В математике открытый единичный диск (или диск ) вокруг P (где P — заданная точка на плоскости ) — это набор точек, расстояние от которых до P меньше 1:
Замкнутый единичный круг вокруг P — это набор точек, расстояние от которых до P меньше или равно единице:
Единичные диски — это частные случаи дисков и единичных шаров ; как таковые, они содержат внутреннюю часть единичного круга и, в случае замкнутого единичного диска, сам единичный круг.
Без дальнейших уточнений термин единичный диск используется для обозначения открытого единичного круга относительно начала координат относительно стандартной евклидовой метрики . Это внутренняя часть круга радиуса 1 с центром в начале координат. Этот набор можно отождествить с набором всех комплексных чисел с абсолютным значением меньше единицы. Если рассматривать его как подмножество комплексной плоскости ( C ), часто обозначают единичный круг .
Функция
является примером вещественной аналитической и биективной функции от открытого единичного круга до плоскости; его обратная функция также является аналитической. Следовательно, рассматриваемый как вещественное двумерное аналитическое многообразие , открытый единичный диск изоморфен всей плоскости. В частности, открытый единичный диск гомеоморфен всей плоскости.
Однако между открытым единичным диском и плоскостью не существует конформного биективного отображения. Следовательно , рассматриваемый как риманова поверхность , открытый единичный диск отличается от комплексной плоскости .
Между открытым единичным диском и открытой верхней полуплоскостью существуют конформные биективные отображения . Открытый единичный диск, рассматриваемый таким образом как риманова поверхность, изоморфен («биголоморфен» или «конформно эквивалентен») верхней полуплоскости, и эти два понятия часто используются как взаимозаменяемые.
В более общем смысле теорема Римана об отображении утверждает, что каждое односвязное открытое подмножество комплексной плоскости, отличное от самой комплексной плоскости, допускает конформное и биективное отображение в открытый единичный круг.
Одно биективное конформное отображение открытого единичного диска в открытую верхнюю полуплоскость - это преобразование Мёбиуса.
Геометрически можно представить, что реальная ось согнута и сжата так, что верхняя полуплоскость становится внутренней частью диска, а реальная ось образует окружность диска, за исключением одной точки вверху, «точки на бесконечности». Биективная конформная карта открытого единичного диска в открытую верхнюю полуплоскость также может быть построена как композиция двух стереографических проекций : сначала единичный диск стереографически проецируется вверх на единичную верхнюю полусферу, принимая «южный полюс» » единичной сферы в качестве центра проекции, а затем эта полусфера проецируется вбок на вертикальную полуплоскость, касающуюся сферы, принимая точку на полусфере, противоположную точке касания, в качестве центра проекции.
Единичный диск и верхняя полуплоскость не являются взаимозаменяемыми как области определения пространств Харди . Этому различию способствует тот факт, что единичная окружность имеет конечную (одномерную) меру Лебега , а действительная линия - нет.
Открытый единичный диск образует набор точек для модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости. Дуги окружностей , перпендикулярные единичной окружности, образуют в этой модели «линии». Единичный круг — это абсолют Кэли , который определяет метрику на диске посредством использования перекрестного отношения в стиле метрики Кэли-Клейна . На языке дифференциальной геометрии дуги окружностей, перпендикулярные единичной окружности, представляют собой геодезические , показывающие кратчайшее расстояние между точками модели. В модель включены движения , которые выражаются специальной унитарной группой SU(1,1) . Модель диска можно преобразовать в модель полуплоскости Пуанкаре с помощью отображения g , приведенного выше.
И диск Пуанкаре, и полуплоскость Пуанкаре являются конформными моделями гиперболической плоскости, то есть углы между пересекающимися кривыми сохраняются за счет движения их групп изометрии.
На открытом единичном диске построена также другая модель гиперболического пространства: модель Бельтрами-Клейна . Она не конформна , но обладает тем свойством, что геодезические представляют собой прямые линии.
Можно также рассматривать единичные диски по отношению к другим метрикам . Например, в метрике такси и метрике Чебышева диски выглядят как квадраты (хотя лежащие в их основе топологии такие же, как евклидова).
Площадь евклидова единичного диска равна π , а его периметр — 2π. Напротив, периметр (относительно метрики такси) единичного диска в геометрии такси равен 8. В 1932 году Станислав Голоб доказал, что в метриках, возникающих из нормы , периметр единичного диска может принимать любое значение между 6 и 8, и что эти экстремальные значения получаются тогда и только тогда, когда единичный круг представляет собой правильный шестиугольник или параллелограмм соответственно.
