В математической области геометрической топологии handlebody — это разложение многообразия на стандартные части. Handlebody играют важную роль в теории Морса , теории кобордизмов и теории хирургии многообразий высокой размерности. Handlebody используются, в частности, для изучения 3-многообразий .
Ручки играют ту же роль в изучении многообразий, что и симплициальные комплексы и CW-комплексы в теории гомотопий , позволяя анализировать пространство с точки зрения отдельных частей и их взаимодействий.
Если - -мерное многообразие с границей, и
(где представляет собой n-мерную сферу , а — n-мерный шар ) — это вложение, -мерное многообразие с границей
говорят, что он получен из
присоединением -ручки . Граница получается из хирургией . В качестве тривиальных примеров отметим, что присоединение 0-ручки - это просто взятие несвязного объединения с шаром, а присоединение n-ручки к - это склеивание шара вдоль любой сферической компоненты . Теория Морса использовалась Томом и Милнором для доказательства того, что каждое многообразие (с границей или без нее) является телом-ручкой, то есть оно имеет выражение как объединение ручек. Выражение не уникально: манипуляция разложениями тел-ручек является неотъемлемой частью доказательства теоремы Смейла об h-кобордизме и ее обобщения до теоремы об s-кобордизме . Многообразие называется "k-телом-ручкой", если оно является объединением r-ручек, для r не более k. Это не то же самое, что размерность многообразия. Например, 4-мерное 2-тело-ручка является объединением 0-ручек, 1-ручек и 2-ручек. Любое многообразие является n-ручкой, то есть любое многообразие является объединением ручек. Несложно увидеть, что многообразие является (n-1)-ручкой тогда и только тогда, когда оно имеет непустую границу. Любое разложение многообразия на ручки определяет комплексное разложение CW многообразия, поскольку присоединение r-ручки с точностью до гомотопической эквивалентности равносильно присоединению r-ячейки. Однако разложение на ручки дает больше информации, чем просто гомотопический тип многообразия. Например, разложение на ручки полностью описывает многообразие с точностью до гомеоморфизма. В размерности четыре они даже описывают гладкую структуру, если только прикрепляющие отображения являются гладкими. Это неверно в более высоких размерностях; любая экзотическая сфера является объединением 0-ручки и n-ручки.
Handlebody можно определить как ориентируемое 3-многообразие с границей, содержащее попарно непересекающиеся, правильно вложенные 2-диски, так что многообразие, полученное в результате разрезания вдоль дисков, является 3-шаром. Поучительно представить, как обратить этот процесс, чтобы получить handlebody. (Иногда гипотеза ориентируемости отбрасывается из этого последнего определения, и получается более общий вид handlebody с неориентируемой ручкой.)
Род handlebody — это род его граничной поверхности . С точностью до гомеоморфизма существует ровно один handlebody любого неотрицательного целого рода.
Важность ручек в теории 3-многообразий вытекает из их связи с разбиениями Хегора . Важность ручек в геометрической теории групп вытекает из того факта, что их фундаментальная группа свободна.
Трехмерный корпус ручки иногда, особенно в старой литературе, называют кубом с ручками .
Пусть G — связный конечный граф, вложенный в евклидово пространство размерности n. Пусть V — замкнутая регулярная окрестность графа G в евклидовом пространстве. Тогда V — n-мерное handlebody. Граф G называется позвоночником графа V .
Любое тело-ручка рода ноль гомеоморфно трехшаровому B 3 . Тело-ручка рода один гомеоморфно B 2 × S 1 (где S 1 — окружность ) и называется полноторием . Все остальные тела - ручки могут быть получены путем взятия гранично- связной суммы набора полноторий .
