Обобщенная теорема Стокса

Statement about integration on manifolds

В векторном исчислении и дифференциальной геометрии обобщенная теорема Стокса (иногда с апострофом в виде теоремы Стокса или теоремы Стокса ), также называемая теоремой Стокса-Картана , ^[1] представляет собой утверждение об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях , которое одновременно упрощает и обобщает несколько теорем векторного исчисления . В частности, фундаментальная теорема исчисления представляет собой частный случай, когда многообразие представляет собой отрезок прямой , теорема Грина и теорема Стокса — это случаи поверхности в или , а теорема о дивергенции — это случай объема в ^[2] . Следовательно, эту теорему иногда называют Фундаментальной теоремой многомерного исчисления . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Теорема Стокса гласит, что интеграл дифференциальной формы по границе некоторого ориентируемого многообразия равен интегралу от ее внешней производной по всему многообразию , т. е. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\operatorname {d} \omega \,.}$$

Теорема Стокса была сформулирована в своей современной форме Эли Картаном в 1945 году ^[4] после более ранних работ по обобщению теорем векторного исчисления Вито Вольтерры , Эдуарда Гурса и Анри Пуанкаре . ^{[5] [6]}

Эта современная форма теоремы Стокса является обширным обобщением классического результата ^, который лорд Кельвин сообщил Джорджу Стоксу в письме от 2 июля 1850 ^{года . Экзамен} на премию Смита , в результате которого результат получил его имя. Впервые он был опубликован Германом Ханкелем в 1861 году. [ ^{9] [10]} Этот классический случай связывает поверхностный интеграл ротора векторного поля над поверхностью (то есть поток ) в евклидовом трехмерном пространстве с линейным интегралом векторного поля над границей поверхности. ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle {\text{curl}}\,{\textbf {F}}}$

Введение

Вторая фундаментальная теорема исчисления гласит, что интеграл функции на интервале можно вычислить, найдя первообразную : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,.}$$

Теорема Стокса является обширным обобщением этой теоремы в следующем смысле.

• По выбору , . На языке дифференциальных форм это означает, что это внешняя производная 0-формы, т. е. функции, : другими словами, что . Общая теорема Стокса применима к дифференциальным формам более высокой степени , а не только к 0-формам, таким как . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=f(x)}$ ${\displaystyle f(x)\,dx}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle dF=f\,dx}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle F}$
• Замкнутый интервал — простой пример одномерного многообразия с краем . Его границей является множество, состоящее из двух точек и . Интегрирование по интервалу можно обобщить до интегрирования форм на многомерном многообразии. Необходимы два технических условия: многообразие должно быть ориентируемым , а форма должна иметь компактный носитель , чтобы давать четко определенный интеграл. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$
• Две точки и образуют границу замкнутого интервала. В более общем смысле теорема Стокса применима к ориентированным многообразиям с краем. Граница сама по себе является многообразием и наследует естественную ориентацию от границы . Например, естественная ориентация интервала дает ориентацию двух граничных точек. Интуитивно, наследует противоположную ориентацию как , поскольку они находятся на противоположных концах интервала. Итак, «интегрирование» по двум граничным точкам — это учет разницы . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F(b)-F(a)}$

Еще проще, точки можно рассматривать как границы кривых, то есть как 0-мерные границы 1-мерных многообразий. Итак, точно так же, как можно найти значение интеграла ( ) по 1-мерному многообразию ( ), рассматривая первообразную ( ) на 0-мерных границах ( ), можно обобщить фундаментальную теорему исчисления с помощью несколько дополнительных предостережений, чтобы иметь дело со значением интегралов ( ) по -мерным многообразиям ( ) путем рассмотрения первообразной ( ) на -мерных границах ( ) многообразия. ${\displaystyle f\,dx=dF}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Итак, основная теорема гласит: $${\displaystyle \int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}\,dF=\int _{\partial [a,b]}\,F=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a)\,.}$$

Формулировка для гладких многообразий с краем

Пусть – ориентированное гладкое многообразие размерности с краем и пусть – гладкая дифференциальная форма , имеющая компактный носитель на . Во-первых, предположим, что это компактно поддерживается в области единственной ориентированной координатной карты . В этом случае мы определяем интеграл от по как т.е. через возврат к . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \{U,\varphi \}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha =\int _{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^{*}\alpha \,,}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В более общем смысле, интеграл от over определяется следующим образом: пусть это раздел единицы, связанный с локально конечным покрытием (последовательно ориентированных) координатных карт, затем определите интеграл , в котором каждый член суммы оценивается путем возврата к, как описано выше. Эта величина четко определена; то есть не зависит ни от выбора координатных карт, ни от разделения единицы. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \{\psi _{i}\}}$ ${\displaystyle \{U_{i},\varphi _{i}\}}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\alpha \,,}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Обобщенная теорема Стокса гласит:

Теорема  ( Стокса – Картана ) . Пусть  —  гладкая форма с компактным носителем на ориентированном -мерном многообразии с краем , где задана индуцированная ориентация. Тогда ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega .}$$

Вот внешняя производная , которая определяется только с использованием структуры многообразия. Правую часть иногда пишут, чтобы подчеркнуть тот факт, что -многообразие не имеет границы. ^{[примечание 1]} (Этот факт также является следствием теоремы Стокса, поскольку для данного гладкого -мерного многообразия применение теоремы дважды дает для любой -формы , из чего следует, что .) Правая часть уравнения равна часто используется для формулирования интегральных законов; тогда левая часть приводит к эквивалентным дифференциальным формулировкам (см. ниже). ${\displaystyle d}$ ${\textstyle \oint _{\partial \Omega }\omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\textstyle \int _{\partial (\partial \Omega )}\omega =\int _{\Omega }d(d\omega )=0}$ ${\displaystyle (n-2)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \partial (\partial \Omega )=\emptyset }$

Теорема часто используется в ситуациях, когда есть вложенное ориентированное подмногообразие некоторого большего многообразия, часто , на котором определена форма . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \omega }$

Топологические предварительные сведения; интеграция по цепочкам

Пусть M — гладкое многообразие . (Гладкий) сингулярный k -симплекс в M определяется как гладкое отображение стандартного симплекса ^в Rk в M. Группа Ck ₍ M , Z ) особых k - цепей на M определяется как свободная абелева группа на множестве особых k - симплексов в M. Эти группы вместе с граничным отображением ∂ определяют цепной комплекс . Соответствующая группа гомологий (соответственно когомологий) изоморфна обычной сингулярной группе гомологий H _k ( M , Z ) (соответственно группе сингулярных когомологий H ^k ( M , Z ) ), определенной с использованием непрерывных, а не гладких симплексов в M .

С другой стороны, дифференциальные формы с внешней производной d в качестве связующего отображения образуют комплекс коцепей, который определяет группы когомологий де Рама . ${\displaystyle H_{dR}^{k}(M,\mathbf {R} )}$

Дифференциальные k -формы можно интегрировать по k - ^{симплексу} естественным путем, возвращаясь к Rk . Расширение по линейности позволяет интегрировать по цепочкам. Это дает линейное отображение пространства k -форм в k -ю группу сингулярных коцепей C ^k ( M , Z ) - линейные функционалы на C _k ( M , Z ) . Другими словами, k -форма ω определяет функционал на k -цепях. Теорема Стокса утверждает, что это цепное отображение когомологий де Рама в сингулярные когомологии с действительными коэффициентами; внешняя производная d ведет себя как двойственная к ∂ на формах. Это дает гомоморфизм когомологий де Рама в сингулярные когомологии. На уровне форм это означает: $${\displaystyle I(\omega )(c)=\oint _{c}\omega .}$$

1. замкнутые формы, т. е. dω = 0 , имеют нулевой интеграл по границам , т. е. по многообразиям, которые можно записать как ∂Σ _c M _c , и
2. точные формы, т. е. ω = dσ , имеют нулевой интеграл по циклам , т. е. если сумма границ равна пустому множеству: ∂Σ _c M _c = ∅ .

Теорема Де Рама показывает, что этот гомоморфизм на самом деле является изоморфизмом . Таким образом, обратное к пунктам 1 и 2 выше справедливо. Другими словами, если { c _i } — циклы, порождающие k -ю группу гомологий, то для любых соответствующих действительных чисел { a _i } существует замкнутая форма ω такая, что и эта форма уникальна с точностью до точных форм. $${\displaystyle \oint _{c_{i}}\omega =a_{i}\,,}$$

Теорему Стокса о гладких многообразиях можно вывести из теоремы Стокса для цепей в гладких многообразиях, и наоборот. ^[11] Формально последнее гласит: ^[12]

Теорема  ( теорема Стокса для цепей )  —  Если c — гладкая k -цепь в гладком многообразии M , а ω — гладкая ( k − 1) -форма на M , то $${\displaystyle \int _{\partial c}\omega =\int _{c}d\omega .}$$

Основной принцип

Чтобы упростить эти топологические аргументы, стоит изучить основополагающий принцип, рассмотрев пример для измерений d = 2 . Основную идею можно понять с помощью диаграммы слева, которая показывает, что в ориентированном замощении многообразия внутренние пути проходят в противоположных направлениях; таким образом, их вклады в интеграл по путям попарно компенсируют друг друга. В результате остается только вклад границы. Таким образом, достаточно доказать теорему Стокса для достаточно тонких мозаик (или, что то же самое, симплексов ), что обычно не составляет труда.

Пример классического векторного анализа

Пусть – кусочно- гладкая плоская жорданова кривая . Теорема Жордана о кривой подразумевает, что она делится на две компоненты: компактную и некомпактную. Обозначим компактную часть, ограниченную и предположим, что она гладкая, с . Если пространственная кривая определяется ^{[примечанием 2]} и является гладким векторным полем на , то: ^{[13] [14] [15]} ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S=\psi (D)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$ ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {S} }$$

Это классическое утверждение является частным случаем общей формулировки после отождествления векторного поля с 1-формой, а его ротора с двойной формой через $${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot d\Gamma \to F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\\\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\\\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\\\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} \to \\[1.4ex]&d(F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz)=\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)dy\wedge dz+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)dz\wedge dx+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)dx\wedge dy.\end{aligned}}}$$

Обобщение на грубые множества

Область (здесь она называется D вместо Ω ) с кусочно-гладкой границей. Это многообразие с углами , поэтому его граница не является гладким многообразием.

Приведенная выше формулировка, в которой рассматривается гладкое многообразие с краем, недостаточна во многих приложениях. Например, если область интегрирования определяется как плоская область между двумя -координатами и графиками двух функций, часто бывает, что область имеет углы. В таком случае угловые точки означают, что это не гладкое многообразие с краем, и поэтому приведенное выше утверждение теоремы Стокса не применимо. Тем не менее можно проверить, что заключение теоремы Стокса по-прежнему верно. Это связано с тем , что его граница хорошо ведет себя вдали от небольшого набора точек ( множества нулевой меры ). ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Версия теоремы Стокса, допускающая шероховатость, была доказана Уитни. ^[16] Предположим, что это связное ограниченное открытое подмножество . Назовите стандартную область, если она удовлетворяет следующему свойству: существует подмножество , открытое в , дополнение которого в имеет нулевую хаусдорфову меру ; и такой, что каждая точка имеет обобщенный вектор нормали . Это вектор такой, что если система координат выбрана так, что это первый базисный вектор, то в открытой окрестности вокруг существует гладкая функция, такая, что это график и область . Уитни отмечает, что граница стандартной области представляет собой объединение множества нулевой хаусдорфовой -меры и конечного или счетного объединения гладких -многообразий, каждое из которых имеет область определения только с одной стороны. Затем он доказывает, что если - стандартная область в , -форма , определенная, непрерывная и ограниченная на , гладкая на , интегрируемая на и такая, что интегрируема на , то справедлива теорема Стокса, т. е. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$ ${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x_{2},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \{x_{1}=f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{x_{1}:x_{1}<f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle D\cup P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle \int _{P}\omega =\int _{D}d\omega \,.}$$

Изучение теоретико-мерных свойств грубых множеств приводит к геометрической теории меры . Еще более общие версии теоремы Стокса были доказаны Федерером и Харрисоном. ^[17]

Особые случаи

Общая форма теоремы Стокса с использованием дифференциальных форм более мощна и проста в использовании, чем частные случаи. Традиционные версии могут быть сформулированы с использованием декартовых координат без применения дифференциальной геометрии и, следовательно, более доступны. Кроме того, они старше, и в результате их имена более знакомы. Традиционные формы часто считаются более удобными для практикующих ученых и инженеров, но неестественность традиционной формулировки становится очевидной при использовании других систем координат, даже таких привычных, как сферические или цилиндрические координаты. Существует вероятность путаницы в применении названий и использовании двойных формулировок.

Классический (векторное исчисление) случай

Иллюстрация теоремы Стокса векторного исчисления с поверхностью , ее границей и «нормальным» вектором n . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$

Это (дуализированный) (1 + 1)-мерный случай для 1-формы (дуализированной, поскольку это утверждение о векторных полях ). Этот особый случай во многих вводных университетских курсах векторного исчисления часто называют просто теоремой Стокса и используется в физике и технике. Ее также иногда называют теоремой о роторе .

Классическая теорема Стокса связывает поверхностный интеграл ротора векторного поля по поверхности в евклидовом трехмерном пространстве с линейным интегралом векторного поля по его границе . Это частный случай общей теоремы Стокса (с ), когда мы отождествляем векторное поле с 1-формой, используя метрику в евклидовом 3-пространстве. Кривая линейного интеграла , должна иметь положительную ориентацию , что означает, что она направлена ​​против часовой стрелки, когда нормаль к поверхности , , направлена ​​к зрителю. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle n}$

Одним из следствий этой теоремы является то, что силовые линии векторного поля с нулевым ротором не могут быть замкнутыми контурами. Формулу можно переписать так:

Теорема  .  Пусть определено в области с гладкой поверхностью и имеет непрерывные частные производные первого порядка . Тогда где и – компоненты и – граница области . ${\displaystyle {\textbf {F}}={\big (}P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z){\big )}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ $${\displaystyle \iint _{\Sigma }{\Biggl (}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy{\Biggr )}=\oint _{\partial \Sigma }{\Big (}P\,dx+Q\,dy+R\,dz{\Big )}\,,}$$ ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Теорема Грина

Теорема Грина сразу узнаваема как третий подынтегральный знак обеих частей интеграла в терминах P , Q и R , упомянутых выше.

В электромагнетизме

Два из четырех уравнений Максвелла включают роторы трехмерных векторных полей, а их дифференциальная и интегральная формы связаны специальным трехмерным (векторным исчислением) случаем теоремы Стокса . Необходимо проявлять осторожность, чтобы избежать случаев с подвижными границами: частные производные по времени предназначены для исключения таких случаев. Если включены движущиеся границы, то замена интегрирования и дифференцирования приводит к появлению членов, связанных с движением границ, не включенных в приведенные ниже результаты (см. Дифференцирование под знаком интеграла ):

Перечисленная выше подгруппа уравнений Максвелла справедлива для электромагнитных полей, выраженных в единицах СИ . В других системах единиц, таких как СГС или гауссовы единицы , коэффициенты масштабирования для терминов различаются. Например, в гауссовых единицах закон индукции Фарадея и закон Ампера принимают формы: ^{[18] [19]} соответственно, где c — скорость света в вакууме. $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,,\\\nabla \times \mathbf {H} &={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \,,\end{aligned}}}$$

