кривая Лиссажу

Математическая кривая, полученная из определенной пары параметрических уравнений.

Фигура Лиссажу, созданная путем высыпания песка из контейнера на конце маятника Блэкберна.

Кривая Лиссажу / ˈ l ɪ s ə ʒ uː / , также известная как фигура Лиссажу или кривая Боудича / ˈ b aʊ d ɪ tʃ / , представляет собой график системы параметрических уравнений

${\displaystyle x=A\sin(at+\delta ),\quad y=B\sin(bt),}$

которые описывают суперпозицию двух перпендикулярных колебаний в направлениях x и y с различной угловой частотой ( a и b). Полученное семейство кривых было исследовано Натанаэлем Боудичем в 1815 году, а позднее более подробно в 1857 году Жюлем Антуаном Лиссажу (в честь которого оно и было названо). Такие движения можно рассматривать как особый вид сложного гармонического движения .

Внешний вид фигуры чувствителен к соотношению ⁠а/б⁠ . Для отношения 1, когда частоты соответствуют a=b, фигура представляет собой эллипс , а в особых случаях — окружности ( A = B , δ = ⁠π/2⁠ радианы ) и линии ( δ = 0 ). Небольшое изменение одной из частот будет означать, что колебание x после одного цикла будет немного не синхронизировано с движением y, и поэтому эллипс не сможет замкнуться и будет описывать кривую, слегка примыкающую во время следующей орбиты, показывая прецессию эллипса. Шаблон замыкается, если частоты являются целыми числовыми отношениями, т. е . ⁠а/б⁠ является рациональным .

Еще одна простая фигура Лиссажу — парабола ( ⁠б/а⁠ = 2 , δ = ⁠π/4⁠ ). Опять же, небольшой сдвиг одной частоты от отношения 2 приведет к тому, что след не закроется, а выполнит несколько последовательных смещенных циклов, закрывающихся только если отношение рационально, как и прежде. Может образоваться сложный плотный рисунок, см. ниже.

Визуальная форма таких кривых часто напоминает трехмерный узел , и действительно, многие виды узлов, включая узлы Лиссажу , проецируются на плоскость как фигуры Лиссажу.

Визуально соотношение ⁠а/б⁠ определяет количество «лепестков» фигуры. Например, отношение ⁠3/1⁠ или ⁠1/3⁠ создает фигуру с тремя основными долями (см. изображение). Аналогично, соотношение ⁠5/4⁠ создает фигуру с пятью горизонтальными лепестками и четырьмя вертикальными лепестками. Рациональные соотношения создают замкнутые (связанные) или «неподвижные» фигуры, в то время как иррациональные соотношения создают фигуры, которые кажутся вращающимися. Соотношение ⁠А/Б⁠ определяет относительное отношение ширины к высоте кривой. Например, отношение ⁠2/1⁠ создает фигуру, которая в два раза шире своей высоты. Наконец, значение δ определяет кажущийся угол «поворота» фигуры, рассматриваемой так, как если бы она была на самом деле трехмерной кривой. Например, δ = 0 создает компоненты x и y , которые находятся точно в фазе, поэтому полученная фигура выглядит как кажущаяся трехмерная фигура, рассматриваемая прямо (0°). Напротив, любое ненулевое δ создает фигуру, которая кажется повернутой, либо как вращение влево-вправо, либо вверх-вниз (в зависимости от соотношения ⁠а/б⁠ ).

Фигура Лиссажу на осциллографе , отображающая соотношение 1:3 между частотами вертикального и горизонтального синусоидального входов соответственно. Эта конкретная фигура Лиссажу была адаптирована в логотип для Australian Broadcasting Corporation

Окружность — это простая кривая Лиссажу.

Фигуры Лиссажу, где a = 1 , b = N ( N — натуральное число ) и

${\displaystyle \delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}}$

являются полиномами Чебышёва первого рода степени N. Это свойство используется для создания набора точек, называемых точками Падуи , в которых может быть выбрана функция для вычисления либо двумерной интерполяции, либо квадратуры функции в области [−1,1] × [−1,1] .

Связь некоторых кривых Лиссажу с полиномами Чебышёва становится более понятной, если кривая Лиссажу, порождающая каждую из них, выражена с помощью функций косинуса, а не синуса.

${\displaystyle x=\cos(t),\quad y=\cos(Nt)}$

Примеры

Анимация, демонстрирующая адаптацию кривой как отношение ⁠а/б⁠ увеличивается от 0 до 1

Анимация показывает адаптацию кривой с постоянным увеличением ⁠а/б⁠ дробь от 0 до 1 с шагом 0,01 ( δ = 0 ).

