Ретракция (топология)

Непрерывное, сохраняющее позицию отображение топологического пространства в подпространство

В топологии , разделе математики , ретракция — это непрерывное отображение топологического пространства в подпространство , которое сохраняет положение всех точек в этом подпространстве. ^[1] Подпространство тогда называется ретрактом исходного пространства. Ретракция деформации — это отображение, которое отражает идею непрерывного сжатия пространства в подпространство.

Абсолютный ретракт соседства ( ANR ) — это тип топологического пространства с особенно хорошим поведением . Например, каждое топологическое многообразие является ANR. Каждое ANR имеет гомотопический тип очень простого топологического пространства, CW-комплекса .

Определения

Втягивание

Пусть X — топологическое пространство, а A — подпространство X . Тогда непрерывное отображение

${\displaystyle r\colon X\to A}$

является ретракцией , если ограничение r на A является тождественным отображением на A ; то есть для всех a в A . Эквивалентно, обозначив через ${\textstyle r(a)=a}$

${\displaystyle \iota \colon A\hookrightarrow X}$

включение , ретракция — это непрерывное отображение r такое, что

${\displaystyle r\circ \iota =\operatorname {id} _{A},}$

то есть композиция r с включением является тождеством A . Обратите внимание , что по определению ретракция отображает X на A. Подпространство A называется ретрактом X , если такой ретракт существует. Например, любое непустое пространство очевидным образом стягивается в точку (отображение констант дает стягивание). Если X хаусдорфово , то A должно быть замкнутым подмножеством X.

Если — ретракция, то композиция ι∘ r является идемпотентным непрерывным отображением X в X . И наоборот, для любого идемпотентного непрерывного отображения мы получаем ретракцию на образ s , ограничивая кодобласть . ${\textstyle r:X\to A}$ ${\textstyle s:X\to X,}$

Втягивание деформации и втягивание сильной деформации

Непрерывная карта

${\displaystyle F\colon X\times [0,1]\to X}$

является деформационной ретракцией пространства X на подпространство A , если для каждого x в X и a в A ,

${\displaystyle F(x,0)=x,\quad F(x,1)\in A,\quad {\mbox{and}}\quad F(a,1)=a.}$

Другими словами, деформационная ретракция — это гомотопия ретракции и тождественного отображения на X. Подпространство A называется деформационным ретрактом X . Деформационная ретракция является частным случаем гомотопической эквивалентности .

Ретракт не обязательно должен быть деформационным ретрактом. Например, наличие единственной точки в качестве деформационного ретракта пространства X будет означать, что X является связным (и фактически, что X сжимаемо ) .

Примечание. Эквивалентное определение сокращения деформации следующее. Непрерывное отображение является деформационной ретракцией, если оно является ретракцией и его композиция с включением гомотопна тождественному отображению на X . В этой формулировке ретракция деформации несет в себе гомотопию между тождественным отображением X и самим собой. ${\textstyle r:X\to A}$

Если в определение ретракции деформации добавить требование, что

${\displaystyle F(a,t)=a}$

для всех t в [0, 1] и a в A , то F называется сильной деформационной ретракцией . Другими словами, сильная деформационная ретракция оставляет точки в A фиксированными по всей гомотопии. (Некоторые авторы, такие как Хэтчер , принимают это за определение ретракции деформации.)