Теорема о дивергенции

Аналогично, теорема о дивергенции является частным случаем, если мы отождествляем векторное поле с -формой, полученной путем сжатия векторного поля с евклидовой формой объема. Применением этого является случай , когда – произвольный постоянный вектор. Вычисление расхождения произведения дает Поскольку это справедливо для всего, что мы находим $${\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla \cdot \mathbf {F} \,d_{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \operatorname {Vol} }\mathbf {F} \cdot d{\boldsymbol {\Sigma }}}$$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle {\textbf {F}}=f{\vec {c}}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}}$ $${\displaystyle {\vec {c}}\cdot \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\,d_{\mathrm {Vol} }={\vec {c}}\cdot \oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\,d{\boldsymbol {\Sigma }}\,.}$$ ${\displaystyle {\vec {c}}}$ $${\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\,d_{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\,d{\boldsymbol {\Sigma }}\,.}$$

Объемный интеграл градиента скалярного поля

Пусть скалярное поле . Тогда где – вектор нормали к поверхности в данной точке. ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f=\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f}$$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Доказательство: Пусть вектор. Тогда Поскольку это справедливо для любого (в частности, для каждого базисного вектора ), результат следующий. ${\displaystyle {\vec {c}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{\Omega }{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {c}}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}\cdot {\vec {c}}f&{\text{by the divergence theorem}}\\&=\int _{\Omega }{\vec {c}}\cdot {\vec {\nabla }}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {c}}\cdot {\vec {n}}f\\&={\vec {c}}\cdot \int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f-{\vec {c}}\cdot \int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f\\&={\vec {c}}\cdot \left(\int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\vec {c}}}$

Смотрите также

• Математический портал

• Лемма Чандрасекара – Вентцеля

Сноски

1. Математикам этот факт известен, поэтому круг излишен и часто опускается. Однако здесь следует иметь в виду, что в термодинамике , где часто встречаются выражения (где полную производную, см. ниже, не следует путать с внешней), путь интегрирования представляет собой одномерную замкнутую линию на гораздо более высоком уровне. -мерное многообразие. То есть в термодинамическом приложении, где функция температуры , объема и электрической поляризации образца, круг действительно необходим, например, если рассматривать дифференциальные следствия интегрального постулата ${\displaystyle \oint _{W}\{{\text{d}}_{\text{total}}U\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=T}$ ${\displaystyle \alpha _{2}=V}$ ${\displaystyle \alpha _{3}=P}$ $${\displaystyle \{d_{\text{total}}U\}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial U}{\partial \alpha _{i}}}\,d\alpha _{i}\,,}$$ $${\displaystyle \oint _{W}\,\{d_{\text{total}}U\}\,{\stackrel {!}{=}}\,0\,.}$$
2. и являются обеими петлями, однако не обязательно является жордановой кривой . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Рекомендации

1. Мишель Муазан; Жак Пеллетье. Физика столкновительной плазмы – Введение. Спрингер.
2. «Человек, который решил рынок», Грегори Цукерман, Портфолио, ноябрь 2019 г., ASIN: B07P1NNTSD
3. Спивак, Майкл (1965). Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам углубленного исчисления . Нью-Йорк: Издательство Авалон. ISBN 0-8053-9021-9. ОСЛК  187146.
4. Картан, Эли (1945). Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques . Париж: Германн.
5. Кац, Виктор Дж. (1 января 1979 г.). «История теоремы Стокса». Журнал «Математика» . 52 (3): 146–156. дои : 10.2307/2690275. JSTOR  2690275.
6. Кац, Виктор Дж. (1999). «5. Дифференциальные формы». В Джеймсе, IM (ред.). История топологии . Амстердам: Эльзевир. стр. 111–122. ISBN 9780444823755.
7. См.:
   • Кац, Виктор Дж. (май 1979 г.). «История теоремы Стокса». Журнал «Математика» . 52 (3): 146–156. дои : 10.1080/0025570x.1979.11976770.
   • Письмо Томсона Стоуксу опубликовано в: Thomson, William ; Стоукс, Джордж Габриэль (1990). Уилсон, Дэвид Б. (ред.). Переписка между сэром Джорджем Габриэлем Стоксом и сэром Уильямом Томсоном, бароном Кельвином Ларгсским, Том 1: 1846–1869. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. стр. 96–97. ISBN 9780521328319.
   • Neither Thomson nor Stokes published a proof of the theorem. The first published proof appeared in 1861 in: Hankel, Hermann (1861). Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten [On the general theory of the movement of fluids]. Göttingen, Germany: Dieterische University Buchdruckerei. pp. 34–37. Hankel doesn't mention the author of the theorem.
   • In a footnote, Larmor mentions earlier researchers who had integrated, over a surface, the curl of a vector field. See: Stokes, George Gabriel (1905). Larmor, Joseph; Strutt, John William (eds.). Mathematical and Physical Papers by the late Sir George Gabriel Stokes. Vol. 5. Cambridge, England: University of Cambridge Press. pp. 320–321.
8. Darrigol, Olivier (2000). Electrodynamics from Ampère to Einstein. Oxford, England: OUP Oxford. p. 146. ISBN 0198505930.
9. Spivak (1965), p. vii, Preface.
10. See:
    • The 1854 Smith's Prize Examination is available online at: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell took this examination and tied for first place with Edward John Routh. See: Clerk Maxwell, James (1990). Harman, P. M. (ed.). The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 237, footnote 2. ISBN 9780521256254. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation.
    • Clerk Maxwell, James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism. Vol. 1. Oxford, England: Clarendon Press. pp. 25–27. In a footnote on page 27, Maxwell mentions that Stokes used the theorem as question 8 in the Smith's Prize Examination of 1854. This footnote appears to have been the cause of the theorem's being known as "Stokes' theorem".
11. Renteln, Paul (2014). Manifolds, Tensors, and Forms. Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 158–175. ISBN 9781107324893.
12. Lee, John M. (2013). Introduction to Smooth Manifolds. New York: Springer. p. 481. ISBN 9781441999818.
13. Stewart, James (2010). Essential Calculus: Early Transcendentals. Cole.
14. This proof is based on the Lecture Notes given by Prof. Robert Scheichl (University of Bath, U.K) [1], please refer the [2]
15. "This proof is also same to the proof shown in".
16. Whitney, Geometric Integration Theory, III.14.
17. Harrison, J. (October 1993). "Stokes' theorem for nonsmooth chains". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 29 (2): 235–243. arXiv:math/9310231. Bibcode:1993math.....10231H. doi:10.1090/S0273-0979-1993-00429-4. S2CID 17436511.
18. Jackson, J. D. (1975). Classical Electrodynamics (2nd ed.). New York, NY: Wiley. ISBN 9780471431329.
19. Born, M.; Wolf, E. (1980). Principles of Optics (6th ed.). Cambridge, England: Cambridge University Press.

Further reading

• Grunsky, Helmut (1983). The General Stokes' Theorem. Boston: Pitman. ISBN 0-273-08510-7.
• Katz, Victor J. (May 1979). "The History of Stokes' Theorem". Mathematics Magazine. 52 (3): 146–156. doi:10.2307/2690275. JSTOR 2690275.
• Loomis, Lynn Harold; Sternberg, Shlomo (2014). Advanced Calculus. Hackensack, New Jersey: World Scientific. ISBN 978-981-4583-93-0.
• Madsen, Ib; Tornehave, Jørgen (1997). From Calculus to Cohomology: De Rham cohomology and characteristic classes. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-58956-8.
• Marsden, Jerrold E.; Anthony, Tromba (2003). Vector Calculus (5th ed.). W. H. Freeman.
• Lee, John (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York, NY: McGraw–Hill. ISBN 0-07-054235-X.
• Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. San Francisco: Benjamin Cummings. ISBN 0-8053-9021-9.
• Stewart, James (2009). Calculus: Concepts and Contexts. Cengage Learning. pp. 960–967. ISBN 978-0-495-55742-5.
• Stewart, James (2003). Calculus: Early Transcendental Functions (5th ed.). Brooks/Cole.
• Tu, Loring W. (2011). An Introduction to Manifolds (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-1-4419-7399-3.

External links

• "Stokes formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem
• Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu – an expository explanation