Тройной продукт

Тернарная операция над векторами

В геометрии и алгебре тройное произведение — это произведение трёх 3- мерных векторов, обычно евклидовых векторов . Название «тройное произведение» используется для двух различных произведений: скалярно -значного скалярного тройного произведения и, реже, векторно -значного векторного тройного произведения .

Скалярное тройное произведение

Три вектора, определяющие параллелепипед

Скалярное тройное произведение (также называемое смешанным произведением , ящичным произведением или тройным скалярным произведением ) определяется как скалярное произведение одного из векторов на перекрестное произведение двух других.

Геометрическая интерпретация

Геометрически, скалярное тройное произведение

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$

— (знаковый) объем параллелепипеда , определяемый тремя заданными векторами.

Характеристики

• Скалярное тройное произведение не изменяется при циклическом сдвиге трех его операндов ( a , b , c ):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

• Перестановка позиций операторов без переупорядочивания операндов оставляет тройное произведение неизменным. Это следует из предыдущего свойства и коммутативного свойства скалярного произведения:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$

• Перестановка любых двух из трех операндов отменяет тройное произведение. Это следует из свойства циклического сдвига и антикоммутативности перекрестного произведения:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )\\&=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\end{aligned}}}$

• Скалярное тройное произведение можно также понимать как определитель матрицы 3 × 3 , которая имеет три вектора либо в качестве строк, либо в качестве столбцов (матрица имеет тот же определитель, что и ее транспонированная матрица ):

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{bmatrix}}.}$

• Если скалярное тройное произведение равно нулю, то три вектора a , b и c являются копланарными , поскольку параллелепипед, определяемый ими, был бы плоским и не имел бы объема.
• Если любые два вектора в скалярном тройном произведении равны, то его значение равно нулю:

  ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=0}$

• Также:

  ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\,\mathbf {a} =(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

• Простое произведение двух тройных произведений (или квадрат тройного произведения) может быть разложено в терминах скалярных произведений: ^[1] Это переформулирует в векторной нотации, что произведение определителей двух матриц 3×3 равно определителю их матричного произведения. Как частный случай, квадрат тройного произведения является определителем Грама . $${\displaystyle ((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\;((\mathbf {d} \times \mathbf {e} )\cdot \mathbf {f} )=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {f} \\\mathbf {c} \cdot \mathbf {d} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {e} &\mathbf {c} \cdot \mathbf {f} \end{bmatrix}}}$$
• Отношение тройного произведения и произведения трех векторных норм известно как полярный синус : он находится в диапазоне от −1 до 1. $${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}{\|{\mathbf {a} }\|\|{\mathbf {b} }\|\|{\mathbf {c} }\|}}=\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$$

Скалярный или псевдоскалярный

Хотя скалярное тройное произведение дает объем параллелепипеда, это знаковый объем, знак которого зависит от ориентации рамки или четности перестановки векторов. Это означает, что произведение инвертируется, если ориентация меняется на противоположную, например, с помощью преобразования четности , и поэтому его правильнее описывать как псевдоскаляр, если ориентация может меняться.

Это также относится к хенде перекрестного произведения ; перекрестное произведение преобразуется как псевдовектор при преобразованиях четности и поэтому правильно описывается как псевдовектор. Скалярное произведение двух векторов является скаляром, но скалярное произведение псевдовектора и вектора является псевдоскаляром, поэтому скалярное тройное произведение (векторов) должно иметь псевдоскалярное значение.

Если T — правильный поворот , то

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),}$

но если T — неправильное вращение , то

${\displaystyle \mathbf {Ta} \cdot (\mathbf {Tb} \times \mathbf {Tc} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$

Скаляр или скалярная плотность

Строго говоря, скаляр вообще не меняется при преобразовании координат. (Например, множитель 2, используемый для удвоения вектора, не меняется, если вектор находится в сферических, а не прямоугольных координатах.) Однако, если каждый вектор преобразуется матрицей, то тройное произведение в конечном итоге умножается на определитель матрицы преобразования, что может быть совершенно произвольным для невращения. То есть тройное произведение правильнее описывать как скалярную плотность .

