Управлять разложением

В математике разложение ручки m - многообразия M представляет собой объединение , где каждое получается из присоединением - ручек . Разложение ручки для многообразия является тем же, чем CW-разложение является для топологического пространства — во многих отношениях цель разложения ручки состоит в том, чтобы иметь язык, аналогичный CW-комплексам, но адаптированный к миру гладких многообразий . Таким образом, i -ручка является гладким аналогом i -клетки. Разложения ручки многообразий возникают естественным образом через теорию Морса . Модификация структур ручек тесно связана с теорией Серфа . $${\displaystyle \emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M}$$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle M_{i-1}}$ ${\displaystyle i}$

Мяч-тройка с тремя прикрепленными ручками-одиночками.

Мотивация

Рассмотрим стандартное CW-разложение n -сферы с одной нулевой ячейкой и одной n -ячейкой. С точки зрения гладких многообразий это вырожденное разложение сферы, поскольку нет естественного способа увидеть гладкую структуру глазами этого разложения — в частности, гладкая структура вблизи 0 -ячейки зависит от поведения характеристического отображения в окрестности . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \chi :D^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}\subset D^{n}}$

Проблема с CW-разложениями заключается в том, что прикрепляющие карты для ячеек не живут в мире гладких карт между многообразиями. Зародышевым пониманием для исправления этого дефекта является теорема о трубчатой ​​окрестности . Если задана точка p в многообразии M , ее замкнутая трубчатая окрестность диффеоморфна , таким образом, мы разложили M на несвязное объединение и склеили их по общей границе. Важнейшим вопросом здесь является то, что склеивающее отображение является диффеоморфизмом. Аналогично, возьмем гладкую вложенную дугу в , ее трубчатая окрестность диффеоморфна . Это позволяет нам записать как объединение трех многообразий, склеенных по частям их границ: 1) 2) и 3) дополнение открытой трубчатой ​​окрестности дуги в . Обратите внимание, что все склеивающие отображения являются гладкими отображениями — в частности, когда мы склеиваем с , отношение эквивалентности порождается вложением в , которое является гладким по теореме о трубчатой ​​окрестности . ${\displaystyle N_{p}}$ ${\displaystyle D^{m}}$ ${\displaystyle N_{p}}$ ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$ ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$ ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D^{m}}$ ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$ ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$ ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$ ${\displaystyle D^{m}}$ ${\displaystyle (\partial I)\times D^{m-1}}$ ${\displaystyle \partial D^{m}}$

Разложения ручек являются изобретением Стивена Смейла . ^[1] В его оригинальной формулировке процесс присоединения j -ручки к m -многообразию M предполагает, что имеется гладкое вложение . Пусть . Многообразие (словами, M объединение j -ручки вдоль f ) относится к несвязному объединению и с отождествлением с его образом в , т. е. где отношение эквивалентности порождается для всех . ${\displaystyle f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M}$ ${\displaystyle H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}}$ ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H^{j}}$ ${\displaystyle S^{j-1}\times D^{m-j}}$ ${\displaystyle \partial M}$ $${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim }$$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle (p,x)\sim f(p,x)}$ ${\displaystyle (p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^{j}\times D^{m-j}}$

Говорят, что многообразие N получено из M присоединением j -ручек, если объединение M с конечным числом j -ручек диффеоморфно N . Определение разложения на ручки тогда такое же, как во введении. Таким образом, многообразие имеет разложение на ручки только с 0 -ручками, если оно диффеоморфно несвязному объединению шаров. Связное многообразие, содержащее ручки только двух типов (то есть: 0-ручки и j -ручки для некоторого фиксированного j ), называется handlebody .

Терминология

При формировании M- объединения j -ручка ${\displaystyle H^{j}}$ $${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim }$$

${\displaystyle f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M}$известна как прикрепляющая сфера .

${\displaystyle f}$иногда называется обрамлением присоединяемой сферы, поскольку оно дает тривиализацию ее нормального расслоения .

${\displaystyle \{0\}^{j}\times S^{m-j-1}\subset D^{j}\times D^{m-j}=H^{j}}$это сфера ремня ручки в . ${\displaystyle H^{j}}$ ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$

Многообразие, полученное путем присоединения g k -ручек к диску, является (m,k) -телом-ручкой рода g . ${\displaystyle D^{m}}$

Кобордизм презентации

Представление ручки кобордизма состоит из кобордизма W , где и восходящего объединения , где M имеет размерность m , W имеет размерность m+1 , диффеоморфно и получается из присоединением i ручек. В то время как разложения ручки являются для многообразий тем же аналогом, чем разложения клетки являются для топологических пространств, представления ручки кобордизмов являются для многообразий с границей тем же, чем относительные разложения клетки являются для пар пространств. ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$ $${\displaystyle W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W}$$ ${\displaystyle W_{-1}}$ ${\displaystyle M_{0}\times [0,1]}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle W_{i-1}}$

Теоретическая точка зрения Морзе

Если задана функция Морса на компактном безграничном многообразии M , такая, что критические точки функции f удовлетворяют , и если тогда для всех j , то она диффеоморфна , где I ( j ) — индекс критической точки . Индекс I(j) относится к размерности максимального подпространства касательного пространства, где гессиан отрицательно определен. ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M}$ ${\displaystyle f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})}$ $${\displaystyle t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k},}$$ ${\displaystyle f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]}$ ${\displaystyle (f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle T_{p_{j}}M}$

При условии, что индексы удовлетворяют , это разложение ручки M , более того, каждое многообразие имеет такие функции Морса, поэтому они имеют разложения ручки. Аналогично, если задан кобордизм с и функцией , которая является функцией Морса на внутренней стороне и постоянной на границе и удовлетворяет свойству возрастающего индекса, существует индуцированное представление ручки кобордизма W . ${\displaystyle I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$ ${\displaystyle f:W\to \mathbb {R} }$

Когда f — функция Морса на M , - f также является функцией Морса. Соответствующее разложение ручки / представление называется дуальным разложением .

Некоторые основные теоремы и наблюдения

• Разбиение Хегора замкнутого , ориентируемого 3-многообразия — это разложение 3- многообразия в объединение двух (3,1) -ручек вдоль их общей границы, называемое поверхностью разбиения Хегора. Разбиения Хегора возникают для 3 -многообразий несколькими естественными способами: если задано разложение 3-многообразия на ручки, то объединение 0- и 1 -ручек является (3,1) -ручкой, а объединение 3- и 2 -ручек также является (3,1) -ручкой (с точки зрения двойственного разложения), таким образом, разбиение Хегора. Если 3 -многообразие имеет триангуляцию T , то существует индуцированное разбиение Хегора, в котором первое (3,1) -тело-ручка является регулярной окрестностью 1 -скелета , а другое (3,1) -тело-ручка является регулярной окрестностью двойственного 1 - скелета . ${\displaystyle T^{1}}$
• При последовательном присоединении двух ручек можно менять порядок присоединения, при условии , что , то есть: это многообразие диффеоморфно многообразию вида для подходящих отображений присоединения. ${\displaystyle (M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}}$ ${\displaystyle j\leq i}$ ${\displaystyle (M\cup H^{j})\cup H^{i}}$
• Граница диффеоморфна surged вдоль обрамленной сферы . Это основная связь между surgery , handles и функциями Морзе. ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle f}$
• Как следствие, m -многообразие M является границей m+1 -многообразия W тогда и только тогда, когда M может быть получено из с помощью хирургии на наборе оснащенных зацеплений в . Например, известно, что каждое 3 -многообразие ограничивает 4 -многообразие (аналогично ориентированные и спиновые 3 -многообразия, ограничивающие ориентированные и спиновые 4 -многообразия соответственно) благодаря работе Рене Тома о кобордизмах . Таким образом, каждое 3 -многообразие может быть получено с помощью хирургии на оснащенных зацеплениях в 3 -сфере. В ориентированном случае принято сводить это оснащенное зацепление к оснащенному вложению несвязного объединения окружностей. ${\displaystyle S^{m}}$ ${\displaystyle S^{m}}$
• Теорема о H-кобордизме доказывается путем упрощения разложений ручек гладких многообразий.

Смотрите также

• ручка Кассона
• Теория кобордизма
• комплекс ХО
• Ручка
• исчисление Кирби
• Разложение многообразия

Ссылки

Примечания

1. С. Смейл, «О структуре многообразий» Amer. J. Math., 84 (1962) стр. 387–399

Общие ссылки

• А. Косински, Дифференциальные многообразия , том 138, чистая и прикладная математика, Academic Press (1992).
• Роберт Гомпф и Андраш Стипшиц, 4-многообразия и исчисление Кирби , (1999) (том 20 в Graduate Studies in Mathematics ), Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд ISBN  0-8218-0994-6