Связная сумма

Способ объединения двух заданных математических многообразий вместе

Иллюстрация связанной суммы.

В математике , особенно в топологии , операция связной суммы является геометрической модификацией многообразий . Его эффект состоит в том, чтобы соединить два заданных многообразия рядом с выбранной точкой каждого из них. Эта конструкция играет ключевую роль в классификации замкнутых поверхностей .

В более общем смысле, можно также соединить многообразия вместе по идентичным подмногообразиям; это обобщение часто называют суммой слоев . Существует также близкое понятие связной суммы на узлах , называемое суммой узлов или композицией узлов.

Связная сумма в точке

Связная сумма двух m -мерных многообразий — это многообразие, образованное удалением шара внутри каждого многообразия и склейкой полученных граничных сфер .

Если оба многообразия ориентированы , существует единственная связная сумма, определяемая обратной ориентацией карты склейки. Хотя в конструкции используется выбор шаров, результат единственен с точностью до гомеоморфизма . Можно также заставить эту операцию работать в гладкой категории , и тогда результат будет единственным с точностью до диффеоморфизма . В гладком случае возникают тонкие проблемы: не всякий диффеоморфизм между границами сфер дает одно и то же составное многообразие, даже если ориентации выбраны правильно. Например, Милнор показал, что две 7-клетки можно склеить вдоль их границы так, что в результате получится экзотическая сфера, гомеоморфная, но не диффеоморфная 7-сфере.

Однако существует канонический способ выбора склейки и который дает единственную вполне определенную связную сумму. ^[1] Выберите вложения и так, чтобы сохранялась ориентация и менялась ориентация. Теперь получим из непересекающейся суммы ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle i_{1}:D_{n}\rightarrow M_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}:D_{n}\rightarrow M_{2}}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}}$ ${\displaystyle M_{1}\mathbin {\#} M_{2}}$

${\displaystyle (M_{1}-i_{1}(0))\sqcup (M_{2}-i_{2}(0))}$

путем идентификации с для каждого единичного вектора и каждого . Выберите ориентацию, совместимую с и . Тот факт, что эта конструкция корректна, решающим образом зависит от теоремы о диске , которая совсем не очевидна. Более подробную информацию см. ^[2] ${\displaystyle i_{1}(tu)}$ ${\displaystyle i_{2}((1-t)u)}$ ${\displaystyle u\in S^{n-1}}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle M_{1}\mathbin {\#} M_{2}}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$

Операция связной суммы обозначается . ${\displaystyle \#}$

Операция связной суммы имеет сферу как тождество ; то есть гомеоморфно (или диффеоморфно) . ${\displaystyle S^{m}}$ ${\displaystyle M\mathbin {\#} S^{m}}$ ${\displaystyle M}$

Классификация замкнутых поверхностей, основополагающий и исторически значимый результат в топологии, утверждает, что любая замкнутая поверхность может быть выражена как связная сумма сферы с некоторым количеством торов и некоторым количеством действительных проективных плоскостей . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle k}$

Связная сумма по подмногообразию

Пусть и — два гладких ориентированных многообразия одинаковой размерности и гладкое замкнутое ориентированное многообразие, вложенное как подмногообразие в оба, и предположим, кроме того, что существует изоморфизм нормальных расслоений ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}.}$

${\displaystyle \psi :N_{M_{1}}V\to N_{M_{2}}V}$

это меняет ориентацию каждого волокна. Тогда индуцирует сохраняющий ориентацию диффеоморфизм ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle N_{1}\setminus V\cong N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V\cong N_{2}\setminus V,}$

где каждое нормальное расслоение диффеоморфно отождествляется с окрестностью in и отображение ${\displaystyle N_{M_{i}}V}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{i}}$

${\displaystyle N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V}$

— это обращающая ориентацию диффеоморфная инволюция

${\displaystyle v\mapsto v/|v|^{2}}$

на нормальных векторах . Связная сумма и вдоль тогда является пространством ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle (M_{1}\setminus V)\bigcup _{N_{1}\setminus V=N_{2}\setminus V}(M_{2}\setminus V)}$

получается склейкой удаленных окрестностей с помощью диффеоморфизма, сохраняющего ориентацию. Сумма часто обозначается

${\displaystyle (M_{1},V)\mathbin {\#} (M_{2},V).}$

Тип его диффеоморфизма зависит от выбора двух вложений и от выбора . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \psi }$

Грубо говоря, каждый нормальный слой подмногообразия содержит одну точку , а связная сумма вдоль — это просто связная сумма, описанная в предыдущем разделе, выполненная вдоль каждого слоя. По этой причине связную сумму вдоль часто называют суммой слоя . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Особый случай точки восстанавливает связную сумму предыдущего раздела. ${\displaystyle V}$

Связная сумма по подмногообразию коразмерности два

Другой важный частный случай возникает, когда размерность на два меньше, чем у . Тогда изоморфизм нормальных расслоений существует, если их классы Эйлера противоположны: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle e\left(N_{M_{1}}V\right)=-e\left(N_{M_{2}}V\right).}$

Более того, в этом случае структурной группой нормальных расслоений является группа окружностей ; отсюда следует, что выбор вложений канонически можно отождествить с группой гомотопических классов отображений из в окружность , которая , в свою очередь, равна первой целой группе когомологий . Таким образом, тип диффеоморфизма суммы зависит от выбора и выбора элемента из . ${\displaystyle SO(2)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H^{1}(V)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H^{1}(V)}$

Связная сумма по коразмерности два может быть проведена и в категории симплектических многообразий ; эта разработка называется симплектической суммой . ${\displaystyle V}$

Локальное управление

Связная сумма является локальной операцией на многообразиях, а это означает, что она изменяет слагаемые только в окрестности . Это означает, например, что суммирование может быть выполнено на одном многообразии, содержащем две непересекающиеся копии , с эффектом склейки к самому себе. Например, связная сумма 2-сферы в двух различных точках сферы дает 2-тор. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$

Связная сумма узлов

Существует близкое понятие связной суммы двух узлов. Фактически, если рассматривать узел просто как 1-многообразие, то связная сумма двух узлов — это просто их связная сумма как 1-мерного многообразия. Однако существенным свойством узла является не его многообразная структура (при которой каждый узел эквивалентен кругу), а скорее его вложение в окружающее пространство . Таким образом, связная сумма узлов имеет более сложное определение, которое дает четко определенное вложение, как показано ниже.

Рассмотрим непересекающиеся плоские проекции каждого узла.

Найдите на плоскости прямоугольник, у которого одна пара сторон представляет собой дугу вдоль каждого узла, но в остальном не пересекается с узлами.

Теперь соедините два узла вместе, удалив эти дуги из узлов и добавив дуги, образующие другую пару сторон прямоугольника.

Эта процедура приводит к проецированию нового узла, связной суммы (или суммы узла , или композиции ) исходных узлов. Чтобы связная сумма узлов была корректно определена, необходимо рассматривать ориентированные узлы в трехмерном пространстве. Чтобы определить связную сумму для двух ориентированных узлов:

1. Рассмотрим плоскую проекцию каждого узла и предположим, что эти проекции не пересекаются.
2. Найдите на плоскости прямоугольник, у которого одна пара сторон представляет собой дуги вдоль каждого узла, но в остальном не пересекается с узлами и так, что дуги узлов на сторонах прямоугольника ориентированы вокруг границы прямоугольника в одном направлении .
3. Теперь соедините два узла вместе, удалив эти дуги из узлов и добавив дуги, образующие другую пару сторон прямоугольника.

Результирующий связный узел суммы наследует ориентацию, соответствующую ориентациям двух исходных узлов, а ориентированный объемлющий изотопический класс результата четко определен и зависит только от ориентированных объемлющих изотопических классов исходных двух узлов.

В результате этой операции ориентированные узлы в трехмерном пространстве образуют коммутативный моноид с уникальной простой факторизацией , что позволяет нам определить, что подразумевается под простым узлом . Доказательство коммутативности можно увидеть, если позволить одному слагаемому сжиматься до тех пор, пока оно не станет очень маленьким, а затем потянуть его за другой узел. Узелок – это единица. Два узла-трилистника — это самые простые простые узлы. Узлы более высокой размерности можно добавить путем сращивания -сфер . ${\displaystyle n}$

В трех измерениях узел нельзя записать как сумму двух нетривиальных узлов. Этот факт следует из аддитивности рода узлов ; Другое доказательство опирается на бесконечную конструкцию, которую иногда называют мошенничеством Мазура . В более высоких измерениях (с коразмерностью не менее трех) можно получить узел, добавив два нетривиальных узла.

Если не принимать во внимание ориентации узлов, операция связной суммы не будет четко определена на изотопических классах (неориентированных) узлов. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим два необратимых узла K, L , которые не эквивалентны (как неориентированные узлы); например, возьмем два узла-кренделя K = P (3, 5, 7) и L = P (3, 5, 9). Пусть K ₊ и K ₋ будут K с двумя неэквивалентными ориентациями, и пусть L ₊ и L ₋ будут L с двумя неэквивалентными ориентациями. Мы можем сформировать четыре ориентированные связные суммы:

• А = К ₊ # Л ₊
• Б = К _- # L _-
• С = К ₊ # L _-
• Д = К ₋ # L ₊

Все ориентированные объемлющие изотопические классы этих четырех ориентированных узлов различны, и, если рассматривать объемлющую изотопию узлов без учета ориентации, существует два различных класса эквивалентности: { A ~ B } и { C ~ D }. Чтобы увидеть, что A и B неориентированы, просто заметьте, что они оба могут быть построены из одной и той же пары непересекающихся проекций узлов, как указано выше, единственная разница заключается в ориентации узлов. Точно так же можно видеть, что C и D могут быть построены из одной и той же пары непересекающихся проекций узлов.

Смотрите также

• Сумма группы
• Простое разложение (3-многообразие)
• Разложение многообразия
• Спутниковый узел

дальнейшее чтение

• Роберт Гомпф : Новая конструкция симплектических многообразий, Annals of Mathematics 142 (1995), 527–595.
• Уильям С. Мэсси , Базовый курс алгебраической топологии , Springer-Verlag, 1991. ISBN  0-387-97430-X .

Рекомендации

1. Кервэр и Милнор, Группы гомотопических сфер I, Анналы математики, том 77, № 3, май 1963 г.
2. Косински, Дифференциальные многообразия, Academic Press Inc (1992).