Как наружный продукт

Три вектора, охватывающие параллелепипед, имеют тройное произведение, равное его объему. (Однако следует учитывать, что направление стрелок на этой диаграмме неверно.)

Во внешней алгебре и геометрической алгебре внешнее произведение двух векторов называется бивектором , а внешнее произведение трех векторов называется тривектором . Бивектор — это ориентированный элемент плоскости, а тривектор — это ориентированный элемент объема, точно так же, как вектор — это ориентированный элемент линии.

Даны векторы a , b и c , произведение

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} }$

является тривектором с величиной, равной скалярному тройному произведению, т.е.

${\displaystyle |\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} |=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$,

и является двойственным по Ходжу скалярному тройному произведению. Поскольку внешнее произведение ассоциативно, скобки не нужны, поскольку неважно, какой из векторов a ∧ b или b ∧ c вычисляется первым, хотя порядок векторов в произведении имеет значение. Геометрически тривектор a ∧ b ∧ c соответствует параллелепипеду, натянутому на a , b , и c , с бивекторами a ∧ b , b ∧ c и a ∧ c , соответствующими граням параллелепипеда .

Как трилинейная функция

Тройное произведение идентично объемной форме евклидова 3-пространства, примененной к векторам через внутреннее произведение . Оно также может быть выражено как свертывание векторов с тензором ранга 3, эквивалентным форме (или псевдотензором, эквивалентным объемной псевдоформе); см. ниже.

Векторный тройной продукт

Вектор тройного произведения определяется как векторное произведение одного вектора на векторное произведение двух других. Имеет место следующее соотношение:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$.

Это известно как тройное разложение произведения или формула Лагранжа ^[2] [ ^3], хотя последнее название также используется для нескольких других формул . Его правую часть можно запомнить, используя мнемонику «ACB − ABC», при условии, что вы помните, какие векторы соединены точками. Доказательство приведено ниже. Некоторые учебники записывают тождество так, что получается более знакомая мнемоника «BAC − CAB», как в «back of the cab». ${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}$

Поскольку векторное произведение антикоммутативно, эту формулу можно также записать (с точностью до перестановки букв) как:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }$

Из формулы Лагранжа следует, что векторное тройное произведение удовлетворяет:

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} }$

что является тождеством Якоби для векторного произведения. Другая полезная формула:

${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )-\mathbf {b} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )}$

Эти формулы очень полезны для упрощения векторных вычислений в физике . Связанное тождество относительно градиентов и полезное в векторном исчислении — это формула Лагранжа для векторного перекрестного произведения тождества: ^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} }$

Это также можно рассматривать как частный случай более общего оператора Лапласа–де Рама . ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$

Доказательство

Компонент определяется по формуле : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{x}&=\mathbf {u} _{y}(\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{y}-\mathbf {v} _{y}\mathbf {w} _{x})-\mathbf {u} _{z}(\mathbf {v} _{z}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})+(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x}-\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}\mathbf {w} _{x})\\&=\mathbf {v} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {w} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {w} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {w} _{z})-\mathbf {w} _{x}(\mathbf {u} _{x}\mathbf {v} _{x}+\mathbf {u} _{y}\mathbf {v} _{y}+\mathbf {u} _{z}\mathbf {v} _{z})\\&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{x}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{x}\end{aligned}}}$

Аналогично, компоненты и определяются как: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{y}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{y}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{y}\\(\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} ))_{z}&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} _{z}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} _{z}\end{aligned}}}$

Объединив эти три компонента, мы получаем:

${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\ \mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\ \mathbf {w} }$^[5]

Использование геометрической алгебры

Если используется геометрическая алгебра, то векторное произведение b × c векторов выражается как их внешнее произведение b ∧ c , бивектор . Второе векторное произведение не может быть выражено как внешнее произведение, в противном случае получится скалярное тройное произведение. Вместо этого можно использовать левую контракцию ^[6] , поэтому формула становится ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;(\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )&=\mathbf {b} \wedge (\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {c} )-(\mathbf {a} \;{\big \lrcorner }\;\mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \end{aligned}}}$

Доказательство следует из свойств сжатия. ^[6] Результатом является тот же вектор, который был вычислен с использованием a × ( b × c ).

Интерпретации

Тензорное исчисление

В тензорной нотации тройное произведение выражается с помощью символа Леви-Чивиты : ^[8] и ссылаясь на -й компонент результирующего вектора. Это можно упростить, выполнив свертку символов Леви-Чивиты , где — дельта-функция Кронекера ( когда и когда ), а — обобщенная дельта-функция Кронекера . Мы можем осмыслить это тождество, признав, что индекс будет суммироваться, оставляя только и . В первом члене мы фиксируем и таким образом . Аналогично, во втором члене мы фиксируем и таким образом . $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ]=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}$$ $${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}\varepsilon ^{k\ell m}b_{\ell }c_{m}=\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}a^{j}b_{\ell }c_{m},}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{k\ell m}=\delta _{ij}^{\ell m}=\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell }\,,}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}=1}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \delta _{ij}^{\ell m}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i=l}$ ${\displaystyle j=m}$ ${\displaystyle i=m}$ ${\displaystyle l=j}$

Возвращаясь к тройному перекрестному произведению, $${\displaystyle (\mathbf {a} \times [\mathbf {b} \times \mathbf {c} ])_{i}=(\delta _{i}^{\ell }\delta _{j}^{m}-\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{\ell })a^{j}b_{\ell }c_{m}=a^{j}b_{i}c_{j}-a^{j}b_{j}c_{i}=b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-c_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,.}$$

Векторные исчисления

Рассмотрим интеграл потока векторного поля через параметрически заданную поверхность : . Единичный вектор нормали к поверхности задается выражением , поэтому подынтегральное выражение представляет собой скалярное тройное произведение. ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle S=\mathbf {r} (u,v)}$ ${\textstyle \iint _{S}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\textstyle {\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$ ${\textstyle \mathbf {F} \cdot {\frac {(\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v})}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}}$

Смотрите также

• Четверной продукт
• Соотношения векторной алгебры

Примечания

1. Вонг, Чун Ва (2013). Введение в математическую физику: методы и концепции. Oxford University Press. стр. 215. ISBN 9780199641390.
2. Жозеф Луи Лагранж не разработал векторное произведение как алгебраическое произведение векторов, но использовал его эквивалентную форму в компонентах: см. Lagrange, JL (1773). «Аналитические решения некоторых проблем треугольных пирамид». Творения . Том. 3.Он мог написать формулу, похожую на разложение тройного произведения в компонентной форме. См. также тождество Лагранжа и Кийоси Ито (1987). Энциклопедический словарь математики . MIT Press. стр. 1679. ISBN 0-262-59020-4.
3. Кийоси Ито (1993). «§C: Векторное произведение». Энциклопедический математический словарь (2-е изд.). МТИ Пресс. п. 1679. ISBN 0-262-59020-4.
4. Пэнчжи Линь (2008). Численное моделирование волн на воде: введение для инженеров и ученых. Routledge. стр. 13. ISBN 978-0-415-41578-1.
5. Дж. Хединг (1970). Математические методы в науке и технике . American Elsevier Publishing Company, Inc., стр. 262–263.
6. Pertti Lounesto (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 46. ISBN 0-521-00551-5.
7. Янне Песонен. «Геометрическая алгебра одной и многих многовекторных переменных» (PDF) . стр. 37.
8. "Тензор перестановки". Wolfram . Получено 21 мая 2014 .

Ссылки

• Ласс, Гарри (1950). Векторный и тензорный анализ . McGraw-Hill Book Company, Inc., стр. 23–25.

Внешние ссылки

• Видеоролик Академии Хана с доказательством расширения тройного произведения