Ниже приведены примеры фигур Лиссажу с нечетным натуральным числом a , четным натуральным числом b и | a − b | = 1 .

• 
  δ = ⁠π/2⁠ , а = 1 , б = 2 (1:2)
• 
  δ = ⁠π/2⁠ , а = 3 , б = 2 (3:2)
• 
  δ = ⁠π/2⁠ , а = 3 , б = 4 (3:4)
• 
  δ = ⁠π/2⁠ , а = 5 , б = 4 (5:4)
• 
  Фигуры Лиссажу: различные частотные соотношения и разности фаз

Поколение

До появления современного электронного оборудования кривые Лиссажу можно было создавать механическим способом с помощью гармонографа .

Практическое применение

Кривые Лиссажу также могут быть получены с помощью осциллографа (как показано на рисунке). Схема осьминога может быть использована для демонстрации изображений формы волны на осциллографе. Два сдвинутых по фазе синусоидальных входа применяются к осциллографу в режиме XY, и фазовое соотношение между сигналами представлено в виде фигуры Лиссажу.

В мире профессионального аудио этот метод используется для анализа в реальном времени фазовых соотношений между левым и правым каналами стереофонического аудиосигнала. На более крупных и сложных аудиомикшерных пультах для этой цели может быть встроен осциллограф.

На осциллографе мы предполагаем, что x — это CH1, а y — это CH2, A — это амплитуда CH1, а B — это амплитуда CH2, a — это частота CH1, а b — это частота CH2, поэтому ⁠а/б⁠ — отношение частот двух каналов, а δ — сдвиг фаз CH1.

Чисто механическое применение кривой Лиссажу с a = 1 , b = 2 находится в приводном механизме маятниковых ламп типа Mars Light, популярных на железных дорогах в середине 1900-х годов. Луч в некоторых версиях вычерчивает на своей стороне неровный рисунок в виде восьмерки.

Заявление по делуа = б

На этом рисунке обе входные частоты идентичны, но разность фаз между ними создает форму эллипса .

Вверху: Выходной сигнал как функция времени.
В середине: Входной сигнал как функция времени.
Внизу: Результирующая кривая Лиссажу, когда выход отображается как функция входа.
В этом конкретном примере, поскольку выход сдвинут по фазе на 90 градусов относительно входа, кривая Лиссажу представляет собой окружность, вращающуюся против часовой стрелки.

Когда вход в систему LTI является синусоидальным, выход также является синусоидальным с той же частотой, но может иметь другую амплитуду и некоторый сдвиг фазы . Использование осциллографа , который может строить графики одного сигнала относительно другого (в отличие от одного сигнала относительно времени), для построения графика выходного сигнала системы LTI относительно входного сигнала в систему LTI создает эллипс, который является фигурой Лиссажу для особого случая a = b . Соотношение сторон полученного эллипса является функцией сдвига фаз между входом и выходом, с соотношением сторон 1 (идеальный круг), соответствующим сдвигу фаз ±90°, и соотношением сторон ∞ (линия), соответствующим сдвигу фаз 0° или 180°. ^{[ необходима цитата ]}

Рисунок ниже суммирует, как изменяется фигура Лиссажу при различных фазовых сдвигах. Все фазовые сдвиги отрицательны, поэтому семантику задержки можно использовать с каузальной системой LTI (обратите внимание, что −270° эквивалентно +90°). Стрелки показывают направление вращения фигуры Лиссажу. ^{[ необходима цитата ]}

Чистый фазовый сдвиг влияет на эксцентриситет овала Лиссажу. Анализ овала позволяет измерить фазовый сдвиг из системы LTI .

В машиностроении

Кривая Лиссажу используется в экспериментальных тестах для определения того, можно ли устройство правильно отнести к категории мемристоров . ^{[ необходима ссылка ]} Она также используется для сравнения двух различных электрических сигналов: известного опорного сигнала и сигнала, который необходимо проверить. ^{[1] [2]}

В популярной культуре

В кинофильмах

анимация Лиссажу

• Фигуры Лиссажу иногда отображались на осциллографах, предназначенных для имитации высокотехнологичного оборудования в научно-фантастических телешоу и фильмах в 1960-х и 1970-х годах. ^[3]

• Вступительная сцена Джона Уитни для художественного фильма Альфреда Хичкока « Головокружение » 1958 года основана на фигурах Лиссажу. ^[4]

Логотипы компаний

Фигуры Лиссажу иногда используются в графическом дизайне в качестве логотипов . Примеры включают в себя:

• Австралийская вещательная корпорация ( a = 1 , b = 3 , δ = ⁠π/2⁠ ) ^​​[5]
• Лаборатория Линкольна в Массачусетском технологическом институте ( a = 3 , b = 4 , δ = ⁠π/2⁠ ) ^​​[6]
• Клуб под открытым небом Else в Берлине ( a = 3 , b = 2 , δ = ⁠π/2⁠ )
• Университет электрокоммуникаций , Япония ( a = 5 , b = 6 , δ = ⁠π/2⁠ ). ^{[ необходима ссылка ]}
• Приложение потокового видео Disney's Movies Anywhere использует стилизованную версию кривой
• Ребрендинг Facebook в Meta Platforms также представляет собой кривую Лиссажу, повторяющую форму заглавной буквы M ( a = 1 , b = -2 , δ = ⁠π/20⁠ ).
• Home State Brewing co. Используется в качестве логотипа и обозначает как отдельный момент, так и течение времени - Ichi-go ichi-e

В современном искусстве

• Художник- дадаист Макс Эрнст рисовал фигуры Лиссажу , размахивая проколотым ведром с краской над холстом. ^[7]

В музыкальном образовании

Кривые Лиссажу использовались в прошлом для графического представления музыкальных интервалов с помощью гармонографа [ ^8], устройства , состоящего из маятников, колеблющихся с разными частотными соотношениями. Поскольку разные системы настройки используют разные частотные соотношения для определения интервалов, их можно сравнивать с помощью кривых Лиссажу, чтобы наблюдать их различия. ^[9] Таким образом, кривые Лиссажу применяются в музыкальном образовании, графически представляя различия между интервалами и между системами настройки.

Смотрите также

• Орбита Лиссажу
• маятник Блэкберна
• Лемниската Героно
• Спирограф

Примечания

1. Палмер, Кеннет; Риджуэй, Тим; Аль-Рави, Омар; и др. (сентябрь 2011 г.). «Фигуры Лиссажу: инженерный инструмент для анализа первопричин отдельных случаев — предварительная концепция». Журнал экстракорпоральных технологий . 43 (3): 153–156. doi :10.1051/ject/201143153. ISSN  0022-1058. PMC 4679975.  PMID 22164454  .
2. "Кривые Лиссажу". datagenetics.com . Получено 2020-07-10 .
3. "Далеко от фигур Лиссажу". New Scientist . Reed Business Information: 77. 24 сентября 1987 г. ISSN  0262-4079.
4. МакКормак, Том (9 мая 2013 г.). «Ввел ли фильм «Головокружение» компьютерную графику в кино?». rhizome.org . Получено 18 декабря 2020 г.
5. "ABC фигур Лиссажу". abc.net.au. Австралийская вещательная корпорация.
6. "Логотип лаборатории Линкольна". ll.mit.edu . Лаборатория Линкольна , Массачусетский технологический институт . 2008 . Получено 12 апреля 2008 г.
7. Кинг, М. (2002). «От Макса Эрнста до Эрнста Маха: эпистемология в искусстве и науке» (PDF) . Получено 17 сентября 2015 г.
8. Уитти, Х. Ирвайн (1893). Гармонограф . Норвич, Ярмут и Лондон: Jarrold & Sons Printers.
9. Sierra, CA (2023). «Повторяемость кривых Лиссажу и визуальное представление систем настройки». Основы науки . doi : 10.1007/s10699-023-09930-z .

Внешние ссылки

• Кривая Лиссажу в Mathworld

Интерактивные демонстрации

• Трехмерные Java-апплеты, иллюстрирующие построение кривых Лиссажу на осциллографе:
  • Учебное пособие от NHMFL
  • Физический апплет от Chiu-king Ng
• Детальная симуляция фигур Лиссажу Рисование фигур Лиссажу с помощью интерактивных ползунков в Javascript
• Кривые Лиссажу: интерактивное моделирование графических представлений музыкальных интервалов и вибрирующих струн
• Интерактивный генератор кривых Лиссажу – апплет Javascript с использованием JSXGraph
• Анимированные фигуры Лиссажу
• [1] Wolfram Mathematica — фигуры Лиссажу с интерактивными ползунками в Wolfram Mathematica