Например, n -сфера представляет собой сильный деформационный ретракт, а в качестве сильного деформационного ретракция можно выбрать карту ${\textstyle S^{n}}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n+1}\backslash \{0\};}$

${\displaystyle F(x,t)=(1-t)x+t{x \over \|x\|}.}$

Это не значит, что условие сильного ретракта деформации строго сильнее , чем условие ретракта деформации. Например, пусть X будет подпространством, состоящим из замкнутых отрезков, соединяющих начало координат и точку для n - положительного целого числа, вместе с замкнутым отрезком, соединяющим начало координат с . Пусть X имеет топологию подпространства, унаследованную от евклидовой топологии на . Теперь пусть A будет подпространством X , состоящим из отрезка, соединяющего начало координат с . Тогда A является ретрактом деформации X , но не ретрактом сильной деформации X . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (1/n,1)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (0,1)}$

Кофибрация и деформация окрестности сокращаются

Отображение f : A → X топологических пространств является корасслоением ( Гуревича ) , если оно обладает свойством гомотопического расширения для отображений в любое пространство. Это одно из центральных понятий теории гомотопий . Корасслоение f всегда инъективно и фактически является гомеоморфизмом своего образа. ^[3] Если X хаусдорфово (или компактно порожденное слабое хаусдорфово пространство ), то образ корасслоения f замкнут в X.

Среди всех закрытых включений корасслоения можно охарактеризовать следующим образом. Включение замкнутого подпространства A в пространство X является корасслоением тогда и только тогда, когда A является ретрактом деформации окрестности X , что означает , что существует непрерывное отображение с и гомотопия такая, что для всех для всех и и если . ^[4] ${\displaystyle u:X\rightarrow [0,1]}$ ${\textstyle A=u^{-1}\!\left(0\right)}$ ${\textstyle H:X\times [0,1]\rightarrow X}$ ${\textstyle H(x,0)=x}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle H(a,t)=a}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle t\in [0,1],}$ ${\textstyle H\left(x,1\right)\in A}$ ${\displaystyle u(x)<1}$

Например, включение подкомплекса в комплекс CW является кофибрацией.

Характеристики

• Одним из основных свойств ретракта A из X (с ретракцией ) является то, что каждое непрерывное отображение имеет по крайней мере одно расширение, а именно . ${\textstyle r:X\to A}$ ${\textstyle f:A\rightarrow Y}$ ${\textstyle g:X\rightarrow Y,}$ ${\textstyle g=f\circ r}$
• Если подпространство является ретрактом пространства, то включение вызывает инъекцию между фундаментальными группами.
• Ретракция деформации — частный случай гомотопической эквивалентности. Фактически, два пространства гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда они оба гомеоморфны деформационным ретрактам одного большего пространства.
• Любое топологическое пространство, деформация которого стягивается в точку, сжимаемо, и наоборот. Однако существуют сжимаемые пространства, которые не сильно деформируются, стягиваются в точку. ^[5]

Теорема об отсутствии ретракции

Граница n - мерного шара , то есть ( n −1)-сфера, не является втягиванием шара. (См. теорему Брауэра о неподвижной точке § Доказательство с использованием гомологии или когомологии .)

Абсолютный ретракт соседства (ANR)

Замкнутое подмножество топологического пространства называется ретрактом окрестности , если является ретрактом некоторого открытого подмножества, содержащего . ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle X}$

Пусть – класс топологических пространств, замкнутый относительно гомеоморфизмов и перехода к замкнутым подмножествам. Следуя Борсуку (начиная с 1931 года), пространство называется абсолютным ретрактом для класса , пишется, если оно находится в и всякий раз, когда является замкнутым подмножеством пространства в , является ретрактом . Пространство является абсолютным ретрактом окрестностей для класса , записанным , если оно находится в и всякий раз, когда является замкнутым подмножеством пространства в , является ретрактом окрестностей класса . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle \operatorname {AR} \left({\mathcal {C}}\right),}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {C}}\right),}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$

В этом определении были рассмотрены различные классы , такие как нормальные пространства , но было обнаружено, что класс метризуемых пространств дает наиболее удовлетворительную теорию. По этой причине обозначения AR и ANR сами по себе используются в этой статье для обозначения и . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {AR} \left({\mathcal {M}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {M}}\right)}$

Метризуемое пространство является AR тогда и только тогда, когда оно сжимаемо и ANR. ^[7] По Дугунджи , каждое локально выпуклое метризуемое топологическое векторное пространство является AR; в более общем смысле, каждое непустое выпуклое подмножество такого векторного пространства является AR. ^[8] Например, любое нормированное векторное пространство ( полное или нет) является AR. Более конкретно, евклидово пространство , единичный куб и куб Гильберта являются AR. ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\textstyle I^{n},}$ ${\textstyle I^{\omega }}$

ANR образуют замечательный класс « хороших » топологических пространств. Среди их свойств:

• Каждое открытое подмножество ANR является ANR.
• По Ханнеру , метризуемое пространство, имеющее открытое покрытие ANR, является ANR. ^[9] (То есть быть ANR — это локальное свойство метризуемых пространств.) Отсюда следует, что каждое топологическое многообразие является ANR. Например, сфера является ANR, но не AR (поскольку она не сжимаема). В бесконечных измерениях из теоремы Ханнера следует, что каждое гильбертово кубическое многообразие, а также (достаточно разные, например, не локально компактные ) гильбертово многообразие и банахово многообразие являются ANR. ${\textstyle S^{n}}$
• Каждый локально конечный комплекс CW является ANR. ^[10] Произвольный комплекс CW не обязательно должен быть метризуемым, но каждый комплекс CW имеет гомотопический тип ANR (который метризуем по определению). ^[11]
• Каждое ANR X локально сжимаемо в том смысле, что для каждой открытой окрестности точки в существует открытая окрестность точки в такой, что включение гомотопно постоянному отображению . Конечномерное метризуемое пространство является ANR тогда и только тогда, когда оно локально стягиваемо в этом смысле. ^[12] Например, множество Кантора представляет собой компактное подмножество реальной линии, которое не является ANR, поскольку оно даже не локально связно . ${\textstyle U}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle V\hookrightarrow U}$
• Контрпримеры: Борсук нашел компактное подмножество, которое является ANR, но не является строго локально сжимаемым. ^[13] (Пространство строго локально сжимаемо , если каждая открытая окрестность каждой точки содержит стягиваемую открытую окрестность точки .) Борсук также нашел компактное подмножество гильбертова куба, которое является локально сжимаемым (как определено выше), но не является ANR. ^[14] ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle x}$
• Каждый ANR имеет гомотопический тип комплекса CW по Уайтхеду и Милнору . ^[15] Более того, локально компактный ANR имеет гомотопический тип локально конечного комплекса CW; и, по мнению Уэста, компактный ANR имеет гомотопический тип конечного комплекса CW. ^[16] В этом смысле ANR избегают всех гомотопических патологий произвольных топологических пространств. Например, для ANR справедлива теорема Уайтхеда : отображение ANR, которое индуцирует изоморфизм гомотопических групп (для любого выбора базовой точки), является гомотопической эквивалентностью. Поскольку ANR включают топологические многообразия, гильбертовы кубические многообразия, банаховы многообразия и т. д., эти результаты применимы к большому классу пространств.
• Многие пространства отображения являются ANR. В частности, пусть Y — ANR с замкнутым подпространством A , которое является ANR, и пусть X — любое компактное метризуемое пространство с замкнутым подпространством B. Тогда пространство отображений пар (с компактно-открытой топологией на пространстве отображений ) является ANR. ^[17] Отсюда, например, следует, что пространство петель любого комплекса CW имеет гомотопический тип комплекса CW. ${\textstyle \left(Y,A\right)^{\left(X,B\right)}}$ ${\textstyle \left(X,B\right)\rightarrow \left(Y,A\right)}$
• По Коти, метризуемое пространство является ANR тогда и только тогда, когда каждое открытое подмножество имеет гомотопический тип CW-комплекса. ^[18] ${\textstyle X}$ ${\textstyle X}$
• По Коти, существует метрическое линейное пространство (то есть топологическое векторное пространство с трансляционно-инвариантной метрикой), которое не является AR. Можно считать сепарабельным и F -пространство (т. е. полное метрическое линейное пространство). ^[19] (По приведенной выше теореме Дугунджи он не может быть локально выпуклым.) Поскольку он стягиваем и не является AR, он также не является ANR. По приведенной выше теореме Коти имеет открытое подмножество , которое не гомотопически эквивалентно комплексу CW. Таким образом, существует метризуемое пространство , которое строго локально стягиваемо, но не гомотопически эквивалентно CW-комплексу. Неизвестно, должно ли компактное (или локально компактное) метризуемое пространство, строго локально стягиваемое, быть ANR. ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle U}$

