному элементу в V . Условие невырожденности теперь подразумевает, что V является композиционной алгеброй . Отсюда следует, что V имеет размерность 1, 2, 4 или 8. Если далее F = R и форма, используемая для идентификации V с ее дуальной, положительно определена , то V является евклидовой алгеброй Гурвица и, следовательно, изоморфна R , C , H или O .
Наоборот, композиционные алгебры немедленно порождают триальности, приравнивая каждое V i к алгебре и свертывая умножение со скалярным произведением на алгебре, чтобы получить трилинейную форму.
Альтернативная конструкция триальностей использует спиноры в размерностях 1, 2, 4 и 8. Восьмимерный случай соответствует свойству триальности Spin(8).