Примечания

1. Борсук (1931).
2. Вайнтрауб, Стивен Х. Основы алгебраической топологии . Тексты для аспирантов по математике . Том. 270. Спрингер . п. 20.
3. Хэтчер (2002), Предложение 4H.1.
4. Куппе (1967), Satz 1.
5. Хэтчер (2002), Упражнение 0.6.
6. Мардешич (1999), с. 242.
7. Ху (1965), Предложение II.7.2.
8. Ху (1965), Следствие II.14.2 и Теорема II.3.1.
9. Ху (1965), Теорема III.8.1.
10. Мардешич (1999), с. 245.
11. Фрич и Пиччинини (1990), Теорема 5.2.1.
12. Ху (1965), Теорема V.7.1.
13. Борсук (1967), раздел IV.4.
14. Борсук (1967), Теорема V.11.1.
15. Фрич и Пиччинини (1990), Теорема 5.2.1.
16. Вест (2004), с. 119.
17. Ху (1965), Теорема VII.3.1 и замечание VII.2.3.
18. Коти (1994), Фонд. Математика. 144: 11–22.
19. Коти (1994), Фонд. Математика. 146: 85–99.

Рекомендации

• Борсук, Кароль (1931), «Sur les retractes», Fundamenta Mathematicae , 17 : 152–170, doi : 10.4064/fm-17-1-152-170 , Zbl  0003.02701
• Борсук, Кароль (1967), Теория ретрактов , Варшава: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR  0216473
• Коти, Роберт (1994), «Une caractérisation des retractes absolus de voisinage», Fundamenta Mathematicae , 144 : 11–22, doi : 10.4064/fm-144-1-11-22 , MR  1271475
• Коти, Роберт (1994), «Un espace métrique linéaire qui n'est pas un retracte absolu», Fundamenta Mathematicae , 146 : 85–99, doi : 10.4064/fm-146-1-85-99 , MR  1305261
• Фрич, Рудольф; Пиччинини, Ренцо (1990), Клеточные структуры в топологии , издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-32784-9, МР  1074175
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-79540-0, МР  1867354
• Ху, Сзе-Цен (1965), Теория ретрактов , издательство Wayne State University Press, MR  0181977
• Мардешич, Сибе (1999), «Абсолютные ретракты окрестностей и теория формы», Джеймс, И.М. (редактор), История топологии , Амстердам: Северная Голландия , стр. 241–269, ISBN 0-444-82375-1, МР  1674915
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 0-226-51182-0, МР  1702278
• Милнор, Джон (1959), «О пространствах, имеющих гомотопический тип CW-комплекса», Transactions of the American Mathematical Society , 90 (2): 272–280, doi : 10.2307/1993204, JSTOR  1993204, MR  0100267
• Пуппе, Дитер (1967), «Bemerkungen über die Erweiterung von Homotopien», Archiv der Mathematik , 18 : 81–88, doi : 10.1007/BF01899475, MR  0206954, S2CID  120021003
• Уэст, Джеймс (2004), «Абсолютные ретракты», в Харт, КП (редактор), Энциклопедия общей топологии , Амстердам: Elsevier , ISBN 0-444-50355-2, МР  2049453

Внешние ссылки

• В эту статью включены материалы из отзыва Neighborhood на сайте PlanetMath , который